1 / 18

Chapter 18

Chapter 18. Interpola si. Interpolasi Polinomial. Dua titik data : Garis Tiga titik data : Kuadratik Empat titik data : Polinomial tingkat-3 … n titik data : Polinomial tingkat-n. Diketahui : n titik data ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), … ( x n , y n )

flynn
Download Presentation

Chapter 18

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Chapter 18 Interpolasi

  2. Interpolasi Polinomial Dua titik data : Garis Tiga titik data : Kuadratik Empat titik data :Polinomial tingkat-3 … ntitik data :Polinomial tingkat-n Diketahui:ntitik data (x1, y1), (x2, y2), … (xn, yn) Ditanya :a0, a1, …, ansehingga Adakah cara yang lebih baik untuk menyelesaikan persamaan diatas?

  3. Interpolasi Linear Diketahui: Dua titik(x1, y1), (x2, y2) Ditanya :Garis yang melewati 2 titik tersebut Contoh: f(x) = lnx x1 = 1 dan x2 = 6: f1(2) = 0.3583519 x1 = 1 dan x2 = 4 f1(2) = 0.4620981 ln 2 = 0.6931472 Semakin kecil intervalnya semakin baik hasil interpolasi!

  4. Interpolasi Kuadratis Diketahui: Tiga titik(x1, y1), (x2, y2), (x3,y3) Ditanya: kuadratis f2(x) = a0 + a1x + a2x2yang melewati ke-3 titik diatas Contoh: f(x) = lnx Titik data: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759) b0 = 0 b1 = (1.386294 – 0)/(4 – 1) = 0.4620981 b2 = [(1.791759 – 1.386294)/(6-4) – 0.4620981]/(6-1) = -0.0518731 f2(2) = 0.5658444 ln 2 = 0.6931472

  5. Interpolasi Polynomial Newton Diketahui: n titik (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) (yi = f(xi), i=1,2,…,n) Ditanya: fn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxnyang melewati n titik tersebut. dengan Rekursif!

  6. Contoh Interpolasi Polynomial Newton Diketahui: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759), (5, 1.609438) (dari fungsi lnx) Ditanya: Perkirakanln 2 dengan interpolasi Newton orde ke-3 f3(2) = 0.629

  7. Contoh Interpolasi Polynomial Newton x2 x1 x0 x3

  8. Perkiraan Error Polynomial Newton Jikaf(x) dinyatakan oleh deret Taylor , error setelah terms ke-nadalah: Untuk suatui polinomial Newton orde ke-n, Hubungan untuk error scr analogi: Tapi kita tidak tahu apakah ituf(x)! Sebagai suatu perkiraan untuk error, bisa kita gunakan (Ingat: fn+1(x) = fn(x) + Rn)

  9. Perkiraan Error, Orde, dan Titik data • xf(x) = lnx • 1 0 • 4 1.386 • 1.792 • 1.609 • 1.099 • 1.5 0.405 • 2.5 0.916 • 3.5 1.253 • xf(x) = lnx • 3.5 1.253 • 2.5 0.916 • 1.5 0.405 • 3 1.099 • 1.609 • 1.792 • 4 1.386 • 1 0 Perkiraan Error polynomial Newton fk(x) pada ln 2: k = 1,2,…,7

  10. PolinomialInterpolasi Lagrange dengan Contoh:

  11. Interpretasi Grafis Polynomials Lagrange L2f(x2) L0f(x0) L1f(x1)

  12. x Interpolated curve true curve Interpolated point of (xc, f(xc)) interpolasi yc = fn(xc) fn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn fn(y) = a0 + a1y + a2y2 + … + anyn interpolasi xc = fn(yc) Interpolasi Inverse Bagimanainverse-nya: Keduanya tidak ekuivalen dalam hal keakuratan interpolasi!

  13. Extrapolasi Hasil interpolasi yang paling akurat bisanya diperoleh ketika yang tidak diketahui berada dekat di tengah-tengah titik basis! Untuk ekstrapolasi, yang tidak diketahui berada di luar jangkauan titik basis; jadi perlu perhatian lebih!

  14. Masalah-2 dalam Interpolasi Polinomial • Derajat interpolasi polinomial sama dengan jumlah-n titik data. Jadi jikan=1000 • titik data, maka kita akan mempunyai polinomial orde-1000 • Polinomial berorde tinggi (saat n > 5) dapat menampakkan ciri erratik dan sangatrentan dengan instabilitas numerik. • Polinomial berorde tinggi seringkalimenginterpolasi titik diluar jangkauan titik data yang tepat karena adanya overshoot.

  15. Interpolasi Spline Ide: Gunakan polinomial orde rendah (k≤ 3) untuk menginterpolasi sekumpulan data titik dan hubungkan polinomial interolsai ini dengan halus Papan Drafting: menggunakan tali yang tipis dan fleksibel (disebut spline)untuk menggambarkan kurva yang halus melalui sekumpulan titik.Tiap bagian interpolasi akhir melengkung antar 2 titik yang berdekatan Titik data adalah polinomial derajat 3 Contoh

  16. Interpolasi Spline Kuadratis Diketahui: n+1 Titik data (xi, yi) untuki=0,1,…,n Ditanya: polynomials derajat-2 nfi(x) = aix2 + bix + cisedemikian sehingga 1. fi(x) menginterpolasi dua titik (xi-1, yi-1) dan (xi, yi), dan 2. fi(x) dan fi-1(x) punya turunan yang sama pada xi-1.

  17. 2n – 2 persamaan 2 persamaan n– 1 persamaan Turunan Quadratic Spline • fi-1(xi-1) = ai-1xi-12 + bi-1xi-1 + ci-1 = yi-1 • fi(xi-1) = aixi-12 + bixi-1 + ci = yi-1 2. f1(x0) = a1x02 + b1x0 + c1 = y0 fn(xn) = anxn2 + bnxn + cn = yn • (the 1st derivative at the interior knots must be equal) • fi-1’(xi-1) = 2ai-1xi-1 + bi-1 =2aixi-1 + bi = fi’(xi-1)

  18. Contoh of Quadratic Spline

More Related