Решение задач по теме пирамида. 10 класс

1. Решение задач по теме пирамида. 10 класс МОУ «Гимназия» г.Черногорск Маркелова Светлана Валериевна

2. Чтобы научиться решать задачи, нужно решать их. Д. Пойа Удачи при решении задач!

3. Выберите задачи по одной из указанных тем: Правильная пирамида Неправильная пирамида Усеченная пирамида Завершение

4. Вы можете решить самостоятельно задачи и проверить ответ. Или рассмотреть поэтапное решение задач. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 30◦. Найдите высоту пирамиды, боковое ребро, угол между плоскостью основания и боковой гранью, двугранный угол при боковом ребре, площадь полной поверхности пирамиды. 1 2 В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, высота 12 см. Найдите боковое ребро пирамиды, угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды, угол между боковой гранью и основанием пирамиды, двугранный угол при боковом ребре, площадь полной поверхности.

5. Вы можете решить самостоятельно задачи и проверить ответ. Или рассмотреть поэтапное решение задач. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120°. Боковые ребра образуют с плоскостью основания углы по 30°. Высота равна 6 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. 1 2 3 Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань наклонена к основанию под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы в 30◦ и 45◦. Найдите площадь поверхности пирамиды.

6. Вы можете решить самостоятельно задачи и проверить ответ. Или рассмотреть поэтапное решение задач. В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде стороны оснований 6 см и 10 см. Плоский угол боковой грани 45°. Найти площадь полной поверхности пирамиды. 1 2 В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны основания 4 и 8, а площадь сечения, проходящего через боковое ребро и середину противоположной стороны основания, равна 6 . Найти площадь полной поверхности пирамиды.

7. Задача 1: В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 30◦. Найдите: а) высоту пирамиды; б) боковое ребро; в) двугранный угол приосновании; г) двугранный угол при боковом ребре; д) площадь полной поверхности пирамиды. S D C H A B 8

8. Высота пирамиды - ? Угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Решение Ответ S D C H 30° A B 8

9. Высота пирамиды - ? Угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Решение S НS = D C H 30° A B 8

10. 1) В правильной пирамиде в основании лежит квадрат. ΔАВС– прямоугольный и равнобедренный,АН = 0,5АС = 4 2) ΔАНS – прямоугольный, А=30◦,НS = S D C H 30° A B 8

11. Боковое ребро пирамиды - ? Угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Решение Ответ S D C H 30° A B 8

12. Боковое ребро пирамиды - ? Угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. АS = Решение S D C H 30° A B 8

13. 1) В правильной пирамиде в основании лежит квадрат. ΔАВС– прямоугольный и равнобедренный,АН = 0,5АС = 4 2) ΔАНS – прямоугольный, А=30◦,НS = 3) АS = 2*НS = S D C H 30° A B 8

14. Двугранный угол при основании - ? Угол между плоскостями – линейный угол двугранного угла. S Решение Ответ D C K H A B 8

15. Двугранный угол при основании - ? Угол между плоскостями – линейный угол двугранного угла. α = arctg S Решение D C K H A B 8

16. ┴ ┴ 1) ΔSBC – равнобедренный; SK BC HK BC (SBC; АВС) = SKH = α 2) ΔSHK- прямоугольный, α = arctg S D C K 4 H A B 8

17. Двугранный угол при боковом ребре - ? Угол между плоскостями – линейный угол двугранного угла. Решение Ответ S Р D C H A B 8

18. Двугранный угол при боковом ребре - ? Угол между плоскостями – линейный угол двугранного угла. BPD Решение S Р D C H A B 8

19. 1) ΔSDC = ΔSCВ – равнобедренные, BP┴SC, DP ┴ SC, (SDC; SВС) = BPD = 3) по двум углам, S 2) ΔDPB – равнобедренный, DB = , HB = , РН – медиана и высота, 4) ΔPHB – прямоугольный, Р D C K H A B 8

20. Площадь полной поверхности пирамиды - ? Площадь полной поверхности равна сумме площади боковой поверхности и площади основания. Решение Ответ S D C K 4 H A B 8

21. Площадь полной поверхности пирамиды - ? Площадь полной поверхности равна сумме площади боковой поверхности и площади основания. Решение S Sn = D C K 4 H 64(1 + ) A B 8

22. 1) АВСD – квадрат, Sосн = a2 = 64. 2) Из ΔSHK по теореме Пифагора: SK = = = = = = 4 S 4) Sn= Sб + Sосн = 3) Sб = 0,5*Р*SK = 0,5*32*4 = 64 D C K 4 H 64(1 + ) A B 8

23. Задача 2: В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, высота 12 см. Найдите: а) боковое ребро пирамиды; б) угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды; в) угол между боковой гранью и основанием пирамиды; г) двугранный угол при боковом ребре; д) площадь полной поверхности. S 12 6 C B 30° H B1 C1 A

24. Боковое ребро пирамиды - ? Решение Ответ S 12 6 C B H B1 C1 A

25. Боковое ребро пирамиды - ? Решение S SВ = 12 6 C B H B1 C1 A

26. 1) Так как пирамида правильная, то точка пересечения медиан CC1 и ВВ1 является основанием высоты. 2) ΔНС1В – прямоугольный, В = 30◦, С1В = 3, НС1 = , НВ = 2 . 3) ΔSНВ – прямоугольный, по теореме Пифагора SВ = S 12 6 C B 30° 3 H B1 C1 A

27. Угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды - ? Угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Решение Ответ S 12 C B 30° 3 H B1 C1 A

28. Угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды - ? Угол между прямой и плоскостью – угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. α = arctg Решение S 12 C B 30° 3 H B1 C1 A

29. 1) (SВ; АВС) = SВН = α 2) ΔSВН – прямоугольный, α = arctg S 12 C B 30° 3 H B1 C1 A

30. Двугранный угол при основании - ? Угол между плоскостями – линейный угол двугранного угла. Решение Ответ S 12 C B 30° 3 H B1 C1 A

31. Двугранный угол при основании - ? Угол между плоскостями – линейный угол двугранного угла. β = arctg4 Решение S 12 C B 30° 3 H B1 C1 A

32. 1) (SАВ; АВС) = НС1S = β β = arctg4 2) tg β = 1 S 12 C B 30° 3 H B1 C1 A

33. Двугранный угол при боковом ребре - ? Угол между плоскостями – линейный угол двугранного угла. S Решение Ответ M 12 C B 30° 3 H B1 C1 A

34. Двугранный угол при боковом ребре - ? Угол между плоскостями – линейный угол двугранного угла. AMC = S Решение M 12 C B 30° 3 H B1 C1 A

35. 1) ΔSAВ = ΔSCВ – равнобедренные, AM┴ SB, CM┴SB (SАВ; SВС) = AMC = 1 2) ΔAMC – равнобедренный, МВ1 ┴ A C,ΔMВ1А – прямоугольный и sin S 1 1 3) ΔSHC1 – прямоугольный, SC1 = , где 1 HC1 = * , SC1= 1 M 12 4) по двум углам, 1 C B 30° 3 1 H 5) B1 C1 A

36. Площадь полной поверхности пирамиды - ? Площадь полной поверхности равна сумме площади боковой поверхности и площади основания. Решение Ответ S 12 C B 30° 3 H B1 C1 A

37. Площадь полной поверхности пирамиды - ? Площадь полной поверхности равна сумме площади боковой поверхности и площади основания. Решение S Sn= 12 C B 30° 3 H B1 C1 A

38. 1) В основании лежит правильный треугольник, Sосн = 2) ΔSС1В – прямоугольный, по теореме Пифагора SС1 = 3) Sб = 0,5*Р*SС1 = 0,5*18* = 63 , 4) Sп = Sб + Sосн S Sп = 12 C B 30° 3 H B1 C1 A

39. Задача 1:Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120°. Боковые ребра образуют с плоскостью основания углы по 30°. Высота равна 6 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Так как боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то основание высоты находится в центре окружности, описанной около ΔАВС. Центр окружности описанной около треугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров. В треугольнике один из углов тупой, значит, точка пересечения серединных перпендикуляров лежит вне треугольника. SH ┴ пл(АВС), АН = СН = ВН = R. Решение Ответ S C 6 120° P K 30° B A H

40. Задача 1:Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник с углом 120°. Боковые ребра образуют с плоскостью основания углы по 30°. Высота равна 6 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Так как боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то основание высоты находится в центре окружности, описанной около ΔАВС. Центр окружности описанной около треугольника находится в точке пересечения серединных перпендикуляров. В треугольнике один из углов тупой, значит, точка пересечения серединных перпендикуляров лежит вне треугольника. SH ┴ пл(АВС), АН = СН = ВН = R. Решение Sn = ) S C 6 120° P K 30° B A H

41. 1. ΔАSH – прямоугольный, А=30◦ и SH=6АН= SH = 6 – радиус описанной окружности. 2. ΔАHС= ΔСHВ – равносторонние АС=СВ= 6 см. 4. ΔАSС = ΔСSВ, высоты, опущенные в этих треугольниках из вершины S будут равными. ΔSНР – прямоугольный, где Р – середина СВ, по теореме Пифагора: SАВС=см2. S ΔSНК – прямоугольный, по теореме Пифагора: 3. ΔАСК – прямоугольный, С=60◦, АС = 6 CK = 6. Sб= 2*SSCB + SASB = 2* см. AC = 3 ,АК = СК* = *3= 9 см. см2. C 6 Sп= Sб + Sосн= 120° P K 9 B A 30° см2. SР = = = см. H

42. Задача 1: В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде стороны оснований 6 см и 10 см. Плоский угол боковой грани 45°. Найти Sn. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде в основаниях лежат квадраты, а боковые грани являются равными равнобедренными трапециями. Решение Ответ D1 C1 O1 6 A1 B1 D C 45° 10 O 45° A B H

43. Задача 1: В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде стороны оснований 6 см и 10 см. Плоский угол боковой грани 45°. Найти Sn. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде в основаниях лежат квадраты, а боковые грани являются равными равнобедренными трапециями. D1 C1 O1 A1 Sn = 200 B1 Решение D C 6 O A B H 45° 10 45°

44. 1) АА1В1В – равнобедренная трапеция; А1Н ┴ АВ ΔАНА1 – прямоугольный и равнобедренный, 1 1 АН = А1Н = = 2 см. 2) Sn = S1 + S2 + Sб = 102 + 62 + 4* = 136 + 64 = 200 см. D1 C1 O1 6 A1 B1 2 D C 45° 10 O 45° A B 2 H

45. Задача 2: В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны основания 4 и 8, а площадь сечения, проходящего через боковое ребро и середину противоположной стороны основания, равна 6 . Найти площадь полной поверхности пирамиды. В правильной треугольной усеченной пирамиде в основаниях лежат правильные треугольники, а боковые грани являются равными равнобедренными трапециями. Решение Ответ A1 O1 C1 4 K1 B1 A C O E 8 K B

46. Задача 2: В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны основания 4 и 8, а площадь сечения, проходящего через боковое ребро и середину противоположной стороны основания, равна 6 . Найти площадь полной поверхности пирамиды. В правильной треугольной усеченной пирамиде в основаниях лежат правильные треугольники, а боковые грани являются равными равнобедренными трапециями. Решение A1 O1 C1 4 K1 B1 A C O E 8 K Sn = 44 B

47. 1) SABC = = 16 ; SABC = = 4 1 1 1 2) КК1 – высота боковой грани. 1 1 3) Sсеч = h = = = 2 1 1 А1К1 = ; АК = 4) К1Е ┴ АК и ЕК = ОК - ОЕ = ОК - О1К1; О1К1 = А1К1 = * = ; ОК = АК = * = ; A1 O1 C1 5) Из прямоугольного ΔК1ЕК по теореме Пифагора: ЕК = - = 4 K1 B1 КК1 = = = = 1 1 2 6) Sб = *К1К = = 2 = 24 A C 7) Sn = 16 + 4 + 24 = 44 O E 8 K B

48. Задача 3: Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы в 30◦ и 45◦. Найдите площадь поверхности пирамиды. Так как плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, то боковое ребро, по которому пересекаются боковые грани также перпендикулярно к плоскости основания. Это боковое ребро является высотой пирамиды. Решение Ответ M B A 8 D C

49. Задача 3: Основанием пирамиды является прямоугольник, диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие боковые грани образуют с основанием углы в 30◦ и 45◦. Найдите площадь поверхности пирамиды. Так как плоскости двух боковых граней перпендикулярны к плоскости основания, то боковое ребро, по которому пересекаются боковые грани также перпендикулярно к плоскости основания. Это боковое ребро является высотой пирамиды. Решение M Sпир = 8(3 + 3 + 3) B A 8 D C

50. 1) Предположим, что плоскости МАВ и MAD перпендикулярны к плоскости основания, тогда линия их пересечения МА перпендикулярна к плоскости основания, т. е. МА — высотапирамиды. 2) Так как СВ АВ, то СВ МВ по теореме о трех перпендикулярах, поэтому MBA — линейный угол двугранного угла при ребре СВ, MBA = 30°. Аналогично AD DC, MD DC, MDA — линейный угол двугранного угла при ребре DC, MDA = 45°. Треугольники МВС и MDC прямоугольные. ┴ ┴ ┴ ┴ 3) Пусть MA = х см, тогда МВ = 2х см, АВ = х см. Из ΔMAD имеем: МА = AD = x см, MD = хсм. Из ΔАВС получаем: АВ2 + ВС2 = АС2, 3х2+ х2 = 64, х2 = 16, х = 4 (см). M 2х 4) Таким образом, МА = 4 см, АВ = DC = 4 см, МВ = 8 см, MD = 4 см, AD = BC = 4 см.  х Sбок = АВ*АМ + АD*АМ + ВС*ВМ + DС*DМ = = *4*4 + *4*4 + *4*8 + *4*4= 24 + 8+ + 8  Sосн = 4*4 = 16  Sпир = 24 + 24+ 8 = 8(3 + 3 + 3) B A 30° 8 х 45° D C