DERS 11

1. DERS 11 BELİRLİ İNTEGRAL (ALAN)

2. olur. dır. olmak üzere [a,b] aralığında y = f(x) eğrisi altında kalan bölgenin alanı yaklaşık olarak;

3. alanı, y = f(x) eğrisi altında kalan bölgenin alnının gerçek değerine o kadar yakın olur. ile gösterilir. [a,b] aralığı ne kadar çok parçaya bölünürse [a,b] aralığı sonsuz parçaya bölünürse olur. Dolaysıyla; dır.

6. İki eğrinin kesim noktalarının apsisleri x1 =a ve x2 = b ise bu eğriler tarafından sınırlanan bölgenin alanını bulmak için, bölgeyi üstten sınırlayan eğrinin denkleminden bölgeyi alttan sınırlayan eğrinin denklemi çıkarılarak a dan b ye integral alınır.

7. İki eğrinin kesim noktalarının ordinatları y1 =c ve y2 = d ise bu eğriler tarafından sınırlanan bölgenin alanını bulmak için, bölgeyi sağdan sınırlayan eğrinin denkleminden bölgeyi solan sınırlayan eğrinin denklemi çıkarılarak c dan d ye integral alınır.

8. Örnek: y = 2x ve x=3 doğruları ile x ekseni tarafından sınırlanan bölgenin alanını hesaplayınız Çözüm: Önce alanı sorulan bölgeyi çizelim.

9. Örnek: y = x2 parabolü ve x=2 doğrusu ile x ekseni tarafından sınırlanan bölgenin alanını hesaplayınız Çözüm: Önce alanı sorulan bölgeyi çizelim.

10. Örnek: y = x2- 4x parabolü ile x ekseni arasında kalan bölgenin alanını hesaplayınız Çözüm: Önce alanı sorulan bölgeyi çizelim.

11. DÜZGÜN BÖLGE x-eksenine dik doğrular bir bölgeyi alttan ve üstten sınırlayan eğrilerin her birini ayrı ayrı birer noktada kesiyorsa bu bölge x-eksenine göre düzgündür denir. x-eksenine göre düzgün bir bölgenin alanı hesaplanırken x’e göre integral alınır ve x’in sınırları kullanılır. y-eksenine dik doğrular bir bölgeyi sağdan ve soldan sınırlayan eğrilerin her birini ayrı ayrı birer noktada kesiyorsa bu bölge y-eksenine göre düzgündür denir. y-eksenine göre düzgün bir bölgenin alanı hesaplanırken y’ye göre integral alınır ve y’nin sınırları kullanılır.

12. Örnek: x = y2- 2y parabolü ile y ekseni arasında kalan bölgenin alanını hesaplayınız Çözüm: Önce alanı sorulan bölgeyi çizelim. Bu bölge y eksenine göre düzgündür

13. Örnek: y = x2- 1 parabolü ve ile y = x+1 doğrusu tarafından sınırlanan bölgenin alanını hesaplayınız Çözüm: Önce alanı sorulan bölgeyi çizelim. Bu bölge x eksenine göre düzgündür

14. Örnek: y = x2- 1 parabolü ve ile y = 2x-1 doğrusu tarafından sınırlanan bölgenin alanını hesaplayınız Çözüm: Önce alanı sorulan bölgeyi çizelim. Bu bölge hem x eksenine hem de y eksenine göre düzgündür x eksenine göre düzgün alalım.

15. y eksenine göre düzgün alalım.

16. Örnek: Aşağıda verilen A1 ve A2 bölgelerinin alanlarını hesaplayınız. Çözüm: Her iki bölge hem x hem de y-eksenine göre düzgündür. y-eksenine göre düzgün alalım.

17. x-eksenine göre düzgün alalım. Fonksiyonlarımız y = f(x) şeklinde olmalıdır.

18. Aşağıda verilen A1 ve A2 bölgelerinin alanlarını hesaplayınız. Örnek: Çözüm: A1 x-eksenine, A2 ise hem x hem de y-eksenine göre düzgündür. A2 yi y-eksenine göre düzgün alalım.

19. x = y2 parabolü ve ile x+ y = 6 doğrusu tarafından sınırlanan bölgenin alanını hesaplayınız Örnek: Çözüm: Önce alanı sorulan bölgeyi çizelim. Bu bölge y eksenine göre düzgündür

20. y = x2 -2x ile y = -x2 +4x+8 parabolleri tarafından sınırlanan bölgenin alanını hesaplayınız Örnek: Çözüm: Önce alanı sorulan bölgeyi çizelim. Bu bölge x-eksenine göre düzgündür

21. eğrisi ile doğruları tarafından sınırlanan bölgenin alanını hesaplayınız. Örnek: Çözüm: Kesim noktalarını bulalım ve bölgeyi çizelim.

22. y y = x2 - 1 1 2 x y = -x + 1 Örnek:

23. y y = x2 – 2x 1 -1 x Örnek:

24. y 1 2 x A y = x2 – 2x Örnek:

25. ÖDEVLER Sınırları aşağıda belirtilen bölgeleri çiziniz ve alanlarını hesaplayınız.