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第五章

第五章. 相对论基础. 参考教材 : 清华大学 :《 大学物理学 》 第一册 《 力学 》 第二版 张三慧主编. 爱 因 斯 坦. A.Einstein. 大自然及其法则在黑夜中隐藏 ; 上帝说 :“ 派牛顿去吧 !” 于是 , 一切豁然开朗 . —— 蒲柏“拟牛顿墓志铭” 但这并不久长 . 魔鬼大喝一声 :“ 派爱因斯坦去 !” 于是 , 一切恢复原样 . —— 斯夸尔爵士. y. K. y. ´. O. z. v. x. . K. ´. O. x. ´.

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  1. 第五章 相对论基础 参考教材: 清华大学:《大学物理学》第一册 《力学》第二版 张三慧主编

  2. 爱 因 斯 坦 A.Einstein

  3. 大自然及其法则在黑夜中隐藏; 上帝说:“派牛顿去吧!” 于是,一切豁然开朗. ——蒲柏“拟牛顿墓志铭” 但这并不久长. 魔鬼大喝一声:“派爱因斯坦去!” 于是,一切恢复原样. ——斯夸尔爵士

  4. y K y ´ O z v x  K ´ O x ´ P(x y z t) (x’y’z’t’) z ´ §5-1,2,4狭义相对论的时空观及其效应 一.经典力学(牛顿)的时空观 长度的量度和参照系无关 ——绝对空间 时间的量度和参照系无关 ——绝对时间 相对性原理 ——伽利略坐标变换 (t=t'=0时,x=x'=0) 研究对象的 时空坐标?

  5. 相对性原理 ——伽利略坐标变换 y 研究对象的时空坐标? K y ´ O z v x  K ´ O x ´ P(x y z t) (x’y’z’t’) z ´ 显然,有: “绝对质量” 结论:牛顿定律对任何惯性系都是正确的.

  6. M 2 v M S * 1 二.迈克耳逊——莫雷实验(§5-2) 1831.电磁感应定律.相对运动—电动势. 问题:对不同的惯性系,电磁规律相同否? 1864.麦克斯韦:光是电磁波. 与伽利略变换相矛盾!

  7. 三.爱因斯坦的二条基本假设(§5-2) 1.相对性原理 物理规律对所有惯性系都是相同的, 不存在任何一个特殊的惯性系. *相对性原理不仅是对力学的. *排除“绝对静止”或“绝对运动”的概念. 2.光速不变原理 在任何惯性系中,光在真空中的速率 都相等. ——和惯性系的运动状态无关. 非惯性系——广义相对论. 注意:“观测”观察.

  8. y K y ´ v O  K z A B x ´ O x ´ z ´ 四.“同时”是相对的(§5-4) ——同时性的相对性 设有两个惯性系: K(x,y,z,t)和K'(x',y',z',t') 相对以速度v沿x 轴运动. 并且,t =t'=0时,x =x'=0. 问题: 在K'同时发生的 两事件,在K 系中也同时? 结论:由于“光速不变”,在K'的两地同时发生的两事件,在K 系中并不同时. t' ~t ?

  9. y y K K y ´ v O O  K z z A B x x ´ O x ´ y ´ z ´ v ´ K d ´ O l l x ´ z ´ 五. “时间膨胀”效应 K'中同时发生的两事件的时间间隔 t'=0, 在K 系中并不同时, 并且,tv.反之亦然. 考虑:在K 系中同一地点先后发生的两 事件的时间间隔t,在K'系中测量,t'=? d

  10. y K d O z x y ´ v ´ K d ´ O l l x ´ z ´ 小,“时间膨胀” (动钟变慢)

  11. y K d O z x y ´ : 原时. 同一地点先后发生两事件的时间间隔.原时最小. 1. v ´ K d ´ O :运动时.运动时最长. l l x ´ z ´ 2. 小,“时间膨胀” (动钟变慢) 讨论:

  12. 讨论: : 原时. 同一地点先后发生两事件的时间间隔.原时最小. 1. :运动时.运动时最长. 2. 3.“时间膨胀”(动钟变慢)是相对论的时空 效应.与时钟的结构等因素无关. 4.在K中测量K'中的“原时”效应相同. 5.在粒子物理学中有大量的实验证明.

  13. 例:π+介子是一种不稳定的粒子.静止时的平 均寿命是2.6×10-8s .过后衰变为一个介子 和一个中微子.(1)π+介子相对实验室以0.8c 的速度运动时,实验室中测量的寿命为多长？ 解: (1)取相对π+介子静止的参照系为K', “原时” 实验室参照系K 测得运动时:

  14. 解: (1)“原时” 实验室参照系K 测得运动时: (2)π+介子在衰变前运动了多长距离？ 解: 在K 系中测量K'中同一地点先后发生两 事件的距离.(用K 系中不同地点的钟)

  15. y ´ ' K y v K l x'2 A O' B x ´ O z z ´ x 六. “长度缩短”效应 在K' 系中测量相对K 系 静止的长度l ,必须同时. 测量方法: 在K' 系x' 轴作标记x'2, x'2经过A 时,记录时刻t'1, x'2经过B 的时刻是t'2,同时记下A坐标x'1. t': x'2处先后“经过A 和B ” ——原时 l' :K'系中同时测得的棒在运动方向的长度. “运动长度”.

  16. y ´ 六. “长度缩短”效应 ' K y t': x'2处先后 “经过A 和B ” ——原时 v K l x'2 A O' B l' :“运动长度”. K'系中同时测得棒在 运动方向的长度. x ´ O z z ´ x K系中“不同地点B和A到达x'2两事件”的时间间隔t,根据“时间膨胀”效应可得:

  17. y ´ ' K y v K l x'2 A O' B x ´ O z z ´ x 2. 1.l :原长. 在相对静止参照系中测量的长度.原长最长. 运动长度缩短. 3. “长度缩短”是相对论的时空效应.

  18. y K y ´ O z v x  K ´ O x ´ z ´ P(x y z t) (x’y’z’t’) §5-2洛仑兹变换 与相对论时空观相适应的坐标变换关系 参照系:K 和K',t =t'=0时,x =x'=0处重合. 某时刻,在P 发生一事件. 在K 和K',该事件的时空坐标关系? 要求:0时,与经典时空坐标一致. 已知:

  19. 已知: y P(x y z t) (x’y’z’t’) K y ´ O z v x  K ´ O x ´ z ´ 若已知P在K'的时空坐标:t',x', K 中: t, 若已知P在K 的空间坐标:x , K'中:t', 消去x':

  20. y P(x y z t) (x’y’z’t’) K y ´ O z v x  K ´ O x ´ z ´ 洛仑兹变换式: 0时: • 0,约化为伽利略变换式——牛顿时空观; • 时间和空间密切相关,不再互相独立.

  21. 洛仑兹变换式: y P(x y z t) (x’y’z’t’) K y ´ O z v x  K ´ O x ´ z ´ 逆变换: x'x,  - 令:

  22. y ´ ' K y v K l x'2 A O' B x ´ O z z ´ x • 验证“长度收缩”效应: “原长” “运动长” 必须同时测量! t'2-t'1=0

  23. 说明“同时性的相对性” K 中两事件: 在K'中的时空坐标: 由洛仑兹变换: • 若:K 中两事件“同时”,即t2-t1=0, • 一定有t'2-t'10.即在K'中“不同时”. • 反之亦然.

  24. 若:K中两事件“同时”,即t2-t1=0, • 一定有t'2-t'10.即在K'中“不同时”. • 反之亦然. • K 中某地(x1=x2)发生先A后B两事件,其 • 时间间隔t<t', ——时间膨胀效应; • 且t 和t'同号, ——因果关系不会颠倒. • K 中两地(x1x2)发生先A后B有因果关系 • 两事件的顺序不会颠倒?

  25. K中两地(x1x2)发生先A后B有因果关系 • 两事件的顺序也不会颠倒? 信号速度: t'和t 同号. 结论:狭义相对论中,因果事件顺序不会颠倒.

  26. 洛仑兹变换式: K K ´ v u O x ´ x ´ O 其中: §5-3相对论速度变换公式 注意: 研究对象,参照系

  27. §5-3相对论速度变换公式 K K ´ 已知: v u O x ´ x ´ O 求: K'系中和K 系中的速度表达式. K'系:

  28. K'系: 同样可得: K 系中的速度表式可直接利用逆变换求得. u'u ,  -

  29. 正变换: 逆变换: ´ K K 相 对 论 速 度 变 换 式 K K ´

  30. 2. 时, 讨论: 1.

  31. [例]设飞船A及B分别相对地球以 0.9c 的速度沿相反方向飞行. 试求:飞船 A 相对于飞船 B 的速度. K ´ 中 国 航 天 中 国 航 天 0.9c o K x ´ 0.9c o ´ A B 解: 取研究对象: A. 取地球为K',A对地球:u'x=0.9c 取B为K . A对B : ux

  32. A B K ´ 中 国 航 天 中 国 航 天 0.9c o K x ´ 0.9c o ´ 按伽利略速度变换: ux=(0.9+0.9)c =1.8c

  33. 小结:两种时空观对照: 经典时空观: 时间和空间分别独立,不相联系.空间 距离和时间间隔都与参照系运动状态无关. ——伽利略变换 相对论时空观: 1.时间和空间与物质运动密切相关. 2.时间间隔随惯性系而异.时间是相对量. ——时间膨胀. “对方的钟”走慢了. 3.空间间隔随惯性系而异.空间是相对量. ——长度缩短. 对方的“尺”缩短了. 两事件的时空间隔是不变量.

  34. 3.空间间隔随惯性系而异.空间是相对量. ——长度缩短. 对方的“尺”缩短了. 两事件的时空间隔是不变量. 4.物体的运动速度随惯性系而异.在平行于 惯性系相对运动方向上的分量不同,在垂 直方向上的分量也不同. 5.在任何惯性系中,光的真空传播速度都是 c,是任何物体运动速度的最高极限. 6.“同时”是相对的.因果事件的顺序不变. 两独立事件的顺序可能会变. ——洛伦兹变换

  35. §5-5相对论动力学基础 一.相对论中质量与速度的关系 在经典力学中物体的质量与运动无关, 是不随运动而变的; 在相对论中物体的质量是否也不随运 动而变呢?

  36. K ' K v B A m B球速度 = 0 质量 动量 = = 0 0 v v m m A球速度 = 质量 动量 = = v ( ) u m m m = + 1 0 碰撞前:A静止在K' 系,B 静止在K系, 静止时的质量均为m0. K中 观察者： 设两球作完全非弹性碰撞,碰撞前后总质 量不变.碰撞后两球共同以速度u 相对K 运动 K中: 动量守恒:

  37. K ´ K v B A K中: 动量守恒: m 质量 动量 = = 0 K'中 观察者： A球速度 = 0 0 v v m m 质量 动量 = = B球速度 = 设碰撞后两球共同相对K' 的速度为u' v ( ) u m m m ´ = + 2 0 v ( ) u m m m = + 1 0 K'中动量守恒:

  38. v ( ) u ´ m m m = + 2 K中动量守恒: v v v 2 0 2 ( ) 2 ( ) + ( ) 0 = u u c K'中动量守恒: u v u = ´ 3 u v 1 c 2 u v v ( ) m m m 代入式 = ,得： + 4 2 u v 0 1 c 2 v ( ) u m m m = + 式仍是K'中的动量守恒定律. 1 4 0 、 得： 从 式, 1 4 将洛伦兹速度变换式:

  39. v v v 2 2 ( ) 2 ( ) + ( ) 0 = u u c v + 解得： 1 1 = v c 2 2 u m m + v 由式 1 1 0 取正号 = > u m v ( ) u m m m = + 1 0 m m + 1 + 1 0 = v c 2 2 m 得： 质速关系式

  40. 质速关系式 m m 0 4 3 • v 2 1 v c 0 0.2 0.4 0.8 1.0 0.6 m0:物体的静止质量. m:相对于观察者以 速度v 运动时的质量. • 物体的极限速度c . • 光子的静止质量?

  41. 二.相对论的质量和能量关系 保留经典力学中动能的定义

  42. 两边取微分: 相对论动能表达式即使在形式上 也和经典表达式完全不同!

  43. 动能 总能量(运动能) 静止能量 系统的静止质量改变M 时, 一定有相应的能量改变. ——质量亏损

  44. 讨论： 1.v<<c 时:

  45. 2.静止能E0 3.质量不仅是惯性的量度,还是总能量的 量度. 4.系统的静止质量变化时,必伴随有 相应能量的变化. 5.孤立系统,总能量守恒,总质量也守恒.

  46. E=mc2 pc E0=m0c2 三.相对论能量和动量的关系 相对论能量—动量关系式: 光子:

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