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第 3 章 电阻电路的一般分析

第 3 章 电阻电路的一般分析. 重点. 1. 支路电流法 2. 网孔电流法 3. 回路电流法 4. 结点电压法. §3-1 电路的图. 一、求解电路的一般方法. 首先选择一组合适电路的变量（电流或电压），根据 KCL 、 KVL 、 VCR 建立该组变量的独立方程组，然后从方程 中解出电路变量。 根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、网孔电流法、回路电流法和结点电压法。 电路的“图”是指把电路中每一条支路画成 抽象的线段形成一个结点和支路的集合，该线段就是图的支路。. 二、电路的图. i. 抛开元件性质. 8. R 1. R 3. 1. 3.

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第 3 章 电阻电路的一般分析

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  1. 第3章 电阻电路的一般分析 • 重点 1.支路电流法 2.网孔电流法 3.回路电流法 4.结点电压法

  2. §3-1 电路的图 一、求解电路的一般方法 首先选择一组合适电路的变量（电流或电压），根据KCL、KVL、VCR建立该组变量的独立方程组，然后从方程 中解出电路变量。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、网孔电流法、回路电流法和结点电压法。 电路的“图”是指把电路中每一条支路画成抽象的线段形成一个结点和支路的集合，该线段就是图的支路。 二、电路的图

  3. i 抛开元件性质 8 R1 R3 1 3 5 2 4 R2 R4 7 6 _ + R5 uS 1 3 5 2 4 6 一个元件作为一条支路 元件的串联及并联组合作为一条支路 有向图 赋予支路方向 的图称为“有向图”。 未赋予支路方向的图称为“无向图”。

  4. 注: （1）KCL和KVL与支路的元件性质无关，因此可用电路 的图讨论如何列写KCL和KVL方程，并讨论它们的独立性。 （2） 移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在，因此允许有孤立结点存在。 （3） 如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。

  5. §3-2 KCL和KVL的独立方程数 2 2 1 3 1 4 3 5 6 4 ＋ ＋ ＋ ＝0 1 2 3 4 一.KCL的独立方程数 1 2 3 4 结论 n个结点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。

  6. 二、KVL的独立方程数 当图G的任意两个结点之间至少存在一条路径时，G称为连通图。如果一条路径的起点和重点重合，且经过的其他结点都相异，这条闭合路径就是G的一个回路。 1、由基本回路列出的KVL方程组是独立方程。 树的定义：一个连通图G的树T包括G的全部结点和部分支路，且树是连通的且不包含回路。 树 (Tree)应满足下列条件： (1)连通；(2)包含所有结点；（3)不含闭合路径

  7. 不是树 树 树支：构成树的支路 连支：属于G而不属于T的支路 树支（n-1）和连支(b-n+1)一起构成图G的全部支路b。 对于G的任一个树，加入一个连支后，就形成一个回路，并且 此回路除所加连支外均由树支组成，这种回路称为单连支回路 或基本回路。

  8. 6 6 5 4 5 2 2 1 3 2 1 3 3 1 每一个基本回路仅含有一个连支，且这一连支并不会出现在其他基本回路。由全部连支形成的基本回路构成基本回路组。根据基本回路列出的KVL方程组是独立方程。 可见，对一个结点数n，支路数为b的连通图，其独立回路数l=b-n+1=b-(n－1)。选择不同的树，可获得不同的基本回路组。 基本回路具有独占的一条连支 基本回路(单连支回路)

  9. 1 4 5 4 5 8 6 8 6 8 6 3 2 7 7 3 4 8 2 3 图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。 例

  10. 6 6 1 1 4 4 3 3 9 9 7 7 5 5 2 2 8 8 • 割集Q (Cut set ) Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质： (1)把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 (2)任意放回Q中一条支路，仍构成连通图。 割集：（1 9 6）（2 8 9）（3 6 8）（4 6 7）（5 7 8） （3 6 5 8 7）（3 6 2 8）是割集吗？ 基本割集 只含有一个树枝的割集。割集数＝n-1 连支集合不能构成割集

  11. 2、由平面图的网孔列出的KVL方程组是独立方程。2、由平面图的网孔列出的KVL方程组是独立方程。 平面图的全部网孔是一组独立回路，所以平面图的网孔数也就是独立回路数。 l=b-(n-1) 3、KVL独立方程 一个电路的KVL独立方程数等于它的独立回路数。 ② ① ③ ④ (b) (a)

  12. 按基本回路列KVL方程为： 按网孔列出KVL方程为:

  13. §3-3 支路电流法(branch current method ) 1、2b法 对一个具有b条支路和n个结点的电路。 设 支路电压为变量（b） 支路电流为变量（b) 2、支路电流法 1)支路电流法 以各支路电流为未知量列写电路方 程分析电路的方法。 2)独立方程的列写 （1）从电路的n个结点中任意选择n-1个结点列写KCL方程 （2）选择基本回路列写b-(n-1)个KVL方程

  14. R4 R2 i2 i3 i4 2 1 R3 i5 R1 R5 i1 3 i6 1 3 2 4 + – R6 uS 有6个支路电流，需列写6个方程。KCL方程: 例 1 2 (1) 3 取网孔为基本回路，沿顺时针方向绕行列KVL写方程: 回路1 回路2 (2) 回路3 结合元件特性消去支路电压得： (3) 解（1），（3）方程组得各支路电流。

  15. 支路电流法的一般步骤： (1) 标定各支路电流（电压）的参考方向； (2) 选定(n–1)个结点，列写其KCL方程； (3) 选定b–(n–1)个独立回路，列写其KVL方程； (元件特性代入) (4) 求解上述方程，得到b个支路电流； (5) 进一步计算支路电压和进行其它分析。 支路电流法的特点： 支路法列写的是KCL和KVL方程， 所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。

  16. I3 a I2 I1 7 11 7 + + 6V 70V – – b 1 2 求各支路电流及电压源各自发出的功率。 例1. (1) n–1=1个KCL方程： 解 结点a：–I1–I2+I3=0 (2) b–( n–1)=2个KVL方程： 7I1–11I2=70-6=64 11I2+7I3=6 ikRk=uSk

  17. I3 I3 a I2 I1 I2 I1 7 11 7 + 6A 70V – b 解2. a 1 2 1 7 11 7 + 6A 70V – b 列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源） 例2. (1) n–1=1个KCL方程： 解1. 结点a：–I1–I2+I3=0 + U _ (2) b–( n–1)=2个KVL方程： 7I1–11I2=70-U 11I2+7I3=U 增补方程：I2=6A 由于I2已知，故只列写两个方程 结点a：–I1+I3=6 避开电流源支路取回路： 7I1＋7I3=70

  18. I3 a I2 I1 7 11 7 + 5U _ + 70V – b + 1 2 U _ 列写支路电流方程.(电路中含有受控源） 例3. 解 结点a：–I1–I2+I3=0 7I1–11I2=70-5U 11I2+7I3= 5U 增补方程：U=7I3 有受控源的电路，方程列写分两步： (1) 先将受控源看作独立源列方程； (2) 将控制量用未知量表示，并代入(1)中所列的方程，消去中间变量。

  19. §3-4 网孔电流法和回路电流法 一、网孔电流法和回路电流法 （1）网孔电流：是在一个网孔中连续流动的假想电流。 （2）回路电流：是在一个基本回路中连续流动的假想电流。 是以网孔电流为未知量，根据KVL对全部网孔列写方程，求解网孔电流的方法。它只适用于平面电路。 是以回路电流为未知量，根据KVL对全部基本回路列写方程，求解回路电流的方法。它适用于平面电路，也适用于非平面电路。 1、网孔电流和回路电流 2、网孔电流法 3、回路电流法

  20. a il2 il1 i1 i2 i3 R1 R2 R3 + + uS1 uS2 – – b 可见，网孔电流法是回路电流法的一个特例。即基本回路选择与网孔一致，就与网孔电流法相同。 二者区别： 回路电流法是选树，确定基本回路。 网孔电流法是确定网孔。 二、回路电流法 1.回路电流法 独立回路为2。选图示的两个独立回路，支路电流可表示为： 回路电流在独立回路中是闭合的，对每个相关结点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。因此回路电流法是对独立回路列写KVL方程，方程数为：

  21. a il1 il2 i1 i2 i3 R1 R2 R3 + + uS1 uS2 – – b 与支路电流法相比，方程数减少n-1个。 回路1：R1 il1+R2(il1- il2)-uS1+uS2=0 2. 方程的列写 回路2：R2(il2- il1)+ R3 il2-uS2=0 整理得： (R1+ R2)il1-R2il2=uS1-uS2 - R2il1+ (R2 +R3)il2 =uS2

  22. 式中： R11=R1+R2 回路1的自电阻。等于回路1中所有电阻之和。 R22=R2+R3 回路2的自电阻。等于回路2中所有电阻之和。 自电阻总为正。 R12= R21= –R2回路1、回路2之间的互电阻。 当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。 us11= uS1-uS2回路1中所有电压源电位升的代数和。 us22= uS2回路2中所有电压源电位升的代数和。 当电压源电位升的方向与该回路方向一致时，取正号；反之取负号。

  23. R11il1+R12il1+ …+R1l ill=uS11 R21il1+R22il2+ …+R2l ill=uS22 … Rl1il1+Rl2il2+ …+Rll ill=uSll 对于具有 l=b-(n-1)个回路的电路，有: 式中: Rkk:自电阻(为正)。 + : 流过互阻的两个回路电流方向相同 - : 流过互阻的两个回路电流方向相反 Rjk:互电阻 0 : 无关

  24. R1 R2 RS i2 R5 + US i3 R4 _ R3 i1 i 例1. 用回路电流法求解电流 i. 独立回路有三个，选网孔为独立回路： 解1 注 （1）不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj, 系数矩阵为对称阵。 （2）当网孔电流均取顺（或逆)时 针方向时，Rjk均为负。

  25. R1 R2 RS i2 R5 + US R4 _ R3 i1 i i3 解2 只让一个回路电流经过R5支路 特点 （1）减少计算量 （2）互电阻的识别难度加大，易遗漏互电阻

  26. 5Ω 例2： 用网孔法求解图示电路的 网孔电流。 选定网孔电流及参考方向。 2A电流源中只有一个网孔电流 I2流过，且方向相同，从而列出 这个网孔的方程。 设：电流源1A的电压为U，将其作为变量，如图示。则网孔电流方程为 . . . U I3 3Ω ＋ － 解 1A 1Ω ＋ . I2 20V I1 2A － 解得：

  27. 回路法的一般步骤： (1) 选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向； (2) 对l 个独立回路，以回路电流为未知量，列写其KVL方程； (3) 求解上述方程，得到l 个回路电流； (4) 求各支路电流(用回路电流表示)； (5) 其它分析。

  28. i2 R1 R2 i3 RS iS + _ + i1 U uS R4 _ R3 3.理想电流源支路的处理 （1）引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的关系方程。 例 电流源看作电压源列方程 增补方程：

  29. i2 R1 R2 RS iS + i1 uS R4 _ R3 i3 （2）选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路, 该回路电流即 iS 。 例2 为已知电流，实际减少了一方程

  30. 4.受控电源支路的处理 对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用回路电流表示。

  31. i2 i3 R1 R2 RS + i1 _ + + US 5U R4 _ R3 U _ 例1 增补方程： 受控电压源看作独立电压源列方程

  32. + iS + R2 U1 R1 _ gU1 _ R3 _ + 3 1 + R5 R4 U1 _ 4 2 例2 列回路电流方程 解1 选网孔为独立回路 U2 U3 增补方程：

  33. + iS R2 U1 R1 _ gU1 R3 3 1 + R5 R4 U1 _ 4 2 解2 回路2选大回路 增补方程：

  34. 例3 图示VCVS的电压uC=50u1，控制量u1为25Ω电阻上的电压。列出回路电流方程。 选网孔为独立回路，回路电流il1、 il2如图所示。先把控制量用回路电流 il1表示，即u1=25i1,则uc=50u1=1250il1 25Ω 100KΩ + u1 - 解 10KΩ + il1 il2 - - uc 5V 100Ω + 可见，由于含有受控源，R12≠R21

  35. 2A I ＋ 1 2 U + 3 4V 2A 3A － – i3 i2 i1 i4 例4 求电路中电压U，电流I和电压源产生的功率。 解

  36. §3－5 结点电压法 (node voltage method) 结点电压法也称为结点电位法。若任取一点作为参考点，则由某点到参考点0的电压ua0称为a点的电位。一个连通的系统只能选择一个参考点，常选大地、设备外壳或接地点作为参考点。参考点电位为零，常用“⊥” 、“ ”表示电位参考点。 一、电位 a b 0 c A 2kΩ b 3kΩ -6v +10V 电位的量值与参考点的选择有关，但任两点间的电压值是不变的。 6kΩ 0 在电子电路中常画出用电位表示的电位图，如图示。

  37. 二.结点电压法 1.结点电压法 以结点电压为未知量列写电路方程分析 电路的方法。适用于结点较少的电路。 选结点电压为未知量，则KVL自动满足，就无需列写KVL方程。各支路电流、电压可视为结点电压的线性组合，求出结点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。 • 基本思想： 结点电压法列写的是结点上的KCL方程，独立方程数为： • 列写的方程 与支路电流法相比，方程数减少b-(n-1)个。

  38. uA-uB 2 1 3 uA uB iS3 i2 i3 R2 R3 i1 i5 i4 R5 R4 R1 + iS1 uS _ 任意选择参考点：其它结点与参考点的电压差即是结点电压(位)，方向为从独立结点指向参考结点。 说明 (uA-uB)+uB-uA=0 KVL自动满足 2. 方程的列写 (1) 选定参考结点，标明其余n-1个独立结点的电压

  39. 2 3 1 iS2 i2 i3 R2 R3 i1 i5 i4 R5 R4 R1 + iS1 uS _ (2) 列KCL方程：  iR出= iS入 i1+i2=iS1+iS2 -i2+i4+i3=0 -i3+i5=－iS2 把支路电流用结点电压表示：

  40. 整理，得： 等效电流源 令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5 上式简记为： G11un1+G12un2＋G13un3= iS11 标准形式的结点电压方程 G21un1+G22un2＋G23un3= iS22 G31un1+G32un2＋G33un3= iS33

  41. 式中 G11=G1+G2 结点1的自电导，等于接在结点1上所有 支路的电导之和。 G22=G2+G3+G4 结点2的自电导，等于接在结点2上所有 支路的电导之和。 G33=G3+G5结点3的自电导，等于接在结点3上所有支路的电导之和。 G12= G21 = -G2结点1与结点2之间的互电导，等于接在 结点1与结点2之间的所有支路的电导之 和，为负值。 G23= G32 = -G3结点2与结点3之间的互电导，等于接在结 点2与结点3之间的所有支路的电导之和， 为负值。 自电导总为正，互电导总为负。

  42. iS11= is1+is2 流入结点1的电流源电流的代数和。 iS22= -is2＋uS/R5流入结点2的电流源电流的代数和。 流入结点取正号，流出取负号。 由结点电压方程求得各结点电压后即可求得各支路电压，各支路电流可用结点电压表示：

  43. G11un1+G12un2+…+G1,n-1un,n-1=iS11 G21un1+G22un2+…+G2,n-1un,n-1=iS22     G（n-1)1un1+G(n-1)2un2+…+G(n-1)(n-1)un(n-1)=iS(n-1)(n-1) 一般情况 Gii—自电导，等于接在结点i上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。总为正。 式中 Gij= Gji—互电导，等于接在结点i与结点j之间的所有支路的电导之和，总为负。 iSii— 流入结点i的所有电流源电流的代数和(包括由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。 当电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。

  44. 结点法的一般步骤： (1) 选定参考结点，标定n-1个独立结点； (2) 对n-1个独立结点，以结点电压为未知量，列写其KCL方程； (3) 求解上述方程，得到n-1个结点电压； (4) 求各支路电流(用结点电压表示)； (5) 其它分析。

  45. 1 G1 G2 GS G3 + 2 Us G4 G5 _ 3 1 G1 G2 + G3 Us _ 2 G4 G5 3 例 试列写电路的结点电压方程。 (G1+G2+GS)U1-G1U2－GsU3=USGS -G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3=0 －GSU1-G4U2+(G4+G5+GS)U3=－USGS 3. 无伴电压源支路的处理 （1）以电压源电流为变量，增补结点电压与电压源间的关系

  46. I 1 1 G1 G2 + G3 G1 G2 Us + G3 Us _ 2 3 2 G4 G5 _ G4 G5 3 (G1+G2)U1-G1U2=I -G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3=0 -G4U2+(G4+G5)U3=－I 看成电流源 增补方程 U1-U3 = US （2） 选择合适的参考点 U1= US -G1U1+(G1+G3+G4)U2-G3U3=0 -G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0

  47. R2 1 _ iS1 + uR2 gmuR2 R3 R1 2 4.受控电源支路的处理 对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用结点电压表示。 例1 列写电路的结点电压方程。 • 先把受控源当作独立 • 源列方程； (2) 用结点电压表示控制量。

  48. uS R5 _ + R3 1 3 _ + iS1 － + u3 r i R4 R2 R1 gu3 i 2 例2 列写电路的结点电压方程。 • 设参考点，把受控源当作独立源列方程； 解 (2) 用结点电压表示控制量。

  49. 1 ＋ 3 1 3A 4V ＋ － 2 5 － 2 3 ＋ － U 4U 3 2 ＋ － 1V 例3 列写电路的结点电压方程。 注：与电流源串接的 电阻不参与列方程 增补方程： U= un3

  50. 三、四种电路分析计算方法的比较 方法 取未知量 列写方程 方程数 特点 KCLKVLVCR n-1 b-(n-1) b 支路电流支路电压 2b法 2b 比较灵活 KCL KVL n-1 b-(n-1) 基本方法 支路电流法 b 支路电流 b-(n-1) 网孔电流法 网孔电流 KVL 网孔少方便 b-(n-1) 回路电流法 KVL 回路电流 回路少方便 KCL 结点电压 (n-1) 结点电压法 结点少方便

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