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關係 : 第二回

Chapter 7. 關係 : 第二回. Equivalence Classes. 7.1 Relations Revisited: Properties of Relations. Ex. 7.3 考慮一個有限狀態機 M =( S , I , O , v , w ). (a) 對 s 1 , s 2 ∈ S , 定義 s 1 R s 2 若 v ( s 1 , x )= s 2 對某些 x ∈ I . 關係 R 建立第一層可達性 (b) 對 S ， 第二層可達性的關係亦可被給。 這裡 s 1 R s 2

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關係 : 第二回

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  1. Chapter 7 關係:第二回 Equivalence Classes

  2. 7.1 Relations Revisited: Properties of Relations Ex. 7.3 考慮一個有限狀態機M=(S,I,O,v,w). (a) 對s1,s2∈S, 定義s1Rs2若v(s1,x)=s2對某些x∈I. 關係 R建立第一層可達性 (b)對S，第二層可達性的關係亦可被給。這裡 s1Rs2 若v(s1,x1x2)=s2對某些x1x2∈I2. 這個可被擴大到較高層次 ，若需要出現。對一般的可達性，還有v(s1,y)=s2 對某些y∈I*. (c)給s1,s2∈ S, 1-等價的關係，表為s1E1s2, 被定義為當 w(s1,x)=w(s2,x) 對所有x є I. 這個概念可被擴大至狀態是 k-等價，其中我們寫s1Eks2若 w(s1,y)=w(s2,y) 對所有y є Ik. 若兩個狀態是 k-等價，對所有k∈ Z+, 則他們被稱為平價.

  3. 7.1 Relations Revisited: Properties of Relations Def7.2 一個集合A上的關係被稱是反身性(reflexive)的，若對所有x∈ A, (x,x) ∈ R.

  4. 7.1 Relations Revisited: Properties of Relations Ex. 7.6 以A={1,2,3}, 我們有: (a) R1={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)},是A上一個對稱但沒有反身的關係; (b) R2={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3)}, 是A上一個反身的但非對稱的關係; (c) R3={(1,1),(2,2),(3,3)}, R4={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)}, 是A上兩個既反身且對稱的關係; (d) R5={(1,1),(2,3),(3,3)}, 是A上既不反身也不對稱的關係

  5. 7.1 Relations Revisited: Properties of Relations

  6. 7.1 Relations Revisited: Properties of Relations 例題. 7.8 定義集合Z+上的關係R為aRb，若a為整除b. 則R是遞移的、反身的，但非對稱(例如2R6,但不是 6R2)

  7. 7.1 Relations Revisited: Properties of Relations

  8. 7.1 Relations Revisited: Properties of Relations 定義. 7.6 集合A 上的關係 R被稱為是一個偏序(partial order), 或是一個偏序關係，若R是反身的、反對稱的及遞移的. (若在A上任何a,b的全序(total order) , 任何一個a Rb 或bRa). Ex. 7.15. 定義 R 的關係在 Z+上，且aRb若a恰恰好整除 b. R 是一個偏序. Def. 7.7集合A上的一個等價關係R是一個反身的、對稱的及遞移 的關係 例如: aRb if a mod n=b mod n 這個相等關係(equality relation){(ai,ai)|ai in A}是一個偏序且 全等的關係(equivalence relation)

  9. 7.2 Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs (Note the different ordering with function composition.) Ex. 7.17 A={1,2,3,4}, B={w,x,y,z}, 及C={5,6,7}. 考慮 R1={(1,x),(2,x),(3,y),(3,z)}, 一個由A到B的關係, 且 R2= {(w,5),(x,6)}, 一個由B到C的關係. 則 R1 R2={(1,6),(2,6)} 是一個由A到C 的關係.

  10. 7.2 Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs

  11. 7.2 Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs Ex. 7.21 A={1,2,3,4}, B={w,x,y,z}, 及 C={5,6,7}. R1={(1,x),(2,x),(3,y),(3,z)}, A到B的關係且 R2= {(w,5),(x,6)}, B到C的關係. 矩陣關係

  12. 7.2 Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs 令A的集合，|A|=n且A上的一個關係 R. 若M(R) 是一個 R的 關係矩陣, 則 (a) M(R)=0 (所有為元素為0的矩陣) 若且唯若R= Ø (b) M(R)=1 (所有元素為1的矩陣) 若且唯若 R=AA (c) M(Rm)=[M(R)}m, 對m∈ Z+.

  13. 7.2 Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs

  14. 7.2 Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs

  15. 7.2 Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs

  16. 7.2 Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs Def. 7.14 有向圖G=(V,E) (Digraph) Ex. 7.25 一個迴圈 V={1,2,3,4,5} E={(1,1),(1,2),(1,4),(3,2)} 2 1 4 3 5 孤立點(node) 1 .2是連接的 . 2 .1是連接的. 無向圖:沒有方向的邊

  17. 7.2 Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs Ex. 7.26 作一個有向圖G=(V,E), 令 V={s1, s2, s3, s4, s5, s6, s7, s8}且(si, sj)在E裡 若si必須在sj前先執行. (s1) b:=3; (s2) c:=b+2; (s3) a:=1; s5 s7 (s4) d:=a*b+5; 程序圖 (precedence graph( (s5) e:=d-1; (s6) f:=7; s4 s2 s8 (s7) e:=c+d; (s8) g:=b*f; s3 s1 s6 前驅 constraint scheduling 一般, n任務, m處理程序: NP-complete m=2:多項的 m=3:開放問題 3 處理程序: 3時間組件 2 處理程序: 4時間組件

  18. 7.2 Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs Ex. 7.27 relations and digraphs A={1,2,3,4}, R={(1,1),(1,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2)} 連接圖:在任兩個點之間 有一條路徑( path) 2 2 1 1 3 3 path: 不重複的邊 4 4 有向圖 組合的無向圖 cycle: 一個封閉的路徑(起點 和終點是一樣的) Def. 7.15強連通(有向圖) 在任意兩點之間必有一個有向路徑 上圖不是強連通. (在3到1之間沒有有向路徑)

  19. 7.2 Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs Ex. 7.28分量( Components) 1 1 2 2 3 3 4 4 一個分量 兩個分量 Ex. 7.29 完全圖: Kn (n個點有 n(n-1)/2 個邊) K5 K1 K2 K3 K4

  20. 7.2 Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs 有向圖 關係 相鄰矩陣 關係矩陣 Ex. 7.30 若 R 是集合A 上的有限關係, 則 R是反身性的，唯若 且若這個有向圖包含一個迴路在每個 Ex. 7.31 A 關係R在有限集合A上是對稱的，為若且若有向圖只包 函迴圈和無向圖 Ex. 7.31 A 關係R在集合A上的有限關係是有遞移性的，為若且若 在有向圖若由 x到 y有路徑，則(x,y) 是一個邊. 關係 R 在集合A上的有限關係是反對稱的，為若且若，除了自己 迴圈外沒有無向邊.

  21. 7.2 Computer Recognition: Zero-One Matrices and Directed Graphs Ex. 7.33 A 關係在有限集合A上是一個全等關係，為若且若 組合的 (無向的) 邊是一個完全圖且增加迴圈在點或 每個頂點有迴圈由不相交的完全圖聯集 (disjoint union of complete graphs) 反身性(reflexive): 在每個點上的迴圈 對稱性(symmetric): 無向邊 遞移性(transitive):若由 x到 y有路徑，則(x,y) 是一個邊.

  22. 7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams 自然數 : N x+5=2 : Z 2x+3=4 : Q x2-2=0 : R x2+1=0 : C 當我們要從R到C ，有些事被遺忘. 我們忘記了如何去“order”(序) 這個元素 在C上. L令A唯一個集合且 R 是A上的關係. 這個序對(A,R) 被稱為 偏序集(partially order set), 或poset, 若關係 R 是一個偏序集. Ex. 7.34 令A為某學校開設的課程. 定義AR為xRy若x,y 為相同課程或x為y的先修課程. 即R 使 A成為一個偏序集

  23. 7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams Ex. 7.36 效能評估技術 PERT (Performance Evaluation and Review Technique) A poset J4 J3 J7 J1 J6 J5 J2 找出每個工作最早的開始時間和最晚的開始時間 這些工作早相等於晚是關鍵的. 所有關鍵工作從關鍵路徑而來

  24. 7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams 不是偏序 2 1 2 3 1 不是反對稱的 不是遞移關係或不是反對稱的 Ex. 7.37 Hasse diagram Read bottom up. reflexivity and transitive links are not shown. 4 4 2 3 2 3 一個偏序 1 1 corresponding Hasse diagram

  25. 7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams Ex. 7.38 {1,2,3} 相等關係 385 8 12 {1,2} {1,3} {2,3} 35 4 6 2 3 5 7 {1} {2} {3} 2 3 5 11 2 7 1 恰好整除關係 子集合關係

  26. 7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams Def. 7.16 若 (A,R) 是一個偏序, 我們可以構造A是一個全序，若 對所有x,y∈AxRy或yRx. 滿足這些條件的 R 被稱為全序. For example, <,> 是N,Z,Q,R的全序. 但C是偏序. 但是我們可以用一些方法列出偏序集嗎？ 全序集合排序(sorting for a totally ordered set)

  27. 7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams 對偏序集的拓樸排序(topological sorting) F G D 不會違背偏序原則下, 在一定時間上如何執行個工作上的排序? C A For example, BEACGFD, EBACFGD, ... B E Hasse diagram for a set of tasks

  28. 7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams 拓樸分類順序 (線性伸展) d c a^bc^d: 2 jumps a^bd^c: 2 jumps b^ac^d: 2 jumps b^a^d^c: 3 jumps bd^ ac: 1 jumps 找出現性伸展 與最小的跳躍. b a (an NP-complete problem)

  29. 7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams

  30. 7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams Ex.7.43 {1,2,3}max max 385 8 max 12 {1,2} {1,3} {2,3} max and min 35 4 6 2 3 5 7 {1} {2} {3} 2 3 5 11 2 7 min 1 min min unique max and min

  31. 7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams 在拓樸分類, 每個時間我們發現一個極大元 或每個時間我們發現一個極小元.

  32. 7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams

  33. 7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams Theorem 7.4 如果偏序集 (A,R) 有一個最大(最小)元素則 是獨一無二的. Proof: 假定x,y在A而且也是最大元素. 即 (x,y) 且(y,x) 都是在 R 裡. 因 R 是反對稱的，所以 x=y.既最大元素唯一,同理最小元是唯一,證明相似

  34. Ex. 7.46 令U={1,2,3,4}, 具有A=P(U), 令 R 為 A 上的 子集合關係. 若B={{1},{2},{1,2}}, 則 {1,2}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,3,4} 均為B的上界(在A裡) ，而 {1,2} 是一個最小上界(在B裡). 同時, B的最大下界是Ø， 且Ø 不在B裡. 7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams

  35. 7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams Ex. 7.47 令R是 “小於或等於”關係偏序集 (A,R). (a) 若 A=R且B=[0,1] 或 [1,0) 或 (0,1] 或 (0,1), 即B有glb 0 和 lub 1. (b) 若A=R, B={q in Q|q2<2}. 即B = 當lub 和- as glb, 且也不在B 裡. (c) A=Q, 且B為(b)的一部分. 則B沒有 lub 或 glb.

  36. 7.3 Partial Orders: Hasse Diagrams

  37. 7.3 Partial Orders: 各定義比較

  38. 7.4 Equivalence Relations and Partitions

  39. 7.4 Equivalence Relations and Partitions

  40. 7.4 Equivalence Relations and Partitions

  41. 7.4 Equivalence Relations and Partitions Ex. 7.58 若 R是A上的一個等價關係={1,2,3,4,5,6,7} 歸納 出分割 ? R是什麼? Theorem 7.7 若A是一個集合, 則 (a)A上的任一個等價 R 引出A 個一個分割, 且 (b) A 的任意分割給出A 上的一個等價關係R.. Theorem 7.8 對任意集合A, 則存在一個一對一應介於A上的等價 關係集合及A的分割集合之間.

  42. 7.4 Equivalence Relations and Partitions

  43. 7.5 Finite State Machines: The Minimization Process s1,s2 i ∈S, 這個狀態稱為1-等價, 定義S上的關係， E1為 s1E1s2, 是被定義成當w(s1,x)=w(s2,x) 對所有x在I裡. 對每個k∈Z， 我們說狀態s1,s2為k-等價為, where s1Eks2 if w(s1,y)=w(s2,y) for all y in Ik. 若兩個狀態是k-等價，對於所有的k∈ Z+, 則被稱為等價的 , 表示為s1Es2. Hence 我們客觀的決定 S的分割，並對每個 等價關係 E 挑選一個狀態，則我們將有一個以隻機器極 小話認知.

  44. 7.5 Finite State Machines: The Minimization Process observations: (1) 若機器裡的兩個狀態不是2-等價, 他們可能為 3-等價嗎? 一般來說, 欲求 (k+1)-等價, 我們會觀察k-等價的狀態

  45. 7.5 Finite State Machines: The Minimization Process observations:

  46. 7.5 Finite State Machines: The Minimization Process Ex. 7.60 step 1: 對定義1-等價狀態詢問 輸出 v w 0 1 0 1 P1: {s1},{s2,s5,s6},{s3,s4} s1s4s3 0 1 s2s5s2 1 0 s3s2s4 0 0 s4s5s3 0 0 s5s2s5 1 0 s6s1s6 1 0 A B input 0 C s5 s2 s1 s2 s5 P2: {s1},{s2,s5},{s6},{s3,s4} D input 1 s2 s5 s4 s3 P3=P2, 這個過程4 個狀態是完全的.

  47. 7.5 Finite State Machines: The Minimization Process 能夠做出P3=P2, 但P3=P4嗎?

  48. 7.5 Finite State Machines: The Minimization Process

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