Décomposer une image sur une base d'ondelettes

1. Décomposer une image sur une base d'ondelettes DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI Images et Filtres: APP3

2. Introduction • Technique inventée par Alfred Haar en 1909. • Compression sans pertes (quantification/seuillage perte irréversible) • Consiste à décomposer une image en plusieurs images de résolution inférieure. • Espaces d'approximations de plus en plus grossiers : . • Espaces "capturant" les détails perdus entre chaque niveau d'approximation : . DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI

3. Axes d’étude • Ondelettes de Haar • Transformée de Haar 1D • Transformée de Haar 2D • Compression d’image • Détection de contours • Débruitage d’une image DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI

4. I. Ondelettes de Haar DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI

5. II. Transformée de Haar 1D (méthode 1) Signal numérique unidimensionnel de taille n=8= : ETAPE 1: • On forme les paires : • On calcule les moyennes : • On calcule les détails : • On forme le vecteur ETAPE 2: • On forme les paires : • On calcule les moyennes : • On calcule les détails : • On forme le vecteur ETAPE 3: • On forme les paires : • On calcule les moyennes : • On calcule les détails : • On forme le vecteur TH d’ordre 1 DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI TH d’ordre 2 TH d’ordre 3

6. II. Transformée de Haar 1D (méthode 2) ETAPE 1: avec ETAPE 2: avec ETAPE 3: avec Donc on a directement: Avec TH d’ordre 1 TH d’ordre 2 DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI TH d’ordre 3

7. III. Transformée de Haar 2D Image numérique: • Méthode 1: on réitère la transformée de Haar sur chacune des lignes et colonnes de et on obtient • Méthode 2: on trouve directement . Avec cette méthode on a directement la transformée de Haar inverse: Signal unidimensionnel DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI

8. Organisation suite à la TH d’ordre 1 DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI

9. Organisation suite à la TH d’ordre 2 DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI

10. IV. Compression d’image Exemple de transformée de Haar à l’ordre 2 d’une image. Les coefficients d’approximation (moyenne) sont filtrés avec un filtrage passe-bas. Les coefficients de détail sont filtrés avec un filtrage passe-haut. DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI

11. IV. Compression d’image Transformée de Haar Suppression des hautes fréquences (pertes irréversibles) Transformée de Haar inverse DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI

12. IV. Compression d’image Image d’origine Image compressée DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI

13. V. Détection de contours Les informations sur le contour sont contenues dans la moyenne du détail et dans le détail de la moyenne. On ajoute alors ces deux matrices pour former la matrice contours. DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI

14. V. Détection des contours On retrouve l’image contenant les informations des contours DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI

15. VI. Débruitage d’une image • On bruite notre image en simulant un bruit blanc gaussien de moyenne nulle. • On crée une fonction de seuillage dont le paramètre détermine le minimum de la matrice. • C’est-à-dire que toutes les valeurs seront nulles. DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI

16. VI. Débruitage d’une image Image bruitée Image débruitée DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI

17. Conclusion • En comparaison avec la DCT, la compression par ondelettes de Haar offre une plus grande finesse au niveau de l’analyse du signal et permet de mieux s’adapter aux propriétés locales de l’image. DAVID-LAGDIM-PERETTI-PIERSON-UGOLINI