第 5 章 均匀平面波在无界空间中的传播

1. 第5章 均匀平面波在无界空间中的传播 本章内容 5.1理想介质中的均匀平面波 5.2 电磁波的极化 5.3 导电媒质中的均匀平面波 5.4 色散与群速 5.5 均匀平面波在各向异性媒质中的传播

2. 电磁波的相关概念 • 电磁波：时变电磁场的电场和磁场相互关联，构成一个整体 —— 电磁场。电场和磁场分别是电磁场的两个分量。电场和磁场相互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播，这就是电磁波。 • 相位：对于电磁波，是指特定时刻在其循环周期中的位置，是电磁波是否在波峰、波谷或波峰和波谷之间的某点的一种标度，是描述信号波形变化的度量，通常以度 （角度）作为单位，也称作相角。例如： 其中 称为相位。电磁波的相位组成包含三部分：时间相位 ，空间相位 ，初相位 。

3. 波阵面 x E 波传播方向 o z y H 均匀平面波 • 均匀平面波的概念 • 波阵面：相位相同的点构成的曲面，即等相位面 • 平面波：等相位面为无限大平面的电磁波 • 均匀平面波：等相位面上电场和磁场的方向、振幅和相位都保持不变的平面波 • 均匀平面波是电磁波的一种理想 • 情况，其分析方法简单，但又表 • 征了电磁波的重要特性。

4. 5.1理想介质中的均匀平面波 5.1.1 理想介质中的均匀平面波函数 5.1.2 理想介质中均匀平面波的传播特点 5.1.3 沿任意方向传播的均匀平面波

5. 同理 • 结论：沿z方向传播的均匀平面波的电场强度和磁场强度都没有沿传播方向的分量，即 和 都垂直于波的传播方向 —— 横电磁波（TEM波） 5.1.1理想介质中的均匀平面波函数 设在无限大的无源空间中，充满线性、各向同性的均匀理想介质。均匀平面波沿 z 轴传播，则电磁强度和磁场强度均不是 x和 y 的函数，即 由于

6. 其解为： 可见， 表示沿 +z 方向传播的波。 沿 -z 方向传播的波 设电场 只有x 分量，即 的波形 • 解的物理意义 • 第一项 • 第二项

7. 由，可得 其中 称为媒质的本征阻抗。在真空中 在无界均匀媒质中只存在沿一个方向传播的电磁波，因此只讨论沿正z方向传播的均匀平面波，即 • 相伴的磁场 • 结论：在理想介质中，均匀平面波的电场强度与磁场强度相 • 互垂直，且同相位。

8. 的曲线 E 频率 f： x o t T 5.1.2 理想介质中均匀平面波的传播特点 1、均匀平面波的传播参数 （1）角频率、频率和周期 角频率ω：表示单位时间内的相位变化，单位为rad/s 周期T：在给定位置上，时间相位（ωt）变化 2π的时间间隔，即

9. 的曲线 E x o z l （2）波长和相位常数 波长λ：在任意固定时刻，空间相位（kz）差为2π的两个波阵面（等相位面）的间距。 相位常数k：表示波传播单位距离的相位变化 k的大小等于空间距离2π内所包含的波长数量，因此也称为波数。

10. 即 （3）相速（波速） 相速v：电磁波的等相位面在空间的移动速度 对于平面波上任意固定观察点（如波谷M）其相位为恒定值， 当t变化为 时，要保证相位不变，则 满足

11. 相速只与媒质参数有关，而与电磁波的频率无关相速只与媒质参数有关，而与电磁波的频率无关 真空中： 故得到均匀平面波的相速为

12. 电场能量与磁场能量相同 由于 ，于是有 故 2、能量密度与能流密度

14. 理想介质中均匀平面波的 和 x E H E o H y z 3、理想介质中的均匀平面波的传播特点 根据前面的分析，可总结出理想介质中的均匀平面波的传播特点为： • 电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波（TEM • 波） • 无衰减，电场与磁场的振幅不变 • 波阻抗为实数，电场与磁场同相位 • 电磁波的相速与频率无关，无色散 • 电场能量密度等于磁场能量密度，

15. 例5.1.1频率为100MHz的均匀平面波，在一无耗媒质中沿 +z方向传播，其电场 。已知该媒质的相对介电常数εr = 4、相对磁导率μr =1 ，且当t = 0、z =1/8m时，电场幅值为10－4 V/m。 试求电场强度和磁场强度的瞬时表示式。 解：设电场强度的瞬时表示式为 式中 对于余弦函数，当相角为零时达振幅值。考虑条件t = 0、z =1/8m 时，电场达到幅值，得

16. 所以 磁场强度的瞬时表示式为 式中 因此

17. 例5.1.2频率为9.4GHz的均匀平面波在聚乙烯中传播，设其为无耗材料，相对介电常数为εr =2.26。若磁场的振幅为7mA/m，求相速、波长、波阻抗和电场强度的幅值。 解：由题意 因此

18. 解：电场强度的复数表示式为 自由空间的本征阻抗为 故得到该平面波的磁场强度 例5.1.3自由空间中平面波的电场强度 求在z =z0处垂直穿过半径R =2.5m的圆平面的平均功率。 于是，平均坡印廷矢量 垂直穿过半径R =2.5m的圆平面的平均功率

19. 作业 1、均匀平面波的磁场强度的振幅为 A/m，以相位常数为30 rad/m 在空气中沿 方向传播。当t = 0 和 z = 0时，若 取向为 ，试写出 和 ，并求出频率和波长。 2、已知在真空中传播的均匀平面波的电场瞬时值为 试求该平面波的（1）频率和波长；（2）相速；（3）电场强度和磁场强度的复数形式；（4）平均坡印廷矢量。

20. 等相位 等相位 波传播方向 面 面 沿 传播方向的均匀平面波 x x P(x,y,z) P(x,y,z) e r n 波传播方向 r o z o z y y 沿＋z方向传播的均匀平面波 沿任意方向传播的均匀平面波 5、沿任意方向传播的均匀平面波 沿+z方向传播的均匀平面波

21. 则 例5.1.4 在空气中传播的均匀平面波的磁场强度的复数表示式为 解：（1）因为 ，所以 式中A为常数。求：（1）波矢量 ；（2）波长和频率；（3）A的值；（4）相伴电场的复数形式；（5）平均坡印廷矢量。

22. （4） （2） （3）

23. （5）

24. 5.2 电磁波的极化 5.2.1 极化的概念 5.2.2 线极化波 5.2.3 圆极化波 5.2.4 椭圆极化波 5.2.5 极化波的合成与分解 5.2.6 极化的工程应用

25. 5.2.1 极化的概念 • 波的极化 在电磁波传播空间给定点处，电场强度矢量的端点随时间变化的轨迹。 • 波的极化表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变 • 化的特性, 是电磁理论中的一个重要概念。 例如 即 的方向固定在x方向上，称这种波为x方向的直线极化波。

26. 一般情况下，沿+z方向传播的均匀平面波 ，其中 • 极化的三种形式 • 均匀平面波的极化就是用合成矢量的端点随时间变化的轨迹来描述。 电磁波的极化状态取决于Ex和Ey的振幅之间和相位之间的关系，分为：线极化、圆极化、椭圆极化。 • 线极化：电场强度矢量的端点轨迹为一直线段 • 圆极化：电场强度矢量的端点轨迹为一个圆 • 椭圆极化：电场强度矢量的端点轨迹为一个椭圆

27. 随时间变化 常数 5.2.2 线极化波 • 条件： 或 • 合成波电场的模 • 合成波电场与+ x 轴的夹角 • 特点：合成波电场的大小随时间变化但其矢 • 端轨 迹与x轴的夹角始终保持不变。 • 结论：任何两个同频率、同传播方向且极化方向互相垂直的 • 线极化波，当它们的相位相同或相差为±π 时，其合 • 成波为线极化波。

28. 条件： 随时间变化 常数 • 合成波电场的模 5.2.3 圆极化波 则 • 合成波电场与+ x 轴的夹角 • 特点：合成波电场的大小不随时间改变，但方向却随时间变 • 化，电场的矢端在一个圆上并以角速度ω 旋转。 • 结论：任何两个同频率、同传播方向且极化方向互相垂直的 • 线极化波，当它们的振幅相同、相位差为±π/ 2 时， • 其合成波为圆极化波。

29. E E y y x y Ey E a a o o x Ex x E 左旋圆极化波 右旋圆极化波 • 右旋圆极化波：若 φy － φx＝-π/2，则电场矢端的旋转方向与电磁波传播方向成右手螺旋关系，称为右旋圆极化波 • 左旋圆极化波：若 φy － φx＝π/2，则电场矢端的旋转方向与电磁波传播方向成左手螺旋关系，称为左旋圆极化波

30. 其它情况下，令 ，由 5.2.4 椭圆极化波 可得到 特点：合成波电场的大 小和方向都随时间 改变，其端点在一 个椭圆上旋转。

31. 合成波极化的小结 • 电磁波的极化状态取决于Ex和Ey的振幅Exm、Eym和相位差 • φ＝φy －φx • 对于沿+ z 方向传播的均匀平面波： • 线极化： φ= 0、± ； • φ= 0，在1、3象限，φ= ± ，在2、4象限 • 圆极化：φ= ± /2，Exm = Eym； • 取“＋”，左旋圆极化，取“－”，右旋圆极化 • 椭圆极化：其它情况；φ＞0，左旋，φ＜0，右旋

32. 左旋椭圆极化波 左旋圆极化波 右旋圆极化波 线极化波 例5.2.1说明下列均匀平面波的极化方式。 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 解：（1） （2） （3） （4）

33. 5.2.5 极化波的分解 • 任何一个线极化波、圆极化波或椭圆极化波可分解成两个线极化波的叠加 • 任何一个线极化波都可以表示成旋向相反、振幅相等的两圆极化波的叠加,即 • 任何一个椭圆极化波也可以表示成旋向相反、振幅不等的两圆极化波的叠加，即

34. 5.2.6 极化波的工程应用 电磁波的极化在许多领域中获得了广泛应用。如： • 在雷达目标探测的技术中，利用目标对电磁波散射过程中改变 • 极化的特性实现目标的识别 • 无线电技术中，利用天线发射和接收电磁波的极化特性，实现 • 最佳无线电信号的发射和接收。 • 在光学工程中利用材料对于不同极化波的传播特性设计光学偏 • 振片等等

35. 电磁波在媒质中传播时要受到媒质特性的影响。例如前面已经讨论的理想介质中的波，传播速度 与媒质参数有关；另外媒质的本征阻抗 决定了电场与磁场之间的关系。本节讨论导电媒质对电磁波传播的影响。 5.3导电媒质中的均匀平面波 • 导电媒质的典型特征是电导率 ≠ 0 • 电磁波在导电媒质中传播时，有传导电流 J = E 存在，同时 • 伴随着电磁能量的损耗 • 电磁波的传播特性与非导电媒质中的传播特性有所不同

36. 5.3.1 导电媒质中的均匀平面波 在导电媒质中，复数形式的麦克斯韦方程为： 定义复介电常数 可表示为： 则 其余方程形式不变

37. 导电媒质中的麦克斯韦方程 无源理想介质中的麦克斯韦方程

38. 据此可导出电导媒质中的波动方程 令 ——复波数 定义 则波动方程可表示为：

39. 称为电磁波的传播常数。令 瞬时值形式 振幅有衰减 （理想介质中） 对于上述波动方程，沿 z 轴传播的均匀平面波解为

40. 是衰减因子， 称为衰减常数，单位：Np/m（奈培/米） 是相位因子， 称为相位常数，单位：rad/m（弧度/米） 若 ，则表示电磁波传播1m时其振幅衰减至原来的 倍（即0.368倍）。 相位因子 表征电磁波随传播距离增加，其相位的变化特性。 相位常数 表征电磁波传播单位距离其相位的变化量。相位常数与波数是不同的概念，只是在理想介质中，相位常数的值等于波数k 。

41. 相速不仅与媒质参数有关，而与电磁波的频率有关相速不仅与媒质参数有关，而与电磁波的频率有关 • 传播参数

42. 本征阻抗 模 是一复数，可将其表示为 辐角 • 相伴的磁场

43. 本征阻抗为复数 磁场滞后于电场 • 本征阻抗 导电媒质中的电场与磁场 理想介质中的电场与磁场

44. 坡印廷矢量 • 平均坡印廷矢量

45. 导电媒质中均匀平面波的传播特点 • 电场强度 、磁场强度 与波的传播方向相互垂直，是横电磁波（TEM波）； • 媒质的本征阻抗为复数，电场与磁场不同相位，磁场滞后于 • 电场 角； • 在波的传播过程中，电场与磁场的振幅呈指数衰减； • 波的传播速度（相速）不仅与媒质参数有关，而与频率有关 • （有色散）。

46. 无线电技术中广泛使用的一些媒质，例如，有机玻璃、聚乙烯、聚苯乙烯等都属于弱导电媒质，因为它们的电导率 都极低（~10-6量级），在高频至超高频范围内，都满足 的条件。 5.3.2 弱导电媒质中的均匀平面波

47. 衰减小； • 相位常数和理想介质中的相位常数大致相等； • 电场和磁场存在较小的相位差。 弱导电媒质： • 弱导电媒质中均匀平面波的特点

48. 由此可见，在弱导电媒质中，均匀平面波的传播特性，除了有微弱的损耗引起的衰减外，其余和理想介质相同。例如在聚苯乙烯中 的电磁波传播每公里只有5%的衰减，电场与磁场的相位差

49. 良导体是电导率很高的导电媒质。例如： 铜、 、银 、铝 等。在整个无线电频率范围内都满足。在这类媒质中，传导电流远大于位移电流。电磁波在良导体中传播时有很大的能量损耗。 5.3.3 良导体中的均匀平面波

50. 金、银、铜、铁、铝等金属 对于无线电波均是良导体。 例如铜： 良导体： 波长： 相速： • 良导体中的参数