Variansanalyse

1. Variansanalyse på normalfordelte observationer af Jens Friis

2. Ensidig variansanalyse Model enkelt normalfordelt observationsrække Lad X1, X2, ……Xn er indbyrdes uafhængige N(μ, σ2) - fordelt stokastiske variable. Det tilhørende observationssæt kaldes x1, x2, ……xn Estimater Kvadratsumsopspaltning

3. Hypotesen H0 : μ = μ0 med H1 : μ ≠ μ0 ønskes testet. Teststørrelsen bliver Det ses, at er en stokastisk variabel, og derfor er t ikke normalfordelt. Man kan vise, at er σ2χ2 - fordelt med f=n-1 frihedsgrader. Testoren t følger en såkaldt t-fordeling med f=n-1 frihedsgrader. t-fordelingen konvergere mod N(0, 1) – fordelingen for n gående mod uendelig. t-fordelingens tæthedsfunktion er også symmetrisk om 0. Hypotesen accepteres hvis Tf-1(α/2) ≤ t ≤ Tf-1(1-α/2) , hvor Tf er fordelingdfunk- tionen svarende til t-fordelingen med f frihedsgrader.

4. Eksempel: Ved produktion af piller har man målt nicotamid-indholdet i 20 piller. Indholdet skal være 25mg. Ved stikprøven på 20 piller fik man følgende resultater: Model : Xi ̴ N(μ, σ2) for i=1 til 20 er uafhængige stokastiske variable. H0 : μ = 25 , H1 : μ≠ 25 Parametrene estimeres = 24,797 ; s2 = 1,5187 Teststørrelsen bliver Da 2,5%’s fraktilen er -2,093 for 19 frihedsgrader, accepters hypotesen.

5. Anvendelse af SPSS til analysen: Først undersøges om observationssættet kan anses for normalfordelt. Man får et såkaldt Q-Q plots Det accepteres at observationssættet er normalfordelt.

6. Herefter testes hypotesen : klik Analyze → CompareMeans → One-Sample T test Vælg Test Value til 25 Hypotesen accepteres

7. Simpel lineær regression Antag at Yi for i = 1 til k er uafhængige N(μi, σ2) -fordelte således at Man kan vise at estimaterne for parametrene er Bemærk at skæring med y-aksen er Man kan også vise, at estimatoren for β er - fordelt. Man kan derfor teste hypotesen H0 : β = β0 med teststørrelsen som er t-fordelt med k-2 frihedsgrader under H0 . Hvis β0 = 0 tester man uafhængighed af x og y værdierne.

8. Kvadratsumsopspaltning : Som test for H0 : β = 0 an også anvendes som er F(1,n-2) fordelt.

9. Eksempel : Man for 28 patienter målt kreatininindholdet i blodet før og efter dødens indtræden. Er der en sammenhæng? Dataene kan ses i en excelfil. Der er en pæn lineær sammenhæng og parametrene estimeres. Man vil gerne teste hypotesen H0 : β = 1 som er t-fordelt med 26 frihedsgrader. Da 97,5%’s fraktilen er 2,056 accepteres hypotesen. Dataene er analyseret vha. SPSS : kreatinin.sav

10. Analyse vha. SPSS Først undersøges det om der er en lineær sammenhæng: Dette accepteres.

11. Parametrene estimeres: Klik Analyze→Regrssion→Linear s2 Skæring med y-aksen og Spredningen på Testet for H0 : β = 1 bliver , som det blev vist tidligere.

12. Yderligere modelkontrol : Man bør undersøge residuerne, dvs. afvigelserne fra modellen Klik Analyze→Regression→Linear→Save og flueben som vist Optegn de forventede mod de observerede y-værdier mod hinanden og nogle passende plots af residuerne.

14. Model flere normalfordelte observationsrækker Lad Xij , i=1,2…k, j=1,2…ni være indbyrdes uafhængige N(μi, σ2) - fordelt stokastiske variable. Det tilhørende observationssæt kaldes xij , i=1,2…k, j=1,2…ni, og lad Estimater Modelkontrol Det forudsættes at for hver i er observationsrækken normalfordelt, og at der er tale om varianshomogenitet for de k observationsrækker dvs. for , i=1,2….k Man kan benytte et Barletts test eller et Levene test ( er tilgængeligt i SPSS).

15. Følgende hypotese ønskes testet: H0 : μi = μ , i = 1,2…k (samme middelværdi i de k observationsrækker) Kvadratsumsopspaltning : Teststørrelsen for H0 er , som er F(k-1,n-k) fordelt . Store værdier er kritiske. Hvis H0 accepteres er estimaterne følgende:

16. Eksempel To titreringsmetoder anvendes. Det ønskes undersøgt om de giver samme resultat: T1 T2 76,35 76,23 76,33 76,30 76,45 76,33 76,40 76,33 76,68 76,28 76,33 76,45 76,40 76,38 76,28 76,43 76,58 76,45 76,65 76,60 76,40 76,40 77,03 76,80 76,90 76,95 74,83 74,88 75,28 75,25 Det skal først undersøges om de to observationsrækker kan anses for normalfordelte, og i bekræftende fald om der er varianshomogenitet. Dataene organiseres som liste i SPSS: nr. Tnr Antag at dataene er normalfordelte. Klik Analyze → CompareMeans → One-wayAnova : 1 76,35 1 76,33 1 76,45 76,40 osv.

17. Man får Da teststørrelsen er 0,014 og den er F(1, 28) fordelt accepters hypotesen om varianshomogenitet. s12 SSD1 SSD0 SSD s02 Test-størrelsen. H0 accepters ( ingen forskel på de to titrerings- metoder).

18. Tosidig variansanalyse Model : ~ i= 1,2….r ; j=1,2….s ; k=1,2….t ; n=rst I første omgang skal man undersøge om der er varianshomogenitet i de rs observationsrækker. Denne hypotese kaldes H0 (arbejdshypotese). Derefter er der flere hypoteser, som man kan opstille. H1 : . Dvs. en rækkeeffekt plus en søjleeffekt. H2 : Dvs. ingen rækkeeffekt. H2* : Dvs. ingen søjleeffekt. H3 : Dvs. samme fordeling i de rs observations- rækker (fuldstændig homogenitet). Der er valgt en normering således at og .

19. Man kan vise, at estimaterne for middelværdiparametrene under H1 er : Under H0 er estimatet for σ2 : SSD0/f0 ( se næste side) Under H1 er estimatet for σ2 : (SSD0+SSD1)/(f0+f1 )

20. Kvadratsumsopspaltning:

21. Test: H1 : aditivitet som er fordelt. H2 : ingen rækkevirkning som er fordelt. H3 : fuldstændig homogenitet (heller ingen søjlevirkning ) som er fordelt. Man kan også vælge at teste for ingen søjlevirkning først. Der skal så byttes rundt på SSD2 og SSD2* og deres frihedsgrader i de to test. Hver gang man har accep- teret en hypotese, er ændres estimatet for variansen. Hvis fx H2 accepteres er Estimatet for variansen (SSD0+SSD1+SSD2)/(f0+f1+f2)

22. Eks. Man har testet et byggemateriale for vandgennemtrængning, målt i sekunder. Man har derpå taget logaritmen til tiden. Byggematerialet blev produceret på 3 forskellige maskiner 9 forskellige dage med 3 målinger pr. dag: Først skal man lave en modelkontrol. Da der kun er tre observationer pr. dag , er det ikke muligt at lave en fornuftig kontrol af, om der er tale om normalfordelte observationer pr. maskine x dag. Derimod kan man estimer variansen pr. maskine x dag, og teste om der er varianshomogenitet. Dette gøres med enten et Bartletts test eller Levene. I SPSS er det muligt, at foretage et Levene test. For at benytte SPSS skal dataene organiseres som en lang liste : dag maskine måling 1 1 1,404 1 1 1,346 1 1 1,618 1 2 1,306 1 2 1,628 1 2 1,410 1 3 1,932 1 3 1,674 1 3 1,399 2 1 1,447 osv.

23. Dette kan gøres samtidigt med den tosidige variansanalyse i SPSS: Klik Analyze → Generel Linear Model → Univariate og udfyld som vist. Teststørrelsen er F(26,54) fordelt. Testet er dobbeltsidigt og ikke signifikant her. Grafisk modelkontrol for additivitet : Der afsættes punkterne som skal ligge omkring en ret linje med hældningskoefficienten 1.

24. Herefter selve variansanalysen: Her er r=9 , s=3(antal maskiner) og t=3 Er test for H2, men s22/so2 SSD2 SSD1 Test for H1 accept. SSD SSD0

25. Tosidig variansanalyse med forskelligt antal observationer pr. celle Model : ~ i= 1,2….r ; j=1,2….s ; k=1,2….nij ; n= Alt er stort set som før. Man får følgende kvadratsumopspaltning.

26. Lineær regression med flere observationer pr. x Antag at Yij for i = 1 til k , j=1 til ni er uafhængige N(μij, σ2) -fordelte således at Man kan vise at estimaterne for parametrene er Bemærk at Bemærk igen at skæring med y-aksen er Man kan også vise, at estimatoren for β er - fordelt. Man kan derfor teste hypotesen H2 : β = β0 med teststørrelsen som er t-fordelt med f0+1 frihedsgrader under H0 . Hvis β0 = 0 tester man uafhængighed af x og y værdierne. Vedr. s012 se følgende.

27. Kvadratsumsopspaltning : Testet for H1 : lineær regression er som er F(k-2,n-k) fordelt. Bemærk, at hvis H1 accepteres er estimatet for variansen s012=(SSD0+SSD1)/(f0+f1) Testet for H2: β = 0 fuldstændig homogenitet er som er F(1, n-2) fordelt. Modelkontrol: Det skal undersøges, at for hvert k kan observarionsrækkenyij, j=1,2..ni anses for normalfordelt

28. Eksempel: Nedenstående tabel viser logaritmen til trækstyrken (kg/cm2) og den reciprokke hærdningstid ( dage) for nogle cementstykker: dage måling nr. Træk.styrke log reciprok dag 1 1 13,00 1,114 1,000 1 2 13,30 1,124 1,000 1 3 11,80 1,072 1,000 2 1 21,90 1,340 0,500 2 2 24,50 1,389 0,500 2 3 24,70 1,393 0,500 3 1 29,80 1,474 0,333 3 2 28,00 1,447 0,333 3 3 24,10 1,382 0,333 3 4 24,20 1,384 0,333 3 5 26,20 1,418 0,333 7 1 32,40 1,511 0,143 7 2 30,40 1,483 0,143 7 3 34,50 1,538 0,143 7 4 33,10 1,520 0,143 7 5 35,70 1,553 0,143 28 1 41,80 1,621 0,036 28 2 42,60 1,629 0,036 28 3 40,30 1,605 0,036 28 4 35,70 1,553 0,036 28 5 37,30 1,572 0,036 Først en grafisk undersøgelse:

29. Som det ses er der tale om en pæn lineær Sammenhæng. Lad yij betegne log(trækstyrke) og xi den reciprokke hærdningstid. n = 21, k = 5 0 Klik Analyze → CompareMeans → One-WayAnova →

30. Accept af varianshomogenitet. SSD0 Herefter skal der foretages en lineær regression. Tast Analyze → Regression → Linear og man får

31. SSD0+SSD1 Skæring med y-aksen som accepteres. Test for linearitet

32. Videregående regressionsanalyse : Model: Antag at Yi for i = 1 til k er uafhængige N(μi, σ2) -fordelte således at ,hvor xij’erne er kendte værdier og βj’erne ukendte parametre. Dette kan formuleres med matricer: og lad betegne observationerne. Og lad være et underrum. Estimaterne bliver Ofte sættes første søjle i X til 1-taller således, at β1 er det generelle niveau.

33. Eksempel : Indianere i Peru Ændringer i menneskers livsbetingelser kan give sig udslag i fysiologiske ændringer, eksempelvis i ændret blodtryk. En gruppe antropologer undersøgte hvordan blodtrykket ændrer sig hos peruvianske indianere der flyttes fra deres oprindelige primitive samfund i de høje Andesbjerge til den såkaldte civilisation, dvs. storbyen, der i øvrigt ligger i langt mindre højde over havets overflade end deres oprindelig bopæl (Davin (1975), her citeret e er Ryan et al. (1976)). Antropologerne udvalgte en stikprøve på 39 mænd over 21 år der havde undergået en sådan flytning. På hver af disse måltes blodtrykket (det systoliske og det diastoliske) samt en række baggrundsvariable, heriblandt alder, antal år siden flytningen, højde, vægt og puls. Desuden har man udregnet endnu en baggrundsvariabel, nemlig »brøkdel af livet levet i de nye omgivelser«, dvs. antal år siden flytning divideret med nuværende alder. Man forestillede sig at denne baggrundsvariabel kunne have stor »forklaringsevne«.

34. Her vil vi ikke se på hele talmaterialet, men kun på blodtrykket (det systoliske) der skal optræde som y-variabel, og på de to x-variable brøkdel af livet i de nye omgivelser og vægt. Disse er angivet i tabel 11.8 (fra Ryan et al. (1976)). 1. Antropologerne mente at x2, brøkdel levet i de nye omgivelser, var et godt mål for hvor længe personerne havde levet i de civiliserede omgivelser, og at det derfor måtte være interessant at se om x2 kunne forklare variationen i blodtrykket y. Første skridt kunne derfor være at estimere en simpel lineær regressionsmodel med x2 som forklarende variabel. Gør det! 2. Hvis man i et koordinatsystem afsætter y mod x2, viser det sig imidlertid at det faktisk ikke virker særlig rimeligt at hævde at (middelværdien af) y afhænger lineært af x2. Derfor må man give sig til at overveje om andre af de målte baggrundsvariable med fordel kan inddrages. Nu ved man at en persons vægt har betydning for den pågældendes blodtryk, så næste modelforslag kunne være en multipel regressionsmodel med både x2 og x3 som forklarende variable. I SPSS indtastes dataene således: (hvis man ikke havde 1-tallene vil SPSS give det samme) y x1 x2 x3 170 1 0,048 71,0 120 1 0,273 56,5 125 1 0,208 56,0 148 1 0,042 61,0 140 1 0,040 65,0 Osv. Tast Analyze → Regression → Linear

35. Eksempel : Indianerne i Peru ( se opgaveark) s2 test for lig 0 Alle test for βi = 0 er signifikante.

36. Modelkontrol : Der laves først simple grafer over sammenhæng mellem y’erne og x2’erne og derpå x3’erne. Der er ikke overbevisende lineær sammenhæng. Parametrene i den multiple regression estimeres og de forventede værdier og residuerene beregnes :klik yderligere på Save og sæt flueben somvist. Sammenhænget mellem forventet og observeret er ikke overbevisende men acceptabelt. Residuerene undersøges: Det accepteres, at residuerne kan anses for normalfordelte, men det er ikke flot.