Lagrangeův formalismus

1. Lagrangeův formalismus Newtonova mechanika dobře popisuje pohyby volných těles v polích. Jak ale popsat těleso, které je nějakým způsobem omezeno – například vagón horské dráhy, který je pevně spojen s kolejemi daného tvaru a zároveň se nachází v homogenním gravitačním poli. Jak předpovědět jeho pohyb? Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Pro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (gdermog@seznam.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA.

2. Lagrangeův formalismus Pokusme se najít pohybové rovnice HB, který je pevně vázaný na kruhovou dráhu a pod vlivem homogenního gravitačního pole klouže z vrcholu kružnice dolů. Popišme soustavu v polárních souřadnicích a vzpomeňme si na vypočítané tečné a normálové zrychlení : Dále využijme toho, že r je díky vazbě konstantní, tj. jeho první i druhá derivace jsou nulové a zapišme pohybové rovnice: Dospěli jsme k pohybové rovnici, ale co kdyby dráha byla parabolická? Nebo hyperbolická? Nebo jakákoliv jiná? Kdyby těleso nebylo ke kružnici připevněno, v jakém bodě odpadne?

3. Lagrangeův formalismus Joseph-Louis Lagrange 1736 - 1813 Klasickou mechaniku pro potřebu řešení pohybů s vazbami přeformuloval kolem roku 1788 italský matematik a astronom J. Lagrange. Postuloval, že dráha objektu je daná minimalizací tzv. akce, kterou lze obecně definovat jako kde L je funkce, jejíž hodnota má rozměr energie a její argumenty jsou poloha q, změna polohy (rychlost) a čas. Reálná dráha částice pak probíhá po takové trajektorii, která minimalizuje hodnotu S. Tolik teorie (která je ovšem nesmírně mocným nástrojem). Co si ale s něčím takovým počít? Řekněme si nejprve, jak vypadá L (tzv. Lagrangián) pro hmotný bod z Newtonovské mechaniky: Mravně se chovající potenciál ovšem nezávisí explicitně na čase a Lagrangián je zredukován na

4. Lagrangeův formalismus Jak z této funkce ale dostat pohybové rovnice Newtonovské mechaniky? Je relativně snadné ověřit, že příslušná rovnice zní kde x a jeho časová derivace vystupují jako nezávislé proměnné. V takovém případě totiž

5. Lagrangeův formalismus Lagrangián lze zobecnit na více částic a rozměrů. Označíme-li polohové veličiny x1 … x3n, pak kde n je počet částic. Pro zkrácení budeme argumenty zapisovat jako Pohybové rovnice Newtonovy mechaniky pak lze zapsat jako Lze také ukázat, že přesně toto je zároveň podmínka minimální akce z Lagrangeova tvrzení. Zatím to vůči Newtonově mechanice neznamená žádnou významnou změnu - i když jsme k pohybovým rovnicím došli pouze ze znalosti jediné skalární funkce L bez použití pojmu síly. Toto je mimochodem charakteristický znak Lagrangeova formalizmu – pojem síla vůbec nezavádí.

6. Lagrangeův formalismus Kartézské souřadnice nebývají vždy nejvýhodnějším možným popisem prostoru. Již jsme se setkali se situacemi, kdy výpočty v polárních či sférických souřadnicích byly mnohem jednodušší. Jako souřadnice je ale možné vzít v podstatě cokoliv. Obecně lze říci, že nezávislé parametry q1(t), q2(t), …, qm(t) jsou zobecněnými souřadnicemi, existuje-li jednoznačná transformace to jsou přesně například polární souřadnice, kde q1 = r, q2 = φ a potom Opět lze (s jistými obtížemi) ukázat, že tvar Lagrangeovy rovnice ji v obecných souřadnicích stejný : Odvodíme-li Lagrangián v obecných souřadnicích, pohybové rovnice dostaneme ihned.

7. Lagrangeův formalismus Jako příklad si uveďme matematické kyvadlo (hmotný bod na nehmotném závěsu). Jeho polohu lze popsat jedinou souřadnicí, a to φ. Jeho potenciální energie je dána výškou nad nejnižším bodem, tedy l zatímco kinetická energie je dána součinem úhlové rychlosti a délky závěsu: h Lagrangeova funkce je tedy : a pohybová rovnice pak vyjde Tuto rovnici lze řešit pouze pokud aproximujeme sin φ ≈ φ pro malé úhly – pak se kyvadlo chová jako harmonický oscilátor.

8. Lagrangeův formalismus Obrovská výhoda Lagrangeova formalizmu se ukáže, zavedeme-li vazby. Například : • Bod se pohybuje jen po zadané křivce • Bod se pohybuje jen po zadané ploše • Dva hmotné body se pohybují tak, že jejich vzdálenost se nemění (činka) a lze vymyslet i mnoho dalších typů. Tyto vazby lze vyjádřit pomocí nějaké funkce (či funkcí), která pokládá podmínku na souřadnice (předpokládáme, že vazby nezávisí explicitně na čase) : Mohou existovat i vazby závislé na rychlostech, případně smíšené : V kartézských souřadnicích pak kromě Lagrangeových rovnic řešíme zároveň i vazby – trajektorie tělesa je dána :

9. Lagrangeův formalismus Příklad Příklad Příklad • Sestavte vazebnou podmínku pro HB, který se • pohybuje na povrchu válce • pohybuje po šroubovici, která na 1 otáčce nastoupá o s Sestavte vazebnou podmínku pro tažnou křivku – trajektorii, kterou opisuje břemeno připojené za traktor na pevné tyči, jejíž počáteční směr je kolmý na směr jízdy. Sestavte vazebnou podmínku pro stíhací křivku – trajektorii, po které běží pes, sledující zajíce. Pes i zajíc mají konstantní rychlosti, pes se přitom otáčí tak, aby vždy běžel přímo na zajíce.

10. Lagrangeův formalismus Nyní to hlavní kouzlo – zvolíme-li zobecněné souřadnice tak, aby byly podmínky vazeb splněné identicky, výpočet se značně zjednoduší. Ze soustavy : se pak stane kde souřadnic qi je méně, než kartézských souřadnic xi. Minimálnímu možnému počtu zobecněných se říká počet stupňů volnosti. Toto jsme přesně udělali u matematického kyvadla. Ze znalosti vazby jsme vybrali takovou zobecněnou souřadnici φ, aby platilo Vazebná podmínka je tak splněna nehledě na momentální hodnotu φ a můžeme na ni s klidem zapomenout. Určovat směry a rozložení sil pro klasický Newtonův přístup by bylo nepoměrně těžší – ve složitějších případech téměř nemožné.

11. Lagrangeův formalismus y x l Příklad Najděte Lagrangián pro matematické kyvadlo, které je připevněno na vozíček o hmotnosti M, který se může volně pohybovat v rovině kyvu. Kartézské souřadnice této soustavy jsou čtyři : x1, y1 je poloha vozíku a x2, y2 je poloha kyvadla. Vazebné podmínky jsou následující: M Zvolíme souřadnice takto : q1 = x poloha vozíku podél osy x q2 = φúhel natočení kyvadla m Tím zajistíme, že vazebné podmínky „zmizí“ : je identicky splněna vždy je identicky splněna vždy také, neboť úhel φ je určen souřadnicí y2 a rozdílem x2 - x1.

12. Lagrangeův formalismus y x l Potenciál soustavy určíme snadno – je dán pouze po-tenciálem kyvadla, neboť vozík se pohybuje „po vrstev-nici“ a svou potenciální energii nemění. Tedy M Kinetická energie bude horší – kromě pohybu kyvadla je do ní započten ještě pohyb soustavy při popojíždění vozíku. Musíme tedy vyjít z kartézského vyjádření m a z transformace souřadnic hodnoty doplnit :

13. Lagrangeův formalismus Joseph-Louis Lagrange 1736 - 1813 Isaac Newton 1643 - 1727 Lagrangián L = Ek – U soustavy je tedy Po provedení derivací (které jsou poněkud pracné) dojdeme k jedné z pohybový rovnic: Z té je vidět, že pokud pošleme hmotnost vozíku do nekonečna, pak a rovnice přejde v pohybovou rovnici matematického kyvadla. Postup je sice náročný na čas, ale je vcelku proveditelný. Newtonovským přístupem je ovšem mnohonásobně obtížnější.

14. Lagrangeův formalismus Příklad Příklad Zjistěte Lagrangián, pohybové rovnice a závislost polohy na čase pro malé těleso, který je volně vloženo na dráhu ve tvaru spirály a klouže po ní dolů. Poloměr spirály je R, za jednu otáčku vystoupá o vzdálenost S. Najděte Lagrangián a pohybové rovnice cykloidálního kyvadla, které má podobu hmotného bodu, připevněného na obvodu nehmotné kružnice, jež se může volně válet po pevné podložce.

15. Hamiltonův formalismus William Rowan Hamilton 1805-1865 Další přeformulování mechaniky provedl roku 1833 irský matematik, fyzik a astronom sir W. R. Hamilton. Ústřední roli v jeho přístupu hraje nová funkce, odvozená z lagrangiánu, tzv. hamiltonián : kde pj je zobecněná hybnost příslušná k zobecněné souřadnici qj : V kartézských souřadnicích je pj normální hybnost, v polárních či sférických je tato veličina rovna momentu hybnosti a tak podobně. Jak vypadá hamiltonián v kartézských souřadnicích?

16. Hamiltonův formalismus Hamiltonián má význam celkové energie soustavy. Lze ukázat, že pro libovolné souřadnice platí S hamiltoniánem se dále pracuje podobně jako s lagrangiánem a pro řešení úloh nemá Hamiltonův formalismus větší význam, než Lagrangeův. Pro teorii však ano a hlavně z něj vychází aparát kvantové mechaniky.

17. Speciální teorie relativity Existuje absolutní čas a absolutní prostor! To je absolutní blbost! Gottfried Wilhelm Leibniz 1646 - 1716 Isaac Newton 1643 - 1727 Již od dob Newtonových je otevřena otázka, zda existuje opravdu inerciální soustava. Pokud ano, existuje jich nekonečně mnoho a jsou spojeny Galileiho transformacemi. Newton ji potřeboval, protože pouze v inerciálních soustavách platí jeho zákony – a proto logicky tvrdil, že existuje – vesmír se nachází v tzv. absolutním prostoru a plyne v něm absolutní čas. Tato myšlenka ovšem již tehdy měla své odpůrce… Platnost Newtonovy mechaniky byla prokázána experimentálně více než dostatečně, nicméně absolutně inerciální mechanická soustava nikdy nebyla nalezena – všechny jsou více či méně neinerciální. A když to nešlo v mechanice, zkusili to fyzici mnohem později v elektromag-netismu …

18. Speciální teorie relativity Co takhle najít éter? James Clerk Maxwell 1831 - 1879 Roku 1879 navrhl skotský matematik a fyzik J.C.Maxwell, že absolutní prostor by mohl být spojen s prostředím, ve kterém se šíří elektromagetické vlny (které předtím sám předpověděl). V té době se fyzici domnívali, že každá vlna se musí šířit nějakým prostředím. Zvuk vzduchem, vlny na vodě - a médium elektro-magnetických vln bylo pracovně pojmenováno éter. Předpokládalo se, že všechny hmotné objekty se jím „prodírají“, aniž by jej zaznamenali. Je-li tomu tak, pak světlo musí mít jinou rychlost podél pohybu Země a napříč jejím pohybem – rozdíl je dán relativní rychlostí pozorovatele na Zemi vůči éteru.

19. Speciální teorie relativity Albert Abraham Michelson 1852 - 1931 Edward Williams Morley 1838 - 1923 Experiment na toto téma první provedli pánové Michelson a Morley v roce 1887.

20. Speciální teorie relativity l Michelson-Morleyův experiment byl mnohokrát opakován, vždy s negativním výsledkem. Jeden z pokusů zachránit Maxwellův nápad byla teorie strhávání éteru – stejně jako jedoucí vlak strhává vrstvu vzduchu těsně kolem sebe a dešťové kapky tak na okna dopadají skoro svisle, tak měla hmota s sebou strhávat éter a tím ovlivňovat rychlost světla. Hockův experiment Taktéž vyšel negativně.

21. Speciální teorie relativity Hendrik Antoon Lorentz 1853-1928 v První alespoň trochu použitelné vysvětlení pozorovaných jevů podal dánský fyzik H. Lorentz. Navrhl, ze elektrické pole se za vyšších rychlostí deformuje (viz obrázek). To vede k tomu, že pevné objekty, které jsou z atomů vázány elektrickou silou, mění svou délku. Tento efekt pak vyrovná změny optické dráhy v Michelsonově interferometru a experiment dopadá negativně. Také to znamená, že rychlost světla bude konstantní ve všech vztažných soustavách, nehledě na rychlost pozorovatele! To samozřejmě vyžadovalo něja-ké nové transfor-mace mezi vztaž-nými soustavami, protože Galileiho těmto poznatkům nevyhovují. Co s tím?

22. Speciální teorie relativity z1 z2 y1 y2 v S1 S2 x1 x2 Mějme dvě vztažné soust-avy, které se vůči sobě pohybují podél osy x kon-stantní rychlostí. V obou mají být rychlosti světla konstantní (rychlost světla značíme symbolem c). Předpokládejme, že bodo-vý zdroj vyslal světelný signál, který se šíří v podobě kulové vlnoplochy. Musí platit, že Kdybychom použili Galileiho transformaci mezi soustavami, nebude to fungovat :

23. Speciální teorie relativity Porovnáme-li obě rovnice, zjistíme, že se liší zejména členem -2vt1x1 ten ovšem zmizí, budeme-li navíc předpokládat lineární transformaci času . Potom totiž máme Aby nežádoucí člen nalevo zmizel, musíme položit α = v/c2 . Tím se nám členy nalevo a napravo zruší a zbude To je po úpravě

24. Speciální teorie relativity Hendrik Antoon Lorentz 1853-1928 Nyní musíme již jen zařídit, aby zmizely členy v závorkách, ale to je snadné, protože nezávisejí ani na souřadnicích, ani na čase a stačí prostě transformační vztahy vydělit jejich odmocninou. Tedy Toto jsou Lorentzovy transformace, které nahradili Galileiho transformace. Lorentz ovšem předpokládal, že platí jen pro elektromagnetické pole. To ovšem zavedlo prudký rozpor mezi Newtonovu mechaniku a elektrodynamiku. Tento rozpor vyřešil až Albert Einstein.

25. Speciální teorie relativity Žádným pokusem (mechanickým, elektrickým, optickým a podobně) provedeném uvnitř soustavy nelze rozhodnout, zda se tato soustava pohybuje vzhledem k jiné či nikoliv. Albert Einstein 1879 - 1955 Každý fyzik naměří rychlost světla stejnou, ať se on sám či světelný zdroj pohybuje jak chce. Dva fyzici naměří stejnou rychlost světla z toho samého zdroje, byť jeden z nich stojí a druhý se rychle pohybuje. V roce 1905 projevil tehdejší pracovník patentového úřadu a mladý nadějný fyzik Albert Einstein nejenom nevšední nadání pro fyziku, ale i značnou odvahu, když riskoval svou odbornou kariéru prohlášením, že Lorentzovy transformace nejsou záležitostí elektromagnetického pole, ale ve skutečnosti jim podléhá samotný prostor a čas. Principy jeho speciální teorie se dají shrnout do dvou bodů: Princip relativity : Ve všech inerciálních vztažných soustavách platí stejné fyzikální zákony. Mezi inerciálními soustavami platí Lorentzovy transformace. Princip stálé rychlosti světla : Ve všech inerciálních vztažných soustavách má rychlost světla ve vakuu stejnou velikost, a to nezávisle na pohybu zdroje. Rychlost světla v libovolné inerciální soustavě je ve všech směrech stejná.

26. STR – Základní principy ● Může mít rovnoměrný pohyb kosmické lodi pohybující se vzhledem k Zemi rychlostí blízkou rychlosti světla vliv na správnou funkci počítače? ● Představme si, že v kosmické lodi, která se vzhledem k Zemi pohybuje rychlostí blízkou c, sedí ve směru letu pozorovatel a dívá se do zrcadla. Může vidět svůj obraz? ● Na kosmické lodi letící vzhledem k Zemi stálou rychlostí 2x108 ms-1 vysílá bodový zdroj světlo do všech směrů. Jaký tvar vlnoploch uvidí kosmonaut v této lodi? Jaký tvar vlnoploch uvidí pozorovatel na zemi? ● V kosmické lodi o délce 300 m je od přídě na záď vyslán světelný paprsek. Jakou dobu t průletu paprsku lodí naměří kosmonaut v lodi, jestliže a) loď je v hangáru na Zemi b) loď se pohybuje stálou rychlostí v = 107 ms-1 vzhledem k Zemi Jakou dobu t naměří v těchto případech pozorovatel na Zemi? Z postulátů STR plynou některé další závažné důsledky.

27. STR – Relativnost současnosti Nechť soustava S je spojena s vagónem a S’ s tratí, po které vagón jede rychlostí v. Vydá-li lampa uprostřed vagónu záblesk, strojvůdce uvidí, že světelné paprsky dopadly na stěnu vagónu ve stejném okamžiku. Výhybkář ovšem uvidí, že na zadní stěnu vagónu světlo dopadlo mnohem dříve, zatímco na přední později. V jeho soustavě (S’) tyto události nejsou současné. V Dvě nesoumístné události, které jsou současné vzhledem k soustavě S, nejsou současné vzhledem k soustavě S’, která je oproti S v pohybu.

28. STR – Dilatace času Hodiny, které se pohybují vzhledem k soustavě S, jdou pomaleji, než hodiny, které jsou v soustavě S v klidu. Pro studium tohoto principu použijme tzv. světelné hodiny – dvojice kolmých zrcadel, mezi kterými létá světelný paprsek. Perioda odrazů určuje tok času. Pozorujme jedny z těchto hodin v klidu a druhé v pohybu.

29. STR – Dilatace času V Hodiny, které se pohybují vzhledem k soustavě S, jdou pomaleji, než hodiny, které jsou v soustavě S v klidu. Spočítejme, kolik času potřebuje světlo na cestu mezi nehybnými zrcadly a jakou dobu trvá let mezi pohybujícími se zrcadly.

30. V STR – Dilatace času l = c . t l0 = c . t0 l0 = c . t0 s = v . t

31. STR – Dilatace času ● Kuře se vylíhne z vejce za 21 dní. Předpokládejme, že líheň je umístěna na kosmické lodi pohybující se vzhledem k Zemi rychlostí 0,994 c. Jaký čas vylíhnutí kuřete zjistí a) kosmický ošetřovatel kuřat b) pracovník KFC na zemi, čekající dodávku kuřecího masa ● Mezony π+ jsou kladně nabité elementární částice o hmotnosti 273x větší než hmot- nost elektronu. Tyto částice jsou nestabilní a rozpadají se průměrně za t = 2.5x10-8 s. Určete jejich průměrný dolet, byla-li jim na urychlovači udělena rychlost v = 0,99 c.

32. Speciální teorie relativity - Opakování Mezony π+ jsou kladně nabité elementární částice o hmotnosti 273x větší než hmotnost elektronu. Tyto částice jsou nestabilní a rozpadají se průměrně za t = 2.5x10-8 s. Určete jejich průměrný dolet, byla-li jim na urychlovači udělena rychlost v = 0,99 c.

33. STR – kontrakce délek • Jak měříme délky? TYČ vůči nám v klidu Pro určení délky tyče odečítáme z pravítka polohu počátečního a koncového bodu. Tyto děje nejsousoučasné. Protože se ale tyč nehýbe, lze její délku určit prostým rozdílem obou poloh.

34. STR – kontrakce délek V • Jak měříme délky? TYČ vůči nám v pohybu U tyče v pohybu nelze předchozí postup použít, neboť protože odečty hodnot z pravítka jsou nesoučasné události, tyč mezi nimi kus odletí. Je nutno využít jinou metodu. Měření délky vyžaduje současné odečty polohy obou konců tyče. Protože ale současnost událostí je relativní pojem, musí i délka být relativní pojem.

35. STR – kontrakce délek • Měření délky pomocí laseru – klidová soustava tyče. Zrcátka na obou koncích tyče 2 . l0 = c . t0 TYČ vůči nám v klidu

36. STR – kontrakce délek v.t1 l l v.t2 V • Měření délky pomocí laseru – tyč v pohybu rychlostí v. c . t1 = l + v.t1 TYČ vůči nám v pohybu c . t2 = l - v.t2

37. STR – kontrakce délek V V=0

38. STR – kontrakce délek

39. STR – kontrakce délek

40. STR – skládání rychlostí • V STR neplatí klasické skládání rychlostí ve tvaru v = v1 + v2 . Z Galileiho transfor-mací lze odvodit formule

41. Speciální teorie relativity Příklad Příklad Jakou rychlostí musí letět dvoumetrová tyč, aby se vešla do metrové roury (z pohledu pozorovatele sedící na rouře)? Jak se situace změní, bude-li pozorovatel sedět na tyči – vejde se tyč do roury, nebo ne? v Zjistěte, jak pozorovatel uvidí krychli, která letí kolem něj relativistickou rychlostí. v

42. Shrnutí • Lagrangeův formalismus • Hamiltonův formalismus • Pozadí vzniku STR • Lorentzovy transformace, postuláty STR • Relativnost současnosti • Dilatace času • Kontrakce délek • Skládání relativistických rychlostí