Αριθμοί Catalan και Stirling

1. Αριθμοί Catalan και Stirling Διπλωματική Εργασία Δέδε Γεωργία Αθήνα, 2013

2. ΔΟΜΗ • ΕΙΣΑΓΩΓΗ • ΑΡΙΘΜΟΙ CATALAN και εφαρμογές • ΑΡΙΘΜΟΙ STIRLING α’ και β’ είδους και εφαρμογές

3. Διακριτά Μαθηματικά Τι είναι; ή καλύτερα Τι ΔΕΝ είναι;

4. Διακριτά Μαθηματικά Αφορούν σε δομές διακριτές (μη συνεχείς) π.χ. σύνολα, άλγεβρες Boole, διάφορες κατηγορίες ακεραίων, γραφήματα, τυπικές γλώσσες

5. Διακριτά Μαθηματικά Συγκέντρωση σε έναν κλάδο προβλημάτων που ταλάνιζαν για χρόνια τους Μαθηματικούς και δεν μπορούσαν να λυθούν με βάση τη Μαθηματική Ανάλυση! π.χ. το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων

6. Διακριτά Μαθηματικά Λογική και Απόδειξη Γιατί μια πρόταση είναι αληθής!

7. Διωνυμικοί Συντελεστές Εμφανίζονται στο Διωνυμικό Θεώρημα:

8. Διωνυμικοί Συντελεστές

9. Διωνυμικοί Συντελεστές

10. Τρίγωνο του Pascal

11. Τρίγωνο του Pascal Κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο αριθμών που βρίσκονται ακριβώς στην επάνω σειρά, π.χ. 10 = 6+4. Προηγούμενη αναφορά από τον Κινέζο Μαθηματικό ChuShih – Chieh «Τέλειος καθρέπτης των τεσσάρων στοιχείων» (1303).

12. Ακολουθίες Αριθμών • Bell • Motkzin • Lucas – Fibonacci

13. Αριθμοί Bell Eric Temple Bell (February 7, 1883 – December 21, 1960) Γνωστός και ως John Taine, συγγραφέας αστυνομικών μυθιστορημάτων

14. Αριθμοί Bell

15. Αριθμοί Motzkin Theodore Samuel Motzkin (26 March 1908–15 December 1970)

16. Αριθμοί Motzkin

17. Αριθμοί Lucas - Fibonacci Leonardo Pisano Bigollo (c. 1170 – c. 1250) γνωστός και ως Fibonacci, σύντμηση για το filius Bonacci, δηλαδή γιος του Guglielmo Bonacci

18. Αριθμοί Lucas - Fibonacci Το 1202 στο βιβλίο Liber Abaci («Περί του Άβακα») κατέγραψε τη μαθηματική γνώση που συγκέντρωσε στα ταξίδια του γύρω στη Μεσόγειο. Εκεί, έθεσε το πρόβλημα του υπολογισμού των απογόνων που προκύπτουν από ένα ζευγάρι κουνελιών, που δεν αναπαράγει τον πρώτο μήνα της ζωής του και στη συνέχεια γεννά ένα νέο ζευγάρι κουνελιών κάθε μήνα.

19. Αριθμοί Lucas - Fibonacci

20. Αριθμοί Lucas - Fibonacci

21. Αριθμοί Catalan Eugène Charles Catalan (Bruges 30/05/1814 – Liège 14/02/1894) Αρχικά είχε το επίθετο Bardin, της μητέρας του, αφού οι γονείς του παντρεύτηκαν όταν ήταν 7 ετών

22. Αριθμοί Catalan • ασχολήθηκε με προβλήματα παραστατικής γεωμετρίας, συνεχών κλασμάτων, θεωρίας αριθμών και συνδυαστικής • έδωσε το όνομά του σε μια περιοχή του R3 και στους αριθμούς Catalan • έθεσε το πρόβλημα που σήμερα ονομάζουμε «εικασία του Catalan» Η μοναδική λύση στο πρόβλημα: xa + yb = 1, γιαa,x,b,y>1 είναι x=3, a=2, b=3, y=2.

23. Αριθμοί Catalan

24. Αριθμοί Catalan • Ο πρώτος που τους όρισε και τους χρησιμοποίησε ήταν ο Μογγόλος Μαθηματικός, Αστρονόμος και Τοπογράφος Minggatu το 1730 • Η πρώτη αναφορά από τον Catalan έγινε το 1838 στη επίλυση του προβλήματος τοποθέτησης παρενθέσεων σε ένα γινόμενο

25. Αριθμοί Catalan • Οι αριθμοί Catalan προκύπτουν από το τρίγωνο του Pascal, αν από την κεντρική στήλη και για τις σειρές άρτιου αριθμού αφαιρέσουμε τις αντίστοιχες τιμές τις μεθεπόμενης στήλης

26. Τριγωνισμός n-γώνου Ένας τριγωνισμός ενός κυρτού n-γώνου είναι μια διαμέριση του εσωτερικού του n-γώνου σε τρίγωνα με ευθείες που είναι μη τεμνόμενες διαγώνιοι του n-γώνου.

27. Τριγωνισμός n-γώνου

28. n1 n1 n1 Τριγωνισμός n-γώνου n5 n5 n5 n2 n2 n2 n3 n4 n4 n4 n3 n3 n1 n1 n5 n5 n2 n2 n4 n3 n4 n3 Οι δυνατοί τριγωνισμοί ενός πενταγώνου.

29. Χειραψίες σε κυκλικό τραπέζι

30. Τοποθέτηση Παρενθέσεων σε γινόμενο

31. Τοποθέτηση Παρενθέσεων σε γινόμενο π.χ. για n=4 • ((x1x2)(x3x4)) • (((x1x2)x3)x4) • ((x1(x2x3))x4) • (x1 ((x2x3)x4)) • (x1 (x2(x3x4)))

32. Σχεδίαση οροσειρών με n ανοδικές πλευρές (/) και n καθοδικές πλευρές (\)

33. Το πρόβλημα της κάλπης

34. Dyck Paths/Διαδρομές

35. Dyck Paths/Διαδρομές π.χ. για n=4

36. Μεταθέσεις

37. Μεταθέσεις

38. Δένδρα με προσανατολισμό και ρίζα

39. Δένδρα με προσανατολισμό και ρίζα

40. Δένδρα με προσανατολισμό και ρίζα

41. Δένδρα με προσανατολισμό και ρίζα

42. Δένδρα με προσανατολισμό και ρίζα

43. Δένδρα με προσανατολισμό και ρίζα

44. Δένδρα με προσανατολισμό και ρίζα

45. Αριθμοί Stirling James Stirling (Stirlingshire 1692 – Edinburgh 1770) • Ασχολήθηκε με σειρές, διαφορικές εξισώσεις, Συνδυαστική, Μηχανική, Οπτική, Υδροδυναμική και Αστρονομία • Η συμμετοχή του στο κίνημα των Ιακωβιτών για την απελευθέρωση της Σκωτίας καθυστέρησε την επαγγελματική του σταδιοδρομία και δυσκόλεψαν τη ζωή του • Εκτός από επιτυχημένος Μαθηματικός ήταν εξίσου επιτυχημένος Μηχανικός και διευθυντής εταιρείας ορυχείων

46. Αριθμοί Stirling β’ είδους

47. Αριθμοί Stirling β’ είδους οι αριθμοί Stirling β’ είδους για 1≤k≤n≤6:

48. Αριθμοί Stirling β’ είδους Τοποθέτηση σε τρίγωνο:

49. Αριθμοί Stirling β’ είδους Κάθε αριθμός στο τρίγωνο προκύπτει αν προσθέσουμε τον πάνω αριστερά με τον πάνω δεξιά πολλαπλασιασμένο επί την τάξη του στη γραμμή που βρίσκεται, π.χ. 25 = 7 + 6*3

50. Αριθμοί Stirlingβ’ είδους και Προβλήματα Πληρότητας Πολλά προβλήματα απαρίθμησης αντικειμένων είναι δυνατό να τα διατυπώσουμε σα να είχαμε να τοποθετήσουμε μπάλες σε κελιά ή δοχεία. Έχουμε αντιστοιχίσει, λοιπόν, τις μπάλες στα προς απαρίθμηση αντικείμενα και τα κελιά στις στάθμες απαρίθμησης. Το ερώτημα που τίθεται είναι με πόσους τρόπους μπορούμε να τοποθετήσουμε n μπάλες σε m κελιά, δεδομένου ότι σε κάθε κελί μπορούν να χωρέσουν και όλες οι μπάλες.