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解析几何

解析几何. 第二章 轨迹与方程. 平面曲线的方程. 曲线与方程： 定义 ：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一条曲线有着关系：. （ 1 ）满足方程的 (x,y) 必是曲线上某一点的坐标；. （ 2 ）曲线上任何一点的坐标 (x,y) 满足这个方程；. 则这个方程称为这条 曲线的方程 ，这条曲线称为 方程的图形 。. 曲线的方程常表示为：. F(x,y)=0 或 y=f(x). 矢性函数. 当动点按某种规律运动时，与它对应的径矢也随着 时间 t 的不同而改变（模与方向的改变），这样的径矢

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Presentation Transcript

  1. 解析几何 第二章 轨迹与方程

  2. 平面曲线的方程 曲线与方程： 定义：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一条曲线有着关系： （1）满足方程的(x,y)必是曲线上某一点的坐标； （2）曲线上任何一点的坐标(x,y)满足这个方程； 则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为 方程的图形。 曲线的方程常表示为： F(x,y)=0 或 y=f(x)

  3. 矢性函数 当动点按某种规律运动时，与它对应的径矢也随着 时间t的不同而改变（模与方向的改变），这样的径矢 称为变矢，记为r(t)。如果变数t(atb)的每一个值 对应于变矢r的一个完全的值（模与方向）r(t)，则称 r是变数t的矢性函数，记为r=r(t) (atb). 矢性函数的分量表示 设平面上取定的标架为{O;e1,e2},则矢性函数可 表示为 r(t)=x(t)e1+y(t)e2(atb). （1） 其中x(t),y(t)是r(t)的分量，它们分别是变数t的函数。

  4. r(t)=x(t)e1+y(t)e2(atb). y A P(x(t),y(t)) r(a) r(t) B r(b) x O 矢量式参数方程 若取(atb)的一切可能值，由（1） 表示的径矢r(t) 的终点总在一条曲线上；反之，在这条曲线上的任意 点，总对应着以它为终点的径矢，而这径矢可由t的某 一值t0(at0b)通过（1）完全确定，则称表达式（1）为曲线的矢量式参数方程，其中t为参数。 坐标式参数方程 曲线 的参数方程常可以写成下列形式： 称为曲线的坐标式参数方程。

  5. |OM|=R 例2、已知两点A(-2,-2),B(2,2)，求满足条件 |MA|-|MB|=4的动点的轨迹。 y 解：矢量式方程 |MA|-|MB|=4 xy=2 o x 例1、求圆心在原点，半径为R的圆的方程。 解：矢量式方程 普通方程 x2+y2=R2 xy=2 (x+y2) 化为普通方程为 故曲线为

  6. y C a P θ r a x O r=OP=OA+AC+CP 设θ=(CP,CA),于是矢量CP对x轴所成的有向角为 例3、一个圆在一直线上无滑动滚动，求圆周上一点 P的轨迹。 解： 取直角坐标系，设 半径为 a的圆在x轴上滚 动，开始时点 P 恰在原 点,经过一段时间的滚 动,圆与直线的切点移 到 A 点，圆心的位置移 到C点，这时有

  7. ︵ |OA|=AP=aθ， OA=aθi, AC=aj y x O 则 所以 又因为 从而点P的矢量式参数方程为 r=a(θ-sinθ)i+a(1-cosθ) （＜θ＜+） 其坐标式参数方程为 这种曲线称为旋轮线或摆线。

  8. 例4 已知大圆的半径为a，小圆的半径为大圆半径的 四分之一，若大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚 动，动圆上某一定点P的轨迹称为四尖星形线，求四尖 星形线的方程。 解（略） 参数方程为

  9. 例5 把椭圆的普通方程式 化为参数方程。 法一 设y=tx+b,代入原方程得 法二 解得 在第二式中取t=0,得x=0，所以舍去第一式，取 从而

  10. 在法二中，若令u=-t，则得椭圆的另一种表示式为在法二中，若令u=-t，则得椭圆的另一种表示式为 注：第二种解法中，设y=tx+b，实际上是在椭圆上取 一定点(0,b),作以(0,b)为中心的直线束，而这时的椭圆 的参数方程恰为直线束中的直线与椭圆交点的一般表 达式。由于这时过点(0,b)的y轴的斜率不存在，因此需 补上点(0,-b)，或把它看成当t→时的交点。

  11. 例7 化方程 y2(2a-x)=x3 (a>0) 为参数方程。 解：设y=tx，代入可得参数方程 注1：有些曲线只能用参数方和表示而不能用普通方程 表示，即不能用x,y的初等函数来表示，如 注2：在曲线的普通方程与参数方程的互化时，必须注 意两种形式的方程的等价性，即考虑参数的取值范围。

  12. z F (x,y,z) = 0 S o x y 曲面的方程 曲面的实例： 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面在空间解析几何中被看 成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义：

  13. 平面曲线的一般方程 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程. 特点：

  14. 解 根据题意有 化简得所求方程

  15. 例2 求两坐标面xOz和yOz所 成二面角的平分面的方程。 解：因为所求平分面是与两坐标面xOz和yOz有等距离 的点的轨迹，因此M(x,y,z)在平分面上的充要条件是 |y|=|x| 即 X+y=0 与 x-y=0

  16. 解 根据题意有 所求方程为 特殊地：球心在原点时方程为

  17. 由 得上、下半球面的方程分别是： 由上述方程可得球面的一般式方程为： x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0（*） 反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到： (x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4 当 A2+B2+C2-4D >0 时, 是球面方程.

  18. z x y M S o 曲面的参数方程 双参数矢函数 在两个变数u,v的变动区域内定义的函数 r=r(u,v) 或 r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 (2) 称为双参数矢函数， 其中x(u,v),y(u,v),z(u,v) 是变矢r(u,v)的分量， 它们都是变数u，v的函数。

  19. z x y M S OM= r(u,v) =x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 o 当u,v取遍变动区域的一切 值时，径矢 的终点M(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) 所画的轨迹一般为一张曲面。

  20. 曲面的矢量式参数方程 定义：若取u,v(aub,cvd)的一切可能值，由（2） 表示的径矢r(u,v)的终点M总在一个曲面上， 反之，在这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的径矢，而这径矢可由u,v的值(aub,cvd)通过（2）完全决定， 则称（2）式为曲面的矢量式参数方程， 其中u,v为参数。

  21. 曲面的坐标式参数方程 因为径矢r(u,v)的分量为{x(u,v),y(u,v)z(u,v)}, 所以曲面的参数方程也常写成 表达式（3）称为曲面的坐标式参数方程。

  22. 解：设M(x,y,z)是球面上任一点， M在xOy 坐标面上的射影为P，而 P在x轴上的射影为Q，又设在坐标 面上的有向角(i,OP)=,Oz轴与 OM的交角zOM=θ，则 z M θ r=OM=OQ+QP+PM R y Q  P x 例1求中心在原点，半径为r的球面的参数方程。

  23. z M θ R y Q  且 PM=(rcosθ)k P QP=(|OP|sin)j=(rsinθsin )j x OQ=(|OP|cos )i=(rsinθcos )i 所以 r=(rsinθcos )i+(rsinθsin  )j+ (rcosθ)k (4) 此即为中心在原点，半径为r的球面的 矢量式参数方程。

  24. 中心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为中心在原点，半径为r的球面的坐标式参数方程为 （4），（5）中的θ，为参数，其取值范围分别是 0θ与-＜。

  25. r=OM=OQ+QP+PM z 而OQ=(Rcos)i, QP(Rsin )j, PM=uk r M Q o o y  P x 例2 求以z轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。 解：如图,有 所以 r=(Rcos)i+ (Rsin )j+uk （6） 此即为圆柱面的矢量式参数方程。 其坐标式参数方程为 （6）（7）式中的，u为参数，其取值范围是 -＜，-＜u＜+ 

  26. 空间曲线的一般方程 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 空间曲线的一般方程 特点： 曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.

  27. 例1、写出Oz轴的方程。 Oz轴可看成两个平面的交线，如 解： 或 例2、求在xOy 坐标面上，半径为R，圆心为原点的 圆的方程。 解： 可见，空间曲线的一般方程的表示不是唯一的。

  28. 例3方程组 表示怎样的曲线？ 解 表示圆柱面， 表示平面， 交线为椭圆.

  29. 表示怎样的曲线？ 例4方程组 解 上半球面, 圆柱面, 交线如图. （维维安尼曲线Viviani）

  30. 空间曲线的方程 空间曲线的参数方程 空间曲线的参数方程

  31. 例1: 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以角速度 绕 z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升(其中,v都是常数), 那末点M 构成的图形叫做圆柱螺旋线, 试建立其参数方程. 解: 取时间t为参数, 设当t = 0时, 动点位于x轴上的一点 A(a, 0, 0)处。 经过时间t,由A运动到M(x, y, z), M在xOy面上的投影为M (x, y, 0).

  32. z O M t A M y x (1) 动点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转, 所以经过时间t, AOM =  t. 从而 x = |OM | ·cosAOM = acos t y = |OM | ·sinAOM = asin t (2) 动点同时以线速度v沿 z 轴向上升. 因而 z = MM = vt 得螺旋线的参数方程 x = acos t y = asin t z = vt 注:还可以用其它变量作参数.

  33. z O M h t A M y x 例如: 令 =  t. 为参数; 螺旋线的参数方程为: x = acos  y = asin  z = b 当从0变到0 + 是, z由b0变到 b0+ b , 即M点上升的高度与OM 转过的角度成正比. 特别, 当 = 2 时, M点上升高度h = 2 b, 在工程上称 h = 2 b为螺距.

  34. z O x y 例2维维安尼曲线 一半径为a的球面与一个直径等于 球的半径的圆柱面，如果圆柱面通过球心，则球面与 圆柱面的交线称为维维安尼曲线 ，试写出其一般方程 和参数方程。 解：一般方程 参数方程

  35. 本章学习结束 谢谢大家

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