Procesamiento Digital de Señales (DSP)

1. Procesamiento Digital de Señales (DSP) • Es el tratamiento o manipulación de datos digitales que representan alguna señal física. Los datos son normalmente generados mediante un proceso de conversión A/D. • El procesamiento se puede clasificar en dos grupos: • Estadístico • Fourier

2. Análisis de Fourier: Encontrar información “escondida” dentro de los datos: - Limpiarla (ruido) - Ubicar patrones - Compactarla - Reacomodarla Técnicas empleadas - Transformaciones de Fourier - Filtrado Digital - Convolución y Correlación

3. Aplicaciones: • Óptica • Astronomía • Geología • Análisis Químico • Materiales • Computación • Medicina • Acústica • Música • Video

4. Series de Fourier • Cualquierseñalperiódica continua se puederepresentarcomounaserieinfinita de senos y cosenos de diferentes amplitudes cuyasfrecuencias son harmónicas de la frecuencia de la señal. Estoes lo que se conocecomo la serie de Fourier de la señal.

5. Una Función Periódica f(t) tiene la siguiente propiedad para todo valor de t. f(t)=f(t+T) A la constante mínima T para la cual se cumple lo anterior se le llama el periodo de la función Repitiendo la propiedad se puede obtener: f(t)=f(t+nT), donde n=0,1,  2, 3,...

6. Serie Trigonométrica de Fourier Las Funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada Serie Trigonométrica de Fourier f(t) = ½ a0 + a1cos(w0t)+a2cos(2w0t)+... + b1sen(w0t)+b2sen(2w0t)+... Donde w0=2p/T. Es decir,

7. Es posible escribir de una manera ligeramente diferente la Serie de Fourier, si observamos que el términoancos(nw0t)+bnsen(nw0t) se puede escribir como Podemos encontrar una manera más compacta para expresar estos coeficientes pensando en un triángulo rectángulo:

8. bn qn an Con lo cual la expresión queda

9. Si además definimos C0=a0/2, la serie de Fourier se puede escribir como Así, y

10. Así, una función periódica f(t) se puede escribir como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias wn=nw0. A la componente sinusoidal de frecuencia nw0: Cncos(nw0t+qn) se le llama la enésima armónica de f(t). A la primera armónica (n=1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t) A la frecuencia w0=2pf0=2p/T se le llama frecuencia angular fundamental.

11. Cálculo de los coeficientes de la Serie Dada una función periódica f(t) ¿cómo se obtiene su serie de Fourier? Obviamente, el problema se resuelve si sabemos como calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,... Esto se puede resolver considerando la ortogonalidad de las funciones seno y coseno.

12. FunctionesOrtogonales • Un conjunto de funciones{k}esorthogonal en el intervaloa < t < bsi se cumpleque

13. Functionessenoidalesortogonales 0=2/T.

14. Multiplicando ambos miembros de la identidad por cos(nw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos: Similarmente, multiplicando por sen(nw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:

15. f(t) 1 t . . . -T/2 0T/2 T . . . -1 Ejemplo: Encontrar la Serie de Fourier para la siguiente función de periodo T: Solución: La expresión para f(t) en –T/2<t<T/2es

16. Coeficientesan:

17. Coeficientea0:

18. Coeficientes bn:

19. Serie de Fourier: Finalmente la Serie de Fourier queda como En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7 así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para w0=p, es decir, T=2:

20. Componentes de la Serie de Fourier 1.5 1 0.5 0 Componentes -0.5 Suma fundamental -1 tercer armónico quinto armónico septimo armónico -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 t

21. Forma Compleja de la Serie de Fourier Consideremos la serie de Fourier para una función periodica f(t), con periodo T=2p/w0. Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler: Donde

22. Forma Compleja de la Serie de Fourier La serie se puede escribir como O bien, Es decir,

23. A la expresión obtenida Se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien: Para n=0, 1, 2, 3, ...

24. Espectros de Frecuencia Discreta Dada una función periódica f(t), le corresponde una y sólo una serie de Fourier, es decir, le corresponde un conjunto único de coeficientes cn. Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t) en el dominio de la frecuencia de la misma manera que f(t) especifica la función en eldominio del tiempo.

25. Espectro de Amplitud de f(t) 0.7 0.6 0.5 0.4 Cn  0.3 0.2 0.1 Frecuencia negativa (?) Frecuencia 0 -30 -20 -10 0 10 20 30 n Espectros de Frecuencia Discreta Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia, (n=número de armónico = múltiplo de w0).

26. Ancho de banda de una señal Existen muchas definiciones para el ancho de banda de una señal, dependiendo del contexto en que se emplee el término. Una de ellas se refiere al conjunto de las componentes de frecuencia cuya amplitud no es menor en 3 dB a la mayor componente del espectro de Fourier de la señal. Esta definición sería inapropiada si el objetivo es mantener una representación fiel de la señal. Obviamente, para una señal periódica podemos obtener su ancho de banda con su serie de Fourier.

27. De la Serie a la Transformada de Fourier La serie de Fourier nos permite obtener una representación en el dominio de la frecuencia para funciones periódicas f(t). ¿Es posible extender de alguna manera las series de Fourier para obtener el dominio de la frecuencia de funciones no periódicas? La respuesta es sí, pero ahora el espectro de frecuencias NO es discreto sino continuo.

28. f(t) 1 p . . . -T -T/2 0T/2 T . . . t -p/2 p/2 De la Serie a la Transformada de Fourier Tren de pulsos de amplitud 1, ancho P y periodo T:

29. Espectro del tren de pulsos para P=1, T=2

30. 0.6 p=1, T=2 cn 0.4 0.2 0 w=nw0 -0.2 0.3 p=1, T=5 0.2 0.1 0 -0.1 -50 0 50 0.15 p=1, T=10 0.1 0.05 0 -0.05 0.06 p=1, T=20 0.04 0.02 0 -0.02 -50 0 50 -50 0 50 -50 0 50

31. Si hace T muy grande sin aumentar P (T): El espectro se vuelve ¡continuo!

32. Transformada De Fourier Es decir, Donde Estas expresiones nos permiten calcular la expresión F(w) (dominio de la frecuencia) a partir de f(t) (dominio del tiempo) y viceversa Identidad De Fourier

33. Notación: A la función F(w) se le llama transformada de Fourier de f(t) y se denota por F, es decir En forma similar, a la expresión que nos permite obtener f(t) a partir de F(w) se le llama transformada inversa de Fourier y se denota por F–1 ,es decir

34. f(t) 1 t -p/2 0p/2 Ejemplo. Calcular F(w) para el pulso rectangular f(t) siguiente Solución. La expresión en el dominio del tiempo de la función es

35. Integrando Usando la fórmula de Euler: Obsérvese que el resultado es igual al obtenido para cn cuando T , pero multiplicado por T.

36. En forma Gráfica

37. SeñalesDiscretas • Tipos de señales: • Analógica: Continua en tiempo y amplitud 2) Discreta en el Tiempo:

38. TransformadaDiscreta de Fourier FT:Cuando la señal de origenes continua El tiempo y la frecuencia son variables continuas Perosilasseñales son discretasDTFT (Discrete Time Fourier Transform) El tiempo se discretizapero la frecuenciasiguesiendocontinua (la sumaesinfinita)

39. The DFT Para discretizarambas variables • Limitamos la frecuencia continua a un valor máximovalue de Fs • Discretizamos la frecuencia a valoresm La Transformada se convierte en

40. The DFT En donde: X(m) = la mth DFT componente de salida:X(0), X(1),X(2)… m = Indice de la salida de la DFT en el dominio de la fecuencia m = 0,1,2,…,N-1 x(n) = muestras de entrada, x(0),x(1),x(2)….. n = Indice de lasmuestras de entrada,n= 0,1,2,3,…, N-1 N = Número total de muestras de entrada y de los puntos de frecuencia en la salida de la DFT.

41. DFT La DFT esunacantidadcompleja La magnitus de X(m) es: El ángulo de X(m) es:

42. DFT Ejemplo Supongamosque se deseaevaluar la DFT en 8 puntos a unaseñal Senoidal con componenetes de frequencia de 1KHz and 2KHz Supongamosque: Periodo de x(t) = 1/1Khz = 1/1000 8 muestras/periodo=> Ts= 1/8000 sec O sea Fs= 8000 muestras/s t = nTs n = 0,1,…,7

43. DFT Ejemplo(Cont…) Entonces Componente DC Etc... Evaluando se tiene: X(0) = 0 + j 0 (dc) X(2) = 1.414 + j1.414 (2Khz) X(4) = 0 + j 0 (4Khz) X(6) = 1.414 – j 1.414 (6Khz) X(1) = 0 – j 4 (1KHz) X(3) = 0 + j 0 (3Khz) X(5) = 0 + j 0 (5Khz) X(7) = 0 + j 4 (7KHz)

44. DFT Ejemplo(Resultados)

45. Simetría en la DFT Se observaque: magnitud de X(N-m) = magnitud de X(m) fase de X(N-m) = fase de X(m) O: X(m) = complejoconjugado de X(N-m) Conclusión: Al calcular la DFT de x(n) en N puntos, obtenemosN términoscomplejos de salidaperosólo los primerosN/2 términos son independientes

46. Propiedades de la DFT • Linealidad: • sia(n) = b(n) + c(n) • entoncesA(m) = B(m) + C(m) 2) Teorema del corrimiento: : Si y(n) = x(n+k) entoncesY(m) = ej2pikm/N X(m)

47. TransformadaInversa IDFT Para obtenerx(n) a partir de X(m)

48. Fugas en la DFT Las salidas de DFT corresponden a lasfrecuenciasf = mfs/N ¿Quésucedesi la entradatienefrecuenciasque no coinciden Con esosvalores Digamosque en el ejemplo anterior se tienenfrecuencias2.3 Khz y muestreamos 8000 M/s Los picosdetectados son = 0Kkz, 1Khz, 2Khz,…,7Khz pero el pico2.3 Khzno aparece!! Este pico de frecuencia se ha “fugado” (escurrido) Remedio “Windowing”

49. Ejemplográfico Dominio del Tiempo Dominio de la Frecuencia

50. La Transformada Discreta de Fourier (DFT) requiere el cálculo de N funciones exponenciales para obtener F(n), lo cual resulta un esfuerzo de cálculo enorme para N grande. Se han desarrollado métodos que permiten ahorrar cálculos y evaluar de manera rápida la Transformada discreta, a estos métodos se les llama Transformada Rápida de Fourier (FFT)