第三章不等式

第三章不等式 §3.4 基本不等式

这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

探究1 思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？

探究１： 1、正方形ABCD的　　面积S=＿＿＿＿＿ b ２、四个直角三角形的　　面积和S’=＿＿ a ３、S与S’有什么　　　　　样的不等关系？ S____S′ > • 问：那么它们有相等的情况吗？

D b F G a C A E H B 当且仅当a=b时，等号成立。 D a A C b E(FGH) B 重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有

思考：你能给出不等式的证明吗？ 证明：（作差法）

结论：一般地，对于任意实数a、b，总有 当且仅当a=b时，等号成立适用范围： a,b∈R 两数的平方和不小于它们积的2倍. 文字叙述为: 问题一

问题一 替换后得到：即：即：问题二你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？

问题二 证明不等式：分析法证明：要证 ① 只要证 ② 要证①，只要证要证②，只要证 ③ 显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.

基本不等式 ≥ 特别地，若a>0，b>0，则通常我们把上式写作：当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式. 适用范围： a>0,b>0 在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

问题三 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? D 如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD. A B a C b O ①如何用a, b表示OD? OD=______ E ②如何用a, b表示CD? CD=______ Rt△ACD∽Rt△DCB，

问题三 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? D 如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD. A B a C b O ①如何用a, b表示OD? OD=______ E ②如何用a, b表示CD? CD=______ ≥ ③OD与CD的大小关系怎样? OD_____CD ＞几何意义：半径不小于弦长的一半

小结： a>0,b>0 a,b∈R 两数的平方和不小于它们积的2倍两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 a=b a=b

例1 (1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ A D 解：如图设BC=x，CD=y， B C 则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m. 若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最小值_______. 当且仅当时，等号成立 x=y 此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.

例1 (2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ A D 解：如图，设BC=x，CD=y，则 2(x + y)= 36 , x + y =18 B C 若x、y皆为正数，则当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时， xy有最大值_______；矩形菜园的面积为xy m2 得 xy ≤ 81 当且仅当x=y时，等号成立即x=y=9 因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2

归纳小结 （1）两个正数的积为定值，和有最小值（2）两个正数的和为定值，积有最大值

6 6 9 9 巩固练习 1.(1)已知两个正数a,b的积等于36, 则当a=_____,b=_____时,它们的和最小,最小值等于_____。 12 (2)已知两个正数a,b的和等于18,则当a=_____,b=____时,它们的积最大, 最大值等于_____。 81

利用基本不等式求最值时，要注意 ①各项皆为正数； ②和或积为定值； ③注意等号成立的条件. 一“正” 二“定” 三“相等”

应用举例 例2：下列各式中，用基本不等式可以得到最小值 4 的是（） C

一正二定三相等实践创新

3m 基本不等式在实际问题中的应用例3 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：水池呈长方体形，它的高是3m，底面的长与宽没有确定。如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了。因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。

根据题意，得 3m 由基本不等式与不等式的性质，可得

即所以，将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元。反思：应用题，先弄清题意（审题），建立数学模型（列式），再用所掌握的数学知识解决问题（求解），最后要回应题意下结论（作答）。

感受总结 基本不等式 1.应用基本不等式要注意的问题三相等一正二定 2.灵活对公式的正用、逆用、变形用作业：第100页练习第2和第3题。

第三章 不等式