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3.3.1 几何概型

3.3.1 几何概型. 中国人民大学附属中学. 我们知道古典概型只有在满足 “有限性” 和 “等可能性” 两个性质的前提下才能适用，那么对于 试验结果有无穷多个 的情形该怎样处理呢？. 例 1. 在转盘上有 8 个面积相等的扇形，转动转盘，求转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率。. 我们知道古典概型只有在满足 “有限性” 和 “等可能性” 两个性质的前提下才能适用，那么对于 试验结果有无穷多个 的情形该怎样处理呢？. 例 1. 在转盘上有 8 个面积相等的扇形，转动转盘，求转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率。.

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3.3.1 几何概型

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  1. 3.3.1 几何概型 中国人民大学附属中学

  2. 我们知道古典概型只有在满足“有限性”和“等可能性”两个性质的前提下才能适用，那么对于试验结果有无穷多个的情形该怎样处理呢？ 例1.在转盘上有8个面积相等的扇形，转动转盘，求转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率。

  3. 我们知道古典概型只有在满足“有限性”和“等可能性”两个性质的前提下才能适用，那么对于试验结果有无穷多个的情形该怎样处理呢？ 例1.在转盘上有8个面积相等的扇形，转动转盘，求转盘停止转动时指针落在阴影部分的概率。

  4. 先看例1，由经验得知“指针落在阴影部分的概率”可以用阴影部分的面积与总面积之比来衡量，即P(A)=先看例1，由经验得知“指针落在阴影部分的概率”可以用阴影部分的面积与总面积之比来衡量，即P(A)= 例2. 在500ml的水中有一只草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，求发现草履虫的概率。 以上两个试验的可能结果个数无限，所以它们都不是古典概型。

  5. 同样地，例2中由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出的2ml的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比同样地，例2中由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出的2ml的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比 总之，这两个试验的共同点是： 如果把事件A理解为区域Ω的某一个子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A的位置和形状无关，则称满足以上条件的试验为几何概型.

  6. Ω 在几何概型中，事件A的概率定义为： 其中μΩ表示区域Ω的几何度量,μA表示子区域A的几何度量.

  7. 几何概型具有两个特点： 一是无限性：在一次试验中，基本事件的个数必须是无数个； 二是等可能性：在试验中，每一个基本事件发生的可能性是均等的。

  8. 例3.随机事件A：“从正整数中任取两个数，其和为偶数”是否为几何概型。 解：尽管这里事件满足几何概型的两个特点：有无限多个基本事件，且每个基本事件的出现是等可能的，但它不满足几何概型的基本特征——能进行几何度量。所以事件A不是几何概型。

  9. 例4.下列随机试验是否为几何概型？为什么？ （1）经过严格训练的枪手的打靶；（2）某学生从家里到达学校所用的时间。 答案：（1）不是；（2）是。

  10. 例5. 一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m，宽20 m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率. 解：对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率. 如图，区域Ω是长30 m、宽20 m的长方形.

  11. ∴P（A）= ≈0.31. 图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率. 由于区域Ω的面积为30×20=600(m2)，阴影A的面积为30×20－26×16=184(m2).

  12. 例6.平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r<a的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任一条平行线相碰的概率. 解：记事件A：“硬币不与任一条平行线相碰”.为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM，垂足为M，

  13. 所以P(A)= 参看图，这样线段OM长度(记作|OM|)的取值范围是[0，a]，只有当r＜|OM|≤a时，硬币不与平行线相碰，

  14. P(A)= 例7.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率. 解：设A={等待的时间不多于10分钟}，我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内，因此由几何概型的求概率的公式得

  15. 例8. 假设你家订了一份报纸，送报人在早上6：30至7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00至8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少？ 解：这里涉及到两个变量，把送报人的时间设为x变量，父亲上班的时间设为y变量，于是得到数对(x，y)，表示某一天两个变量之间的关系。

  16. 总的情况是Ω={(x,y)| 6.5≤x≤7.5, 7≤y≤8}. 事件A满足的条件是 A={(x,y)| y≤x, x∈Ω, y∈Ω}. 在直角坐标系中画出图形。

  17. 所以P(A)= 总的情况是Ω={(x,y)| 6.5≤x≤7.5, 7≤y≤8}. 事件A满足的条件是 A={(x,y)| y≤x, x∈Ω, y∈Ω}. 在直角坐标系中画出图形。 Ω表示的是矩形面积1， A表示的是阴影部分面积

  18. 例9. 如图，在直角坐标系内，射线OT落在60°角的终边上，任作一条射线OA，求射线OA落在XOT内的概率. 解：以O为起点作射线OA是随机的，因而射线OA落在任何位置都是等可能的。落在∠XOT内的概率只与∠XOA的大小有关，符合几何概型的条件。

  19. 因为∠XOT=60°， 所以P(A)= 记事件A={射线OA落在∠XOT内}.

  20. 例10. 将长为l的棒随机折成3段，求3段长度能构成三角形的概率. 解：设A=“3段长度能构成三角形”，x，y分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l－x－y， 试验的全部结果可构成集合 Ω={(x，y)| 0<x<l，0<y<l，0<x+y<l}，

  21. 即x+y>l－x－y (x+y)> ； x+l－x－y>y y< ；同理x< 。 故所求结果构成的集合 A={(x，y)| x+y> ,x< ,y< }, 要使3段长度能构成三角形，当且仅当任意两段长度之和大于第3段长度。

  22. 由图可知，所求概率为 P(A)=

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