Cylindrické súradnice Sférické súradnice

1. Sila - je vektorová veličina, na jednoznačné určenie sily je potrebné udať bod jej pôsobiska, smer a zmysel jej pôsobenia a jej veľkosť, t.j. intenzitu jej pôsobenia. Môžeme ju vyjadriť v tvare: Moment sily je vektorová veličina, vyjadruje sa k určitému bodu. M0 = r×F; Moment sily F k bodu 0 sa nemení, ak túto silu posúvame po jej nositeľke – preto je veľkosť momentu tiež daná súčinom veľkosti sily a kolmej vzdialenosti nositelky sily od bodu 0.

2. Moment sily je vektorová veličina, vyjadruje sa k určitému bodu. M0 = r×F; Moment sily F k bodu 0 sa nemení, ak túto silu posúvame po jej nositeľke – preto je veľkosť momentu tiež daná súčinom veľkosti sily a kolmej vzdialenosti nositelky sily od bodu 0. Hmotný bod je teleso, ktorého geometrické rozmery v uvažovanej sústave môžeme zanedbať. Na určenie polohy hmotného bodu nám stačia tri súradnice. Hmotnost je skalárna charakteristika hmotného bodu, ktorá vyjadruje mieru zotrvačnosti hmotných bodov. Mechanická práca je definovaná ako skalárny súčin vektora sily F pôsobiacej na hmotný bod, ktorého poloha sa zmenila o dr. dA=F.dr; Tiež môžeme povedať, že práca predstavujedráhový účinok sily.

3. Silové pole pod týmto pojmom rozumieme funkčnú závislosť vektora sily, ktorý pôsobí na skúmaný hmotný bod alebo teleso, od súradníc a aj rýchlosti daného bodu a vo všeobecnosti aj od času. Ak sila nie je explicitne funkciou času, potom hovoríme, že silové pole je stacionárne, v opačnom prípade nestacionárne. Sily, ktoré môžeme vyjadriť pomocou potenciálu, nazývame konzervativne F = −gradU. Inerciálna sústava jej základnou vlastnosťou je, že je v kľude, jej realizácia je abstraktná, najlepšie by takejto SS odpovedala SS, ktorá je pevne spojená so stálicami, ktoré majú vovesmíre nemennú polohu. Každá sústava, ktorá sa vzhľadom na inerciálnu sústavu nepohybuje, alebo sa pohybuje rovnomerne priamočiaro, je takisto inerciálna. Napriek tomu, že SS pevne spojená so Zemou sa pohybuje, jej zrýchlenie pri pohybe okolo Slnka je také malé (0,00593ms-2 – stred Zeme) v porovnaní s gravitačným zrýchlením alebo v porovnaní s väčšinou zrýchlení vyskytujúcich sa v technickej praxi, že SS pevne spojený so Zemou môžeme s dostatočnou presnosťou považovať za nehybný SS.

4. Cieľ dynamiky - základný cieľ dynamiky je vyšetřovat súvislosti medzi pohybom mechanických modelov a pôsobiacimi silami. Tento vzájomný vzťah je definovaný v pohybových rovniciach, preto hlavná úloha dynamiky je zostavenie týchto pohybovýchrovníc. Prvý Newtonov zákon Vzhľadom na inerciálnu súradnicovú sústavu sa pohybový stav hmotného bodu (resp. telesa) nemení, ak hmotný bod nepodlieha pôsobeniu iných telies. Takisto sa nazýva zákon zotrvačnosti. Pohybový stav je definovaný hybnosťou p = mv; Matematické vyjadrenie 1. zákona: p = konšt; ak konšt=0, v = 0 hmotný bod zotrváva v pokoji; Ak konšt nie je 0, v = konšt, hmotný bod sa pohybuje rovnomerne priamočiaro.

5. Druhý Newtonov zákon Časová zmena hybnosti hmotného bodu (resp. telesa) je úmerná sile a prebieha v smere, v ktorom pôsobí sila. Takisto sa nazýva zákon sily. P’= kF; Pri vhodnej voľbe meracích jednotiek je k=1, potom P’= F(r,v,t); Vo všeobecnosti je charakter pohybu závislý od funkčnej závislosti vektora sily od súradníc, rýchlosti ako aj čase (silové pole). Ak predpokladáme, že sa hmotnosť telesa nemení, potom dostaneme: Pre oblasť dynamiky je charakteristický druhý Newtonov zákon, ktorý je východiskom pri odvádzaní základných dynamických vzťahov. Tretí Newtonov zákon silové pôsobenie medzi telesami je vždy vzájomné. Dve telesá pôsobia na seba rovnako veľkými silami rovnakého smeru ale opačne orientovanými – tiež sa nazýva zákon akcie a reakcie. F1= −F2;

6. Newtonov spôsob zostavovania rovníc pri pôsobení síl Fi na hmotný bod s konštantnou hmotnosťou m platí pre jeho pohyb v ľubovoľnom inerciálním súradnicovom systéme Newtonova pohybová rovnica: ma= ΣFi; (zrýchlenie hmotného bodu vyvolané výslednicou pôsobiacich síl) Pre praktické riešenie je nevyhnutné vektorovú rovnicu prepísať do zložkových rovníc. Podobne ako pri kinematike, aj tu sa najčastejšie používa rozpis do jedných z nasledovných súradníc: – kartézske – cylindrické – sférické – sprievodný trojhran. Kartézske súradnice

7. Cylindrické súradnice Sférické súradnice

8. Sprievodný trojhran • d’Alembertov spôsob d'Alembert zaviedol zotrvačnú silu D= −ma; Newtonovu pohybovú rovnicu je možné potom písať následovne: ΣF+D=0; d'Alembertov princíp: všetky silypôsobiace na daný hmotný bod sú v rovnováhe so zotrvačnou silou tohto bodu.

9. Zmena hybnosti ma= ΣFi; mdv = (ΣFi)dt; Zmena hybnosti v určitom časovom intervale je daná súčtom impulzov pôsobiacich síl v danom časovom intervale. Zmena momentu hybnosti ma= ΣFi; r×ma=r×ΣFi; Moment hybnosti L=r×mv; Moment sily: r×Fi =Mi; časová zmena momentu hybnosti k danému bodu jedaná momentom všetkých pôsobiacichsíl k danémubodu.

10. Zmena kinetickej energie ma= ΣFi; madr = ΣFidr; mvdv= ΣFidr; mvdv=dEk; Fidr=dAi; Zmena kinetickej energie hmotného bodu medzi dvoma polohami je daná prácou všetkých síl medzi týmito polohami. Sústava hmotných bodov mechanický model, ktorého pohyb je charakterizovaný pohybom dvoch alebo viacerých bodov, nazývame sústavou hmotných bodov (SHB). Jednotlivé hmotné body na seba obecne pôsobia. Toto vzájomné pôsobenie vyjadřujeme vnútornými silami Fij, ktoré charakterizujú účinok z bodu i na bod j.

11. Sústava vmazaných hmotných bodov - jednotlivé hmotné body sú viazané geometrickými väzbami buď navzájem alebo k vonkajšiemu systému, tým sa znižuje počet stupňov systému. Sústava voľných hmotných bodov - na jednotlivé body nepôsobia žiadne väzby. Zvláštne typy sústav hmotných bodov: – sústava na ktorú nepôsobia žiadne vonkajšie sily, tzv. izolovaná sústava – dokonale tuhé teleso – všetky jeho body sú vzájomne zviazané takým spôsobom, že vzájomná poloha všetkých bodov zostáva trvale nezmenená. Newtonove pohybové rovnice pre SHB sa dajú zostaviť pomocou metódy uvoľňovania. Na ľubovoľný bod SHB pôsobia jednak sily vonkajšie ako aj sily vnútorné. vonkajšie(externé)sily+vnútorné(interné)sily

12. Pre N hmotných bodov platí N vektorových pohybových rovníc:miai =Fi; i=1,2…N; nazýva sa Newtonovou pohybovou rovnicou celej sústavy a vystupujú v nej len vonkajšie (externé) sily. miai =Fi; i=1,2…N; Pohybové rovnice (silové aj momentové) pre jednotlivé hmotné body ale aj pre celú sústavu môžeme rozpísať do jednotlivých skalárnych zložiek.

13. d'Alembertov spôsob Pre každý hmotný bod sa zavádka zotrvačná sila Di = −miai; Potom pohybové rovnice môžeme písať: Fi+Di=0; i=1,2…N; Sčítaním rovníc dostávame: Momentové rovnice každého bodu: ri×Fi+ri×Di= 0; i=1, 2…N; Sčítaním rovníc dostávame: moment externých síl k bodu 0+moment zotrvačných síl k bodu 0;

14. Stred hmotnosti SHB Vektor rs, ktorý definuje stred hmotnosti SHB, je definovaný rovnosťou statických momentov hmotnosti všetkých hmotných bodov a statického momentu celkovej hmotnosti sústredenej práve v tomto strede. Poloha stredu hmotnosti:

15. Hybnosť SHB Aplikovaním vety o zmene hybnosti pre uvoľnený i-ty hmotný bod SHB dostávame: pi−p0i=Ii; pre i=1,2…N; pi= mivi; silové pôsobenie hmotného bodu i na hmotný bod j je rovnako veľké ako silové pôsobenie hmotného bodu j na hmotný bod i ale opačne orientované (zákon akcie a reakcie). Vyjadruje vetu o zmene hybnosti SHB: Zmena hybnosti SHB v určitom časovom intervale je daná impulzom všetkých vonkajších síl v danom časovom intervale. Pre izolované sústavy: p−p0 =0; p = konšt.

16. Moment hybnosti SHB aplikovaním vety o zmene momentu hybnosti k bodu 0 pre uvoľnený i-ty hmotný bod SHB dostávame: predstavuje vetu o zmene momentu hybnosti pre SHB: časová zmena momentu hybnosti SHB k ľubovoľnému pevnému bodu je daná súčtom momentov všetkých vonkajších síl k danému bodu. Ak existuje bod, pre ktorý platí: a platí veta o zachovaní momentu hybnosti: moment hybnosti SHB k určitému bodu sanemení, ak výsledný moment vonkajších síl k tomuto bodu je nulový.

17. Kinetická energia SHB: aplikovaním vety o zmene kinetickém energie pre uvoľnený i-ty hmotný bod, dostávame: predstavuje vetu o zmene kinetickej energie pre SHB: elementárna zmena kinetickej energie SHB je daná elementárnou prácou všetkých (vnútorných aj vonkajších) síl.

19. KINEMATIKA Je časťou mechaniky, pričom vo všeobecnosti, skúma pohyb telies resp. hmotných bodov, neskúma príčinu pohybu hmotného bodu alebo telesa, keďže príčinou pohybu sú sily a tie úzko súvisia s pojmom hmota, nemá zmysel v kinematike uvažovať s pojmom hmotnost. V kinematike je bod alebo teleso charakterizované iba geometrickými vlastnosťami. Základné veličiny v kinematike sú: priestor (Euklidovský), čas (plynie rovnomerne vo všetkýchsúradnicových systémoch). Ak je počet nezávislých súradníc, potom hovoríme, že útvar má n stupňov voľnosti. Počtom stupňov voľnosti je charakterizovaná pohyblivosť útvaru. Voľný bod má v priestore 3 stupnevoľnosti, t.j. jeho polohu musia určovať 3 funkcie. Voľné teleso má v priestore 6 stupňovvoľnosti.

20. Kinematiku rozdeľujeme: – kinematika bodu – kinematika telesa – kinematika súčasných pohybov bodov a telies – zloženie mechanizmov – kinematika mechanizmov. Iné rozdelenie: – analýza – vyšetruje sa pohyb útvarov, ak sú dané geometrické rozmery útvarov – syntéza – určujú sa geometrické rozmery mechanizmov podľa požiadavky, aby zvolený bod konal predpísaný pohyb. Trajektória (dráha bodu) – je spojitá krivka, ktorú opisuje pohybujúci sa bod vo zvolenom priestore. Trajektória - Priamka (priamočiary pohyb) – Krivka – rovinná (rovinný krivočiarypohyb) – priestorová (priestorový krivočiary pohyb). Kartézsky systém (2D) x=x(t); y=y(t); z=z(t), sprievodič r = xi+ yj+ zk,

21. Cylindrický systém (3D) ρ =ρ(t); ϕ =ϕ(t); z=z(t), r=ρiρ+zkz, transformácia medzi kartézskymi a cylindrickými:

22. Sféricky systém (3D)r=r(t); υ=υ(t); ϕ=ϕ, transformácia medzi kartézskymi a sférickými súradnicami: r= rir Sprievodný trojhran je súradnicový systém, ktorého počiatok leží v pohybujúcom sa bode. Jeho osi sú dotyčnica, normála a binormála trajektorie. Dotyčnica it, normála jn, binormála kb.

23. Druhy pohybu rozdeľujeme podia dotyčnicového zrýchlenia at. Ak at=0 (v = 0) je pohyb rovnomerný. Ak at nie je 0, je pohyb nerovnomerný, pričom ak at a v majú rovnaké znamienka, pohyb je zrýchlený, ak majú opačné znamienka, pohyb je spomalený. • Posuvný pohyb telesa Teleso koná posuvný (translačný) pohyb, ak jeho dve nerovnobežné priamky nemenia pri pohybe svoj smer (trajektórie všetkých bodov sú zhodné, navzájom posunuté krivky, v každom okamžiku sú rýchlosti a zrýchleniavšetkých bodov telesa navzájom rovnaké). Ak je trajektória bodu telesa priamka, potomhovoríme o priamočiarom posuvnom pohybe. Ak je trajektória bodu telesa rovinná resp.priestorová krivka, potom hovoríme o krivočiarom rovinnom resp. krivočiarom priestorovomposuvnom pohybe.

24. Rotačný pohyb telesa Teleso koná rotačný pohyb, ak jedna jeho priamka zostáva trvale v kľude, táto priamka sa nazýva osou rotácie. Trajektórie všetkých bodov sú kružnice,ktoré ležia v rovinách kolmých na os rotácie a majú stred na tejto osi. Rotačný pohyb je teda pohybom rovinným a teda pohyb sa môže vyšetrovať v rovine kolmej na os rotácie.

25. (dotyčnicové zrýchlenie + normálové zrýchlenie) Transformačná matica rotačného pohybu: matica uhlovej rýchlosti:

26. Rovinný pohyb telesa Teleso koná obecný rovinný pohyb, ak trajektórie jeho bodov ležia v navzájem rovnobežných rovinách. Trajektórie sú teda rovinné krivky. Všetky body, ktoré ležia na rovnakej kolmici k rovine pohybu opisujú rovnaké krivky a majú rovnaké okamžité rýchlosti a zrýchlenia. Rovina pohybu, do ktorej teleso premietneme sa nazýva základná. Voľné teleso v rovine má 3 stupne voľnosti. Základný rozklad obecného rovinnéhopohybu znamená rozloženie pohybu na unášavý posuvný, ktorý je určený pohybom jedného referenčného bodu telesa, a relatívny rotačný okolo referenčného bodu. Sférický pohyb telesa Teleso koná sférický pohyb, ak jeden jeho bod je trvalo v kľude. Tento bod sa nazýva stred sférického pohybu. Ak telesu nie sú kladené iné väzby, potom má tri stupne voľnosti. Trajektóriami bodov sú sférické krivky – t.j. krivky ležiace na guľových plochách so stredom v strede sférického pohybu. Sférický pohyb telesa sa najčastejšieopisuje pomocou tzv. Eulerových uhlov.

27. Obecný priestorový pohyb telesa predstavuje najobecnejší prípad pohybu telesa. Základný rozklad obecného priestorového pohybu telesa k bodu Ω je jeho rozklad na unášavý pohyb posuvný určený pohybom bodu Ω – tzv. referenčný bod, a na relativný sférický pohyb okolo tohto bodu. Poloha telesa v priestore je potom určená súradnicami xΩ, yΩ, zΩ, referenčného bodu Ω a Eulerovými uhlami ψ, υ, ϕ, ktoré definujú relatívny sférický pohyb. Ak teda poznáme súradnice ako funkcie času: je pohyb telesa určený. Kinematika súčasných pohybov Kinematika súčasných pohybov sa zaoberávzťahmi medzi kinematickými veličinami jednotlivých pohybov. Tvorí teoretický základ kinematiky sústav telies.

29. KMITACKY –– Zakladne pojmy: • kmitajúca lineárna sústava so sústredenými parametrami je zoskupenie dvoch alebo viacerýchjednoduchých – diskrétnych prvkov, ktoré sú vzájomne previazanéjednotlivé prvky majú špecifické vlastnosti a ich odozva je lineárne závislá na budení tieto prvky sú: • – hmota – je nositeľkou kinetickej energie • – pružiny – sú nositeľkami potenciálnej energie • – tlmiče – predstavujú disipátory energie, ktoré menia mechanickú energiu na teplo rozdelenie podľa rozloženia parametrov: s diskrétnymi parametrami,so spojite rozloženými parametrami. rozdelenie podľa počtu stupňov voľnosti:s jedným stupňom voľnosti,s viacej stupňami voľnosti. rozdelenie podľa tlmenia: netlmene, tlmene. rozdelenie podľa druhu budenia: deterministike.

30. Stochasticke • základné druhy pohybov, ktoré sa pri kmitaní riešia, sú: • voľné kmitanie – vzniká, ak je sústava po vychýlení z rovnovážnej polohy (zmena polohy alebo • udelenie rýchlosti alebo oboch) uvoľnená a ponechaná v pohybe bez účinkov budenia • vynútené kmitanie – vzniká, ak je pohyb sústavy vyvolaný a udržovaný účinkom budiacich síl resp. • kinematickým budením, najčastejšie sa pod týmto pojmom rozumie ustálené vynútené kmitanie