Matematikaj rimedoj

1. Matematikaj rimedoj Versio 2003.12 elfortoplano alfinitaj elementoj Matematika helpilo Prezentado de objektoj Linearaj ekvacioj Vektora kaj tensora kalkulo Diferenciala geometrio Versio 03

2. Matematikaj rimedoj a a a a a a i 2 i 1 3 a j q x a x x x x i i 3 2 1 i Prezentado de objektoj Objekto estas io, kiu ricevi nomon, minimume unu literon. Normale tiun nomo ne reprezentas unu elementon, sed aron da similaj obiektoj. El matematiko ni bone konas tian notacion - priskribo helpe de indeksoj: i, j, k, l .... Indeksoj povas trovighi ie ajn, sube al supre de nomo. Atenton! Supra indekso ne indikas potencigon! Oni povas klasifiki la obiektojn rilate je nombro de iliaj indeksoj - oni diras je valenco. Valoron de indeksoj oni elektas nur kiel entjera nombro. La supra kaj suba limoj estas jam che komenco konataj. (Pro komputeraj aspektoj oni elektas suban limon ofte la nulo) Valenco 0 Objekto 0-valenca ne posedas indekson. Ghi estas nur unu-elementa obiekto, kiu posedas nur nomon, ekz. q. Valenco 1 Objekto 1-valenca posedas unu indekson. Oni povas konstrui du tipojn de tiaj obiektoj, kun suba au supra indekso. Oni imagu, ke elementoj de tiuj obiektoj ordigitaj estas en linea au kolona tabelo. i = 1, 2, 3 j = 0, 1, 2 r, l = 0,1 i = 1, 2, 3 i i

3. Matematikaj rimedoj a i i b xk i a1 a2 a3 b1 b2 b3 i = 1, 2, 3 = aibi = Ekzemploj a) Koordinatoj x, y, z povas esti notitaj: xk au xk (k = 1, 2, 3) b) Helpe de indeksa notacio oni povas eviti simbolon de sumado, kio esence simplifigas kalkuladon. akbk = a1b1 + a2b2 + a3b3 = c Multipliko de konformaj 1-valenciaj obiektoj videbla sur bildo. i = a1b1 + a2b2 + a3b3 c

4. Matematikaj rimedoj rs b a rs s = 1, 2 r = 1, 2 r, s = 1, 2 a11 a12 a21 a22 b11 b12 b21 b22 = arsbrs = Valenco 2 Obiekto 2-valenca, kun du indeksoj, ebligas tri tipojn: ars , ars au ars. Facile konstati, ke por r,s = 1, 2, 3 chiu tipo posedas 9 elementoj. Oni povas ilin tabeligi kaj prezenti per grafikaj simboloj Multipliko de konformaj 2-valenciaj obiektoj videbla sur bildo. Valenco 3, kaj pli alta Simile oni povas konstrui objektojn tri-valenciajn da 4 tipoj: aijk , aijk, aijk au aijk. Por i,j,k = 1, 2, 3 chiu obiekto posedas 33 = 27 elementoj kaj povas esti prezentita per kubo. r, s = 1,2 = a11b11 + a12b12 + + a21b21 + a22b22 c i,j,k = .. aijk aijk aijk aijk i j,k i,j,k k k j i i,j i,j,k

5. Matematikaj rimedoj Regulo de sumado En analitika pritrakto de konstruteorioj helpe de vektor- kaj tensorkalkulo ofte aperas sumojn, kies notado povas esti simpligita pere sekvanta sumad-regulo (konvencio lau EINSTEIN) lau unu au pluraj indeksoj r, k, s = 1, 2 . . n akbk = a1b1 + a2b2 + a3b3 = A akbkr = a1b1r + a2b2r + a3b3r = Br arsbsk = ar1b1k + ar2b2k + ar3b3k = Crk Simile oni povas krei sumojn je pluraj indeksoj: aksbks = a11b11 + a12b12 + a21b21 + a22b22 = D arksbrks = a111b111 + a112b112 + + a121b121 + a122b122 + + a211b211 + a212b212 + + a221b221 + a222b222 = F aksxkxs = a11x1x1 + a12x1x2 + a21x2x1 + a22x2x2 = G Tiu sumad-regulo validas nur por du samaj indeksoj! Sumad-indeksoj (mutaj) povas esti anstatuigitaj per alia indekso: akbk = arbr = aibi ktp. Potenco devas esti skribita jene: (akbk)2 = arbr .akbk sed neakbk akbk bk ak A 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ak Br bkr bsk ars Crk brks arks D

6. Matematikaj rimedoj aijk a brs brs Sumo kaj produto de objektoj Sumado estas realigebla nur je obiektoj, kiuj posedas la samajn valencon kaj indekso-dimension. arsk + brsk = Crsk ( r, s, k = 1, 2,3) Produto de du obiektoj formas obiekton, kies valenco estas sumo de faktor-valencoj: aijkbrs = Cijkrs aijkbrcs = dijkrs abrs = Crs La produt-elementojn oni formas multiplikante chiun elementon de unua obiekto per chiu elemento de dua obiekto. Per multipliko de obiekton kun konstanto -1 oni povas realigi subtrahon de obiektoj pere sumado. arsk Crsk brsk Cijkrs Crs

7. Matematikaj rimedoj s = k aijkrs Bijr Kontrakcio de objektoj Ni pritraktu obiekton kun subaj kaj supraj indeksoj, kies valenco estas minimume 2 - ekzemple aijkrs ( je valenco 5) En kazo, kiam du indeksoj egalas, ekz. k = s, tiam ni ricevos obiekton aijkrk kaj povas mallongigi ghin lau sumad-regulo; sekve ni ricevas obiekton je valenco 3, kaj por indekso k=1,2,3 rezultas: aijkrk = aijkrk = aij1r1 + aij2r2 + aij3r3 = Bijr Rezulte de kontrakci-operacio la valenco de obiekto kuntirighas po 2. Ripetado de kontrakci-operacioj por paraj indeksoj povas gvidi al obiekto de valenco 0, do al nevarianto / konstanto. k r = i s = k k aikrs air k i

8. Matematikaj rimedoj akr akr Objektoj simetria kaj antisimetria Simetria obiekto je valenco 2 estas tiu, kies elementoj ne shanghighas post aliigo de du indeksoj ark = akr , ark = akr Absolute simetria estas obiekto se chiu permutacio de du supraj au subaj indeksoj ne shanghas valoron de elementoj: arsk = arks = akrs= asrk = askr = aksr Antisimetria obiekto shanghas valoron de elementoj je kontraua che aliigo de du indeksoj: ark = -akr , ark = -akr kie, por r = k validas: akk = 0, akk = 0 Absolute antisimetria estas obiekto se permutacio de du supraj au subaj indeksoj nur la antausigno shanghighas: arsk = -arks = akrs= -asrk = askr = -aksr (che para permutacio antausigno ne shanghighas, che nepara permutacio shanghighas antausigno de elementoj) Ekzemplo Objekto je valenco 2 Povas esti dispartigita je simetria kaj antisimetria obiektoj: ark = (ark + akr)/2 + (ark - akr)/2 ark s  r s  r ark -1 ark 1/2 1/2 1/2 antisimetria objekto simetria objekto ark -akr akr ark 2ark 0

9. Matematikaj rimedoj Specialaj objektoj a) e-objektoestu antisimetria objekto eijkau eijk kies elementoj valoras nur 0, +1, -1 nome: 0 se lauvolaj du indeksoj egalas eijk / eijk = +1 se indeksoj igas paran permutacion -1 se indeksoj igas neparan permutacion a) -objekto Produto de objektoj eijkkaj erst formas miksobjekton je valenco 6 ijkrst = eijkerst b) KRONECKER-simboloj Difino: ij = ij = ij = 1, nurpor i = j , alikaze = 0 Por KRONECKER-simboloj validas: ij jk = ik ij jk = ik kaj ili permesasanstataui indeksojn: arjr = aj aiir = ar arsjr = ajs ir ais = ars

10. Matematikaj rimedoj Linearaj ekvacioj Ekzemple, tradicie notita linearaj ekvacioj a11x + a12y + a13z = a10a21x + a22y + a23z = a20 a31x + a32y + a33z = a30 povas esti prezentataj helpe de indeksitaj objektoj jene: a11x1 + a12x2 + a13x3 = x1a21x1 + a22x2 + a23x3 = x2a31x1 + a32x2 + a33x3 = x3 au aijxj = xi kaj solvo de tiu ekvaciaro posedas simplan formon: xj = aijxi kieaij = (Aij /A) determinanto A = |aij | = 0 , Aij - minoro de elemento aij Donitaj estas du objektoj: xi kaj xj - kunligitaj per linearaj ekvacioj Trovu inversigon de tiu relacio! aij xi xj ? Aik kj Aik aij jk A xk Determinanto A dispartigita je minoroj.Inversigu branchon A , poste branchon aij xj xi Aik aij Aik A jk kj A xk 1/A xj xi aij kjaik aik kj Aik jk xk 1/A

11. Matematikaj rimedoj d be = b k (a+kb+c)e c = ce Vektor-kalkulo 100 m  longo 100 °C  temperaturo $100 = 100 $  monokvanto ktp: Nombro & Unuo  Grando a = ae 1 a = ae 1 1 a = 2,4 1 e  a = ae e a a1+b1 ab . c1 s = |a||b|cos a1 a1 e1 e1 (grando) vektoro a a (unuo) versoro cos a2 (nombro) koordinato b1 a2 b c e2 e2  b2 a3 a+b b1 k a3 b2 a sin ab ciei e3 b e3 b3 b  b3 v = |a||b|sin c3 a3+kb3 bazo ei . Difino de vektoro cos c (ab)c V Sumo de vektoroj Produtoj de vektoroj