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能量法

材料力学. Mechanics of Materials. 能量法. Energy Methods. 华北水利水电学院土木与交通学院. 第十三章 能量法. §13—1 概述. §13—2 杆件变形能的计算. §13—3 互等定理. §13—4 单位荷载法  莫尔定理. §13—5 卡氏定理. §13—6 计算莫尔积分的图乘法. §13—1 概述. 一、能量方法 ： 利用功能原理 U = W 来求解可变形固体的位移、变形和内力 等的方法。. 二、外力功.

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Presentation Transcript

  1. 材料力学 Mechanics of Materials 能量法 Energy Methods 华北水利水电学院土木与交通学院 共1页

  2. 第十三章 能量法 §13—1概述 §13—2 杆件变形能的计算 §13—3互等定理 §13—4单位荷载法  莫尔定理 §13—5卡氏定理 §13—6计算莫尔积分的图乘法

  3. §13—1概述 一、能量方法： 利用功能原理 U = W来求解可变形固体的位移、变形和内力 等的方法。 二、外力功 固体在外力作用下变形，引起力作用点沿力作用方向位移， 外力因此而做功，则成为外力功。 三、变形能 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄 的能量，称为弹性变形能，简称变形能。

  4. §13—2 杆件变形能的计算 一、杆件变形能的计算 当拉力为P1时，杆件的伸长为△L1 当再增加一个dp1时，相应的变形增量为d(△L1) 1、轴向拉压的变形能 此外力功的增量为：

  5. P P1 P o l  l l P P 积分得：

  6. P2 P3 C B P1 A 二、变形能的普遍表达式 P--广义力： 包括力和力偶 δ--广义位移： 包括线位移和角位移

  7. P2 P3 C B P1 A 假设广义力按某一比例 由零增致最后值 对应的广义位移也由零 增致最后值。 对于线性结构，位移与荷 载之间是线性关系，任一 广义位移，例如 2可表示为

  8. P2 P3 C B P1 A 也是常数 在比例加载时 C1P1，C2P2，C3P3 分别表示 力 P1 ， P2，P3 在 C点引起 的竖向位移 C1，C2，C3 是比例常数

  9. P2 P3 C B P1 A 2 与 P2 之间的关系是线性的 同理 ，1 与 P1， 3 与 P3 之 间的关系也是线性的

  10. P2 P3 C B P1 A 在整个加载过程中结构的变形能等于外力的功

  11. P2 P3 C B P1 A —— 克拉贝隆原理（只限于线性结构）

  12. 三、变形能的应用 1、计算变形能 2、利用功能原理计算变形

  13. 例1：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的挠度。例1：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的挠度。

  14. 解：

  15. 例2：试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度。例2：试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度。

  16. 解：

  17. 例3：试求图示四分之一圆曲杆的变形能，并利用功能原理求B截面的垂直位移。已知EI 为常量。

  18. 解：

  19. M A P N j T B A T Q 例4 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。 解：用能量法（外力功等于应变能） ①求内力 P R A

  20. ②变形能： ③外力功等于应变能

  21. 例题5：拉杆在线弹性范围内工作。抗拉刚度 EI ，受到 P1，P2 两个力作用。 (1) 若先在 B 截面加 P1，然后在 C 截面加 P2 ； (2) 若先在 C 截面加 P2，然后在 B 截面加 P1。 分别计算两种加力方法拉杆的应变能。

  22. A a B b P1 P2 C C截面的位移为 (1) 先在 B 截面加 P1，然后在 C 截面加 P2 在 B 截面加 P1， B截面的位移为 外力作功为 再在C上加 P2 P2 作功为

  23. A a B b P1 P2 C 在加P2后，B截面又有位移 在加 P2 过程中 P1 作功（常力作功） 所以应变能为

  24. A a B b P1 P2 C (2) 若先在C截面加P2，然后B截面加P1。 在C截面加P2后， P2作功 在B截面加P1后， P1作功

  25. A a B b P1 P2 C 加 P1引起 C 截面的位移 在加P1过程中P2作功（常力作功）

  26. 注意： (1) 计算外力作功时，注意变力作功与常力作功的 区别。 (2) 应变能 U只与外力的最终值有关，而与加载过 程和加载次序无关。

  27. m P C B A 梁中点的挠度为 梁右端的转角为

  28. m P C B A 梁的变形能为

  29. 先加力 P 后，再加力偶 m P 先加力 P 后，C 点的位移 C B A 力 P所作的功为

  30. m 力 偶由零增至最后值 m B 截面的转角为 P C B A 力偶 m 所作的功为 C B A

  31. m 力 偶由零增至最后值 m C截面的位移为 P C B A 先加上的力 P 所作的功为 C B A

  32. m P C B A C B A P与力偶 m 所作的功为

  33. P2 P1 2 1 §13—3 互等定理 一、功的互等定理 1、设在线弹性结构上作用力 P1 ， P2 两力作用点沿力作用方向的 位移分别为 1 ， 2

  34. P3 P4 P2 P1 3 4 2 1 P1 和 P2 完成的功应为 2、在结构上再作用有力 P3， P4 沿 P3和 P4方向的相应位移为 3 ， 4 P3 和 P4 完成的功应为

  35. ， P3 P4 P2 P1 3 4 2 1 3、在 P3和 P4的作用下，P1 和 P2 的作用点又有位移 P1 和 P2 在 1´和 2´上 完成的功应为

  36. P3 P4 P2 P1 3 4 2 1 因此，按先加 P1，P2 后P3，P4 的次序加力，结构的应变能为

  37. 若按先加 P3， P4 后加 P1， P2 的次序加力，又可求得结构的 应变能为 由于应变能只决定于力和位移的最终值，与加力的次序无关故

  38. 功的互等定理： 第一组力在第二组力引起的位移上所作的功， 等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。 二、位移互等定理 若第一组力 P1，第二组力只有 P3，则 如果 P1=P3 ，则有

  39. 位移互等定理： P1作用点沿 P1 方向因作用 P3而引起的位移， 等于 P3 作用点 沿 P3 方向因作用 P1而引起的位移。 三、注意 1、力和位移都应理解为广义的。 2、这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下，只是由变形 引起的位移。

  40. A fA 图 a §13—4单位荷载法  莫尔定理 一、莫尔定理的推导： 求任意点A的位移f A 1、先在A点作用单位 力P0，再作用P1 P2力

  41. A fA 图 a P0 =1 A 图b 0 A P =1 f 图c A 变形能为：

  42. 0 A P =1 f 图c A 2、三个力同时作用时 任意截面的弯矩： 变形能：

  43. 桁架：

  44. 二、普遍形式的莫尔定理

  45. 三、使用莫尔定理的注意事项： ① M(x)：结构在原载荷下的内力。 ② ——去掉主动力，在所求 广义位移 点，沿所求 广义位移 的方向加广义单位力 时，结构产生的内力。 ③ 所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。 ④ 与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可 自由建立。 ⑤莫尔积分必须遍及整个结构。

  46. ql/2 ql/2 c l/2 l q A B 例题1 : 抗弯刚度为EI的等截面简支梁受均布荷载作用，用单 位载荷法求梁中点的挠度 fc 和支座A截面的转角。剪力对弯 曲的影响不计。

  47. ql/2 ql/2 c l/2 l 解： 在实际荷载作用下，任一 x 截面的弯矩为 q A B

  48. 1/2 1/2 1 ql/2 ql/2 x c l/2 l q A A B B c (1)求 C 截面的挠度 在C点加一向下的单位力， 任一 x 截面的弯矩为

  49. 1/2 1/2 1 ql/2 ql/2 x c l/2 l q A A B B

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