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第二十章 曲线积分

第二十章 曲线积分. §1 第一型曲线积分 §2 第二型曲线积分. §1 第一型曲线积分. 一、问题的提出. 实例 : 曲线形构件的质量. 匀质之质量. 分割. 近似值. 求和. 精确值. 取极限. 二、对弧长的曲线积分的概念. 1. 定义. 被积函数. 积分和式. 积分弧段. 曲线形构件的质量. 2. 存在条件：. 3. 推广. 注意：. 4. 性质. (4). （ 5 ）. 三、对弧长曲线积分的计算. 定理. 证略。. 这里 ，. 计算：. 曲线积分. 定积分.

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第二十章 曲线积分

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Presentation Transcript

  1. 第二十章 曲线积分 §1 第一型曲线积分 §2 第二型曲线积分

  2. §1 第一型曲线积分

  3. 一、问题的提出 实例:曲线形构件的质量 匀质之质量 分割 近似值 求和 精确值 取极限

  4. 二、对弧长的曲线积分的概念 1.定义

  5. 被积函数 积分和式 积分弧段 曲线形构件的质量

  6. 2.存在条件： 3.推广

  7. 注意：

  8. 4.性质 (4)

  9. （5）

  10. 三、对弧长曲线积分的计算 定理 证略。 这里，

  11. 计算： 曲线积分 定积分 (1) L：y = y(x), a≤x≤b 假设 y(x)C1([a, b]). 有 ( a < b )

  12. (2) L：x=x(y), c≤y≤d 假设 x(y)C1([c, d]). 有 ( c < d )

  13. 解1： 0≤x≤2 y 2 y2=2x 0 2 x 其中 L 为y2=2x自点(0, 0)到点(2, 2) 例1.计算 的一段弧.

  14. (3) L：x=(t), y=(t), ≤t≤ ( < )

  15. 注意:

  16. 特殊情形

  17. 对弧长曲线积分的计算公式 1. 曲线 则 2. 曲线 则 3. 曲线 则

  18. 推广:

  19. 解1： 0≤x≤2 y 2 y2=2x 0 2 x 例1.计算 其中 L 为y2=2x自点(0, 0)到点(2, 2) 的一段弧.

  20. 解2： 0≤y≤2 y 2 0 2 x

  21. y B 2 OA: y=0, 0≤x≤1 A x O 1 例2.计算 L: 连接O(0, 0), A(1, 0), B(0, 2)的闭折线OABO. 解：L分段光滑 ds=dx

  22. AB: y=22x, 0≤x≤1 y BO: x=0, 0≤y≤2 B 2 x A O 1 ds=dy =2

  23. 例3.计算 其中L: x2+y2=a2. L: x=acos t, y=asin t, 0≤t≤2

  24. z  y O x (4) 空间R3中的曲线：x=(t), y=(t), z=(t), ≤t≤ ( < )

  25. 解：直线段 AO 方程： 例4.计算 其中：从点A(3, 2, 1)到点O(0, 0, 0)的直线段. 化成参数方程：x=3t, y=2t, z=t, 0≤t≤1.

  26. 例5 解

  27. 例6 解

  28. 例7 由对称性, 知 解

  29. 例8 解

  30. 例9 解 (1)L： (2) L：

  31. 例10 解

  32. 例11 解

  33. 于是，

  34. 四、几何与物理意义

  35. 对弧长曲线积分的应用

  36. y x 例9 解: 如图设置坐标系

  37. 五 小结与思考判断题 1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用 作业 : P201:1,(1)~(7),2,3.

  38. 思考判断题 （1） 对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？ （2） 对弧长的曲线积分是否与曲线方向有关？

  39. 思考题 对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？

  40. 的符号永远为正，它表示弧段的长度. 思考题解答

  41. §2第二型曲线积分

  42. 一、问题的提出 实例:变力沿曲线所作的功 常力所作的功 分割

  43. 求和 近似值 取极限 精确值

  44. 二、对坐标的曲线积分的概念 1.定义

  45. 类似地定义

  46. 2.存在条件： 3.组合形式

  47. 4.推广

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