1 / 70

第 10 章 图 论

第 10 章 图 论. 重点. 关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩 阵和基本割集矩阵的概念 回路电流方程、结点电压方程和割 集电压方程的矩阵形式. A. D. B. A. C. D. B. C. 网络图论. 图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。. 哥尼斯堡七桥难题. i. 抛开元件性质. 8. R 1. R 3. 1. 3. 5. 2. 4. R 2. R 4. 7. 6. _. +. R 5. u S. 1. 3. 5. 2. 4. 6.

gallagher-haren
Download Presentation

第 10 章 图 论

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 第10章 图 论 • 重点 • 关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩 • 阵和基本割集矩阵的概念 • 回路电流方程、结点电压方程和割 • 集电压方程的矩阵形式

  2. A D B A C D B C • 网络图论 图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。 哥尼斯堡七桥难题

  3. i 抛开元件性质 8 R1 R3 1 3 5 2 4 R2 R4 7 6 _ + R5 uS 1 3 5 2 4 6 10.1 图论的基本定理 1. 电路的图 一个元件作为一条支路 元件的串联及并联组合作为一条支路 有向图

  4. ① １ ② 电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。 (1) 图的定义(Graph) G={支路，节点} a. 图中的结点和支路各自是一个整体。 b. 移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在， 因此允许有孤立结点存在。 c. 如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。

  5. 从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达另一节点所经过的支路构成路经。从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达另一节点所经过的支路构成路经。 (2) 路径 图G的任意两节点间至少有一条路经时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。 （3）连通图

  6. 若图G1中所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是G的子图。若图G1中所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是G的子图。 (3) 子图 • 树 (Tree) T是连通图的一个子图满足下列条件： (1)连通 (2)包含所有节点 (3)不含闭合路径

  7. 不是树 树 树支：构成树的支路 连支：属于G而不属于T的支路 特点 1）对应一个图有很多的树 2）树支的数目是一定的： 连支数：

  8. 1 2 3 3 2 7 5 5 8 4 6 1 2 7 5 8 4 L是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足：(1)连通，(2)每个节点关联2条支路 • 回路(Loop) 不是回路 回路 1）对应一个图有很多的回路 特点 2）基本回路的数目是一定的，为连支数 3）对于平面电路，网孔数为基本回路数

  9. 6 6 5 4 5 2 2 1 3 2 1 3 3 1 基本回路具有独占的一条连枝 基本回路(单连支回路) 支路数＝树枝数＋连支数 ＝结点数－1＋基本回路数 结论 结点、支路和基本回路关系

  10. 1 4 5 4 5 8 6 8 6 8 6 3 2 7 7 3 4 8 2 3 图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。 例

  11. 6 6 1 1 4 4 3 3 9 9 7 7 5 5 2 2 8 8 • 割集Q (Cut set ) Q是连通图G中支路的集合，具有下述性质： (1)把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 (2)任意放回Q中一条支路，仍构成连通图。 割集：（1 9 6）（2 8 9）（3 6 8）（4 6 7）（5 7 8） （3 6 5 8 7）（3 6 2 8）是割集吗？ 基本割集 只含有一个树枝的割集。割集数＝n-1 连支集合不能构成割集

  12. 2 2 1 3 1 4 3 5 6 4 ＋ ＋ ＋ ＝0 1 2 3 4 10.2 KCL和KVL的独立方程数 1.KCL的独立方程数 1 2 3 4 结论 n个结点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。

  13. 2.KVL的独立方程数 KVL的独立方程数=基本回路数=b－(n－1) 结论 n个结点、b条支路的电路, 独立的KCL和KVL方程数为：

  14. 结点 回路 割集 支路 支路 支路 关联矩阵 回路矩阵 割集矩阵 10.3 图的矩阵表示 电路的图表征了网络的结构和拓扑，依据电路的图，可以写出网络的KCL和KVL方程。 图的矩阵表示 用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和KVL的矩阵形式。

  15. ajk 支路b n b Aa= 结点n 1. 关联矩阵 一条支路连接两个结点，称该支路与这两个结点相关联，结点和支路的关联性质可以用关联矩阵Aa描述。 N个结点b条支路的图用nb的矩阵描述 每一行对应一个结点，每一列对应一条支路，矩阵Aa的每一个元素定义为： ajk=1支路k与结点j关联，方向背离结点。 ajk= -1支路k与结点j 关联，方向指向结点 ajk =0支路k与结点j无关

  16. 支 1 2 3 4 5 6 结 1 2 3 4 Aa= ② ５ ４ ① ３ ③ ６ ２ ④ 1 支路b (n-1) b A= 结点（n-1） 例 -1 -1 0 1 0 0 0 0 1 -1 -1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 -1 0 0 -1 关联矩阵Aa的特点： • 每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1， Aa的每一列元素之和为零。 • 矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1行是独立的。 引入降阶关联矩阵A

  17. 支 1 2 3 4 5 6 结 1 2 4 Aa= ② ５ ４ ① ３ ③ ６ ２ ④ 1 支 1 2 3 4 5 6 结 1 2 3 -1 -1 0 1 0 0 -1 -1 0 1 0 0 0 0 1 -1 -1 0 A= 0 0 1 -1 -1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 -1 0 0 -1 设④为参考节点,得降阶关联矩阵 设③为参考节点,得降阶关联矩阵 注 给定A可以确定Aa，从而画出有向图。

  18. ② ５ ４ ① ３ ③ ６ ２ ④ 1 -1 -1 0 1 0 0 0 0 1 -1 -1 0 1 0 0 0 1 1 引入关联矩阵A的作用： • 用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程 设: 以④为参考节点 [A][ i ]= 矩阵形式的KCL:[ A ][ i ]= 0 n-1个独立方程

  19. ② ５ ４ ① ３ ③ ６ ２ ④ 1 • 用矩阵[A]T表示矩阵形式的KVL方程 设:

  20. 支路b lb [B]= bij= 独立回路l 2. 回路矩阵B 一个回路由某些支路组成，称这些支路与该回路相关联，独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。 每一行对应一个独立回路，每一列对应一条支路，矩阵B的每一个元素定义为： 1支路j在回路i中方向一致 -1支路j在回路i中方向相反 0支路j不在回路i中

  21. 2 1 ② 0 1 1 1 0 0 0 0 -1 0 -1 1 ５ ４ 3 1 -1 0 0 0 -1 支 ① ３ 1 2 3 4 5 6 ③ 回 ６ ２ B = ④ 1 例 取网孔为独立回路，顺时针方向 1 2 3 注 给定B可以画出有向图。 若独立回路选单连枝回路得基本回路矩阵[Bf]，规定： 1。连支电流方向为回路电流方向 2。支路排列顺序为先树支后连支， 回路顺序与连支顺序一致

  22. ② ５ ４ 支 ① ３ 4 5 6 1 2 3 ③ 回 Bl Bt ６ ２ B = ④ 1 例 选 4、5、6为树，连支顺序为1、2、3。 1 2 3 1 -1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 0 1 -1 0 0 1 = [ Bt 1 ]

  23. ② ５ ４ ① ３ ③ Bl Bt 1 -1 0 1 0 0 ６ ２ 1 -1 1 0 1 0 ④ 1 0 1 -1 0 0 1 引入回路矩阵[B]的作用： • 用回路矩阵[B]表示矩阵形式的KVL方程 设 [ B ][ u ]= 矩阵形式的KVL： [ B ][ u ]= 0

  24. [ Bf ][ u ]= 0可写成 Btut+ul=0 ul= - Btut 连支电压用树支电压表示 • 用回路矩阵[B]T表示矩阵形式的KCL方程 设

  25. ② ５ ４ ① ３ ③ ６ ２ ④ 1 独立回路电流 [Bf]=[ Bt 1 ] 树支电流用连支电流表出 矩阵形式的KCL： [ B ]T[ il ]=[ ib ]

  26. 支路b (n-1) b [Q]= 割集数 qij= 3. 基本割集矩阵Q 割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，这里主要指基本割集矩阵。 每一行对应一个基本割集 每一列对应一条支路，矩阵Q的每一个元素定义为： 1支路j在割集i中且与割集方向一致 -1支路j在割集i中且与割集方向相反 0支路j不在割集中

  27. ② ５ ４ ① ３ ③ Qt Ql ６ ２ ④ 1 支 4 5 6 1 2 3 割集 1 0 0 -1 -1 0 Q1 Q2 Q3 Q= 0 1 0 1 1 -1 0 0 1 0 -1 1 若选单树枝割集为独立割集，得基本割集矩阵[Qf] 规定： (1)割集方向为树支方向 (2)支路排列顺序先树支后连支 (3)割集顺序与树支次序一致 选 4、5、6支路为树 例 Q1:{1,2,4} Q2:{1,2,3,5} Q3:{2,3,6}

  28. ② ５ ４ ① ３ ③ ６ ２ ④ 1 1 0 0 -1 -1 0 0 1 0 1 1 -1 [ Qf][ib ]= 0 0 1 0 -1 1 引入基本割集矩阵[Qf]的作用： • 用基本割集矩阵[Qf]表示矩阵形式的KCL方程 设 矩阵形式的KCL： 矩阵形式的KCL：[ Qf][ib ]=0

  29. ② ５ ４ ① ３ ③ ６ ２ ④ 1 • 用[Qf]T表示矩阵形式的KVL方程 设树枝电压（或基本割集电压）： ut=[ u4 u5 u6 ]T 矩阵形式的KVL：[ Qf]T[ut ]=[ub]

  30. 连支电压用树支电压表示

  31. 小结： B Q A KCL BTil=i Qi=0 Ai=0 KVL Bu=0 QTut=u ATun=u ul= - Btut

  32. 10.4 矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系 在任一网络的有向图中，选一个参考结点可以写出关联矩阵A，选择一树可以写出基本回路矩阵[Bf]和基本割集矩阵[Qf]，因此三个矩阵是从不同角度表示同一网络的连接性质，它们之间自然存在着一定的关系。 1. A与B之间的关系 对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：

  33. 2. B与Q之间的关系 对同一有向图，任选一树，满足：

  34. 3. A与Q之间的关系 对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序写出矩阵：

  35. 支 1 2 3 4 5 回 1 0 1 0 0 -1 1 0 1 0 [Bf ]= -1 0 0 0 1 ３ ① ５ ② ４ ２ 1 ③ 例 已知： 求基本割集矩阵，并画出网络图。 解

  36. 1 Zk（Yk） + - 2 - + 10.5 支路电压电流关系的矩阵形式 反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。 1.复合支路 设标准支路为： 特点： 复合支路

  37. Zk（Yk） Zk（Yk） + - 3 复合支路只是定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。 注

  38. Zk（Yk） + - Zk（Yk）=0 + -

  39. Zk（Yk） + - - + 2.阻抗矩阵形式 应用KCL和KVL可以写出用阻抗表示的k支路电压、电流关系方程： 如有b条支路，则有：

  40. 设 支路电流列向量 支路电压列向量 电压源的电压列向量 电流元的电流列向量 [Y]=diag[Y1Y2……Yb]

  41. 整个网络的支路电压、电流关系矩阵： bb阶对角阵 [Z]=diag[Z1Z2……Zb]T

  42. R5 5 1 3 ③ ② 2 jL2 ① jL3 2 3 R6 4 6 R1 1 + 1/jC ④ - 4 写出图示电路支路电压、电流关系矩阵： 例 解

  43. + - * M + - * 3.有互感时的阻抗矩阵形式

  44. + + Mmn jωLm jωLn 电流 - - 电压 一般情况

  45. R5 M 1 3 2 jL2 jL3 R6 R1 + 1/jC - 4 4.有电流控制的电压源时的阻抗矩阵形式 例

  46. Zk（Yk） + - - + 5. 支路导纳矩阵形式

  47. 不含互感和受控源的网络 bb阶对角阵

  48. 含互感的网络

  49. . I dk . . I I k ek . U Z k Sk 含有受控源的网络

More Related