§3 ． 8 直角三角形全等的判定

1. §3．8 直角三角形全等的判定

2. 一、学习目标 1．理解并掌握判定两个直角三角形全等的斜边 直角边判定公理； 2．灵活应用边角边公理进行有关证明和计算．

3. 二、重点难点 本节的重点是：掌握判定直角三角形全等的 特殊方法——HL公理． 本节的难点是：熟练运用所学的全等三角形 判定方法判定两个直角三角 形全等．

4. 三．引入 我们已经知道，一旦一个直角三角形的一条 直角边和斜边的长度确定，这个三角形的形状、 大小也是唯一的、稳定的，在固定的位置上，只 能作出唯一的直角三角形.这就说明了直角三角形 的另一判定公理.

5. 四．新课 直角三角形的判定公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 由于当两条直角边对应相等，再加上直角相等，恰好满足“边角边”公理所需的条件，它们也是全等的，于是，实际上，对两个直角形来说，存在这样的“定理”： 有两条边对应相等的两个直角三角形全等.

6. 四．新课 例1在三角形中，如果有两条高 线相等，则有两个角相等． 已知：如图，△ABC中，BE⊥AC， CF⊥AB，且BE＝CF． 求证：∠ABC＝∠ACB． 【分析】只需证明Rt△BCF≌Rt△CBE.

7. 四．新课 例1在三角形中，如果有两条高 线相等，则有两个角相等． 【证明】(1)先证∠ABC＝∠ACB 在Rt△BCF和Rt△CBE中， 有 ∴ Rt△BCF≌Rt△CBE（HL）. 则有 ∠ABC＝∠ACB（全等三角 形的对应角相等）.

8. 四．新课 例2如图，AD是∠BAC的角平 分线，且AD⊥BC，DE⊥AB， DF⊥AC，D、E、F是垂足. 求证：BE＝CF. 【分析】可以通过证明Rt△BDE≌Rt△CDF得到结论，也可以通过其他途径得到结论.

9. 【证法一】(1)先证AB＝AC，BD＝CD ∵AD⊥BC， 　∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°. ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴ ∠1＝∠2. 在△ADB和△ADC中， ∴ △ADB≌△ADC(ASA). ∴ AB＝AC，BD＝CD. 例2 如图，AD是∠BAC的角平分线，且AD⊥BC， DE⊥AB，DF⊥AC，D、E、F是垂足. 求证：BE＝CF. 四．新课

10. 【证法一】(2)再证ED＝FD ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ ∠AED＝∠AFD＝90°. 在Rt△AED和Rt△AFD中， ∴ Rt△AED≌Rt△AFD(AAS)， ∴ ED＝FD. 例2 如图，AD是∠BAC的角平分线，且AD⊥BC， DE⊥AB，DF⊥AC，D、E、F是垂足. 求证：BE＝CF. 四．新课

11. 【证法一】(3)再证BE＝CF 在Rt△DEB和Rt△DFC中，有 ∴ Rt△DBE≌Rt△DCF(HL). ∴ BE＝CF. 例2 如图，AD是∠BAC的角平分线，且AD⊥BC， DE⊥AB，DF⊥AC，D、E、F是垂足. 求证：BE＝CF. 四．新课

12. C D E A B F 四．新课 例3 已知：如图，AC⊥BC，AD⊥BD， AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB， 垂足分别是E、F. 求证：CE＝DF. 【分析】有已知条件可推出 △ABC≌△BAD，要证 CE＝DF，需证△ACE≌△BDF，或△BCE≌△ADF，所缺条件可由 △ABC≌△BAD推出.

13. 【证明】(1)先证∠CBE＝∠DAF ∵ AC⊥BC，AD⊥BD(已知)， ∴ ∠ACB＝∠BDA＝90°(垂直定义). 在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD(HL). ∴ ∠CBE＝∠DAF(全等三角形的对应角相等). C D E A B F 例3 已知：如图，AC⊥BC，AD⊥BD， AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB， 垂足分别是E、F. 求证：CE＝DF. 四．新课

14. 【证明】(2)再证CE＝DF ∵ CE⊥AB，DF⊥AB， ∴ ∠CEB＝∠DFA＝90°(垂直定义). 在△BCE和△ADF中， ∴ △BCE≌△ADF(AAS). ∴ CE＝DF(全等三角形的对应边相等). C D E A B F 例3 已知：如图，AC⊥BC，AD⊥BD， AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB， 垂足分别是E、F. 求证：CE＝DF. 四．新课

15. 一组角对应相等 二组角对应相等 没有对应相等的角 SAS ASA或AAS SSS 一组对应边相等 二组边对应相等 没有对应相等的边 ASA或AAS SAS 无 小结: 由于三角形全等的判定公理有四个，所以根据不同的已知条件，合理选择适当的公理. 具体方法是：可以根据已知相等的角的个数来选择公理，也可以根据已知相等的边的个数来选择公理. 确定了判定公理以后，就要把所缺的条件补齐，才能作出结论. (下面以例4来实践一下)

16. 例4 已知：△ABC中，D、E都是BC上 的点，BD＝EC，∠B＝∠C， ∠BAE＝∠CAD. 求证：(1)△ABE≌△ACD； 为证(1)成立，在选择判定公理时，容易发现在△ABE和△ACD中，已有两组角分别对应相等，可考虑的公理的ASA或AAS：若选ASA，应补条件AB＝AC；若选AAS，则应补条件AE＝AD或BE＝CD.再根据已知条件BD＝EC，自然可以推得BE＝CD成立，问题就迎刃而解了.

17. 例4 已知：△ABC中，D、E都是BC上 的点，BD＝EC，∠B＝∠C， ∠BAE＝∠CAD. 求证： (2)△ABD≌△ACE. 为证(2)成立，则容易发现在△ABD和△ACE中，只有一组角对应相等：∠B＝∠C.若选择定理SAS，需补足的条件是AB＝AC且BD＝EC，由于本例没有条件AB＝AC，所以这个选择难以实现，只能重新选择.再审视已知条件，由 ∠BAE－∠DAE＝∠CAD－∠DAE，可见还有条件∠BAD＝∠CAE，而考虑选择ASA或AAS，最后确定AAS可用就不是困难的事了.

18. 练 习 (一)选择题： 1．在① ASA；② SAS；③ AAS；④ SSS； ⑤ HL中可以判定两个直角三角形全等 的是 ( ) (A)⑤ (B)① 和 ② (C)③ 和 ④ (D)①②③④⑤ D

19. 练 习 (一)选择题： 2．下面语句中，不正确的是 ( ) (A)两条直角边对应相等的两个直角三角形 全等 (B)两边及第三边上的高对应相等的两个三 角形全等 (C)斜边及另一边上的高对应相等的两个直 角三角形全等 (D)一组锐角相等，并且斜边上的高对应相 等的两个直角三角形全等 B

20. 练 习 (二)证明题： 1．已知：如图，在△ABC中，D是BC中点， DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF． 求证：∠B＝∠C．　　 【提示】证明 △DBE≌△DCF.

21. A F E B D C 练 习 (二)证明题： 2．已知：O是△ABC内的一点，OD⊥BC， OE⊥AC，OF⊥AB， OD＝OE＝OF， ∠A＝70°． 求：∠BOC的度． 125°

22. 练 习 (二)证明题： 3．已知：△ABC中，AD是BC边上的中线， BE⊥AD于E， CF⊥AD于F. 求证：BE＝CF. 【提示】证明 △DBE≌△DCF.

23. D C A B 练 习 (二)证明题： 4．已知：如图，AB＝AD，BC＝DC， ∠B＝∠C，∠A＝60°． 求：∠D的度数． 100°

24. 练 习 (二)证明题： 5．证明：两全等三角形的对应角的角平分线相等．

25. D E A C B 练 习 (二)证明题： 6.已知：如图，B是AC上一点，AD⊥AC， EC⊥AC，DB⊥BE，AD＝BC． 求证：DB＝BE．