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数学悖论

数学悖论. 数学科学学院 陈玉琳 1210128. “ …… 古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。” ——N· 布尔巴基 悖论的历史源远流长，它的起源可以一直追溯到古希腊和我国先秦时代。“悖论”一词源于希腊文，意为“无路可走”，转义是“四处碰壁，无法解决问题”。

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数学悖论

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Presentation Transcript

  1. 数学悖论 数学科学学院 陈玉琳 1210128

  2. “……古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。” ——N·布尔巴基 悖论的历史源远流长，它的起源可以一直追溯到古希腊和我国先秦时代。“悖论”一词源于希腊文，意为“无路可走”，转义是“四处碰壁，无法解决问题”。 在古希腊时代，克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯（约公元前6世纪）发现的“撒谎者悖论”可以算作人们最早发现的悖论。公元前4世纪的欧布里德将其修改为“强化了的撒谎者悖论”。在此基础上，人们构造了一个与之等价的“永恒的撒谎者悖论”。埃利亚学派的代表人物芝诺（约490B.C.—430B.C.）提出的有关运动的四个悖论（二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论）尤为著名，至今仍余波未息。

  3. 在中国古代哲学中也有许多悖论思想，如战国时期逻辑学家惠施（约370B.C.—318B.C.）的“日方中方睨，物方生方死”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；《韩非子》中记载的有关矛与盾的悖论思想等，这些悖论式的命题，表面上看起来很荒谬，实际上却潜伏着某些辩证的思想内容。在中国古代哲学中也有许多悖论思想，如战国时期逻辑学家惠施（约370B.C.—318B.C.）的“日方中方睨，物方生方死”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；《韩非子》中记载的有关矛与盾的悖论思想等，这些悖论式的命题，表面上看起来很荒谬，实际上却潜伏着某些辩证的思想内容。 在近代，著名的悖论有伽利略悖论、贝克莱悖论、康德的二律背反、集合论悖论等。在现代，则有光速悖论、双生子佯谬、EPR悖论、整体性悖论等。这些悖论从逻辑上看来都是一些思维矛盾，从认识论上看则是客观矛盾在思维上的反映。 尽管悖论的历史如此悠久，但直到本世纪初，人们才真正开始专门研究悖论的本质。在此之前，悖论只能引起人们的惊恐与不安；此后，人们才逐渐认识到悖论也有其积极作用。特别是本世纪60、70年代以来，出现了研究悖论的热潮。

  4. 四个数学悖论简介 （一）两分法 运动着的物体要达到终点，首先必须经过路途的一半，为此它又必须先走完这一半的一半，依此类推，以至无穷。假如承认有运动，这运动着的物体连一个点也不能越过。 （二）阿基里与龟 全希腊跑得最快的阿基里永远追不上慢慢爬行的乌龟。因为，他要追上龟，首先就要到达龟所爬行的出发点，这时龟已经往前爬行了一段；当阿基里跑到龟的第二个出发点时，龟又爬行了一小段，阿基里又得赶上这一小段，以至无穷。阿基里只能无限地接近，但永远不能赶上它。所以，假如承认有运动，就得承认速度最快的赶不上速度最慢的。

  5. （三）飞矢不动 飞着的箭在不同的时间处于不同的位置，甲时在A点，乙时在B点，在连续的时间中，箭相继地静止在一系列的点上。既然是在某一点上，怎么能运动呢？运动实际上是一系列静止的总和。 （四）一半等于一倍 假定有三列物体，A列静止不动，B列与C列以相等的速度按相反方向运动（见图1）。当 B1通过A3，越过两个位置，到达与 A4并列的位置时，由于C列是按相反方向同速运动的，所以 B1在相同的时间里已通过C列的4个位置了(见图2)。B越过C列物体的数目，要比它越过A列物体的数目多一倍。因此，它用来越过C的时间要比它用来越过A的时间长一倍。但是B和C用来走到A的位置的时间却相等。一半的时间等于一倍的时间。因此说一半等于一倍。 这四个悖论的结论是错误的，是形而上学的，但悖论本身在认识史、辩证法史、逻辑史和科学史上却有重要地位。这四个悖论涉及到运动和时间、空间的关系以及极限和无限分割的问题，还接触到运动本身存在连续性与非连续性的矛盾，所以历来受到科学家和哲学家的重视。

  6. 悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。 • 悖论的定义有很多说法，影响较大的有以下几种： • 悖论是指这样一个命题A,由A出发可以找到一语句B，然后，若假定B真，就可推出¬B真,亦即可推出B假。若假定¬B真，即B假，又可推导出B真 • 2. 悖论是一种导致逻辑矛盾的命题，这种命题，如果承认它是真的，那么它又是假的；如果承认它是假的，那么它又是真的（例如理发师悖论） • 3.如果某一理论的公理和推理原则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式，那么，我们就说这个理论包含了一个悖论 • …… • 上述各种悖论定义，都有其合理的一面，但又都不十分令人满意。 • 从潜科学的观点来看，悖论是一种在已有科学规范中无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的科学规范中得到克服，这是悖论的广义定义。

  7. 这是网上广为流传的一个证明。 1=2？史上最经典的“证明”设 a = b ， 则 a·b = a^2 ， 等号两边同时减去 b^2 就有 a·b - b^2 = a^2 - b^2 。 注意，这个等式的左边可以提出一个 b ，右边是一个平方差， 于是有 b·(a - b) = (a + b)(a - b) 约掉 (a - b) 有 b = a + b 然而 a = b ，因此 b = b + b ， 也即 b = 2b 。约掉 b ，得 1 = 2 这个证明的问题所在想必大家都已经很清楚了：等号两边是不能同时除以 a - b 的，因为我们假设了 a = b ，也就是说 a - b 是等于 0 的。 应该是属于第三类问题吧

  8. 无穷所引发的问题 e.g.无穷站公车上下人的问题… e.g.同样的戏法可以变出更多不可思议的东西。 例如，令 x = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … 则有：2x = 2 + 4 + 8 + 16 + … 于是：2x - x = x = (2 + 4 + 8 + 16 + …) - (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) = -1 也就是说：1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = -1 无穷和有限是两个完全不一样的概念。。。

  9. 复数才是王道 考虑方程 x^2 + x + 1 = 0 移项有 x^2 = - x - 1 等式两边同时除以 x (x不等于0) ， 有 x = - 1 - 1/x 把上式代入原式中， x^2 + (-1 - 1/x) +1=0 即x^2 - 1/x = 0 即 x^3 = 1 也就是说 x = 1。 把 x = 1 代回原式，得到 1^2 + 1 + 1 = 0 也就是说， 3 = 0 其实，x = 1不是方程 x^2 + x + 1 = 0 的解 在实数范围内，方程 x^2 + x + 1 = 0 是没有解的但在复数范围内有两个解。 另一方面，x = 1只是 x^3 = 1 的其中一个解。 x^3 = 1 其实一共有三个解，只不过另外两个解是复数范围内的。 考虑方程 x^3 -1=(x - 1)(x^2 + x + 1) =0，容易看出 x^3 = 1 的两个复数解正好就是 x^2 + x + 1 的两个解。 因此， x^2 + x + 1 = 0 与 x^3 = 1 同时成立并无矛盾。 引入复数，这个谬论有了一个完整而漂亮的解释。或许这说明引入复数概念的必要性。

  10. 这里插入一个比较有喜感的例子 众所周知， 1+2+3+ … +n=n(n+1)/2 让我们用n-1去替换n，可得 1+2+3+ … +(n-1)=(n-1)n/2 等式两边同时加 1 ，得： 1+2+3+ … +n=(n-1)n/2+1 也就是 n(n+1)/2=(n-1)n/2+1 展开后有 n^2/2+n/2=n^2/2-n/2+1 那么，n=1是这个方程的唯一解 也就是说 1+2+3+ … +n = n(n+1)/2 仅在 n = 1 时才成立！ 其实这个推理过程中出现了一个非常隐蔽而搞笑的错误。 等式两边同时加 1 后，等式左边得到的应该是 1+2+3+ … +(n-2)+(n-1)+1=…

  11. 数归法的两个小问题 2.证明所有正整数都相等 为了证明这一点，只需要说明对于任意两个正整数 a 、 b ，都有 a = b 。 为了证明这一点，只需要说明对于所有正整数 n ，若 max(a, b) = n ，那么 a = b 我们对 n 施归纳。 当 n = 1 时，由于 a 、 b 都是正整数，因此 a 、 b 必须都等于 1 ，所以说 a = b 。若当 n = k 时命题也成立，现在假设 max(a, b) = k+1，则max(a - 1, b - 1) = k 由归纳假设知 a - 1 = b - 1 ，即 a = b 。 1.下面这个“证明”是由数学家 George Pólya 给出的： 任意给定 n 匹马，可以证明这 n 匹马的颜色都相同 对 n 施归纳： 首先，当 n = 1 时命题显然成立若命题对 n = k 成立， 则考虑 n = k + 1 的情形： 由于 {#1, #2, …, #k} 这 k 匹马的颜色相同 {#2, #3, …, #k+1 } 这 k 匹马也相同，而这两组马是有重叠的，可知这 k+1 匹马的颜色也都相同了。 1.这个证明错在，从 n = 1 推不出 n = 2 ，虽然当 n 更大的时候，这个归纳是正确的。 这是数学归纳法出错的一个比较奇特的例子：基础情形和归纳推理都没啥问题，偏偏卡在归纳过程中的某一步上。 2.这个问题出在， a - 1 或者 b - 1 有可能不是正整数了，因此不能套用归纳假设。

  12. 我们再来看几个几何问题 所有三角形都是等腰三角形 画一个任意三角形ABC。下面我将证明，AB = AC ，从而说明所有三角形都是等腰三角形。 令 BC 的中垂线与∠A的角平分线交于点P。 过P作AB、AC 的垂线，垂足分别是E、F。 由于AP是角平分线，因此P到两边的距离相等即PE=PF，可知△APE≌△APF。 由于DP是中垂线，因此P到B、C的距离相等，可知△BPD≌△CPD。 另外，由于PE=PF，PB=PC，且∠BEP=∠CFP = 90°，可知△BEP≌△CFP。 现在，由第一对全等三角形知AE=AF，由最后一对全等三角形知BE=CF，因此AE+BE=AF+CF 即 AB = AC 。

  13. 这个证明过程其实字字据理，并无破绽。证明的问题出在一个你完全没有意识到的地方——这个图形就是错的！这个证明过程其实字字据理，并无破绽。证明的问题出在一个你完全没有意识到的地方——这个图形就是错的！ 事实上， BC 的中垂线与 ∠A 的角平分线不可能交于三角形的内部。我们可以证明， P 点总是落在 △ABC 的外接圆上。如图， P 是 BC 的中垂线与外接圆的交点，显然 P 就是弧 BC 的中点，即弧 BP = 弧 PC 。因此， ∠BAP = ∠CAP ，换句话说 P 恰好就在 ∠A 的角平分线上。 P 在 △ABC 外的话，会对我们的证明产生什么影响呢？你会发现，垂足的位置发生了本质上的变化—— F 跑到 AC 外面去了！也就是说，结论 AE + BE = AF + CF 并不错，只是 AF + CF 并不等于 AC 罢了。

  14. 一个勾股定理证明的逻辑错误 下面这个勾股定理的“证明”曾经发表在 1896 年的 The American Mathematical Monthly 杂志上： 假设勾股定理是正确的，于是我们可以得到 AB^2 = AC^2 + BC^2 BC^2 = CD^2 + BD^2 AC^2 = AD^2 + CD^2 把后两式代入第一个式子，有 AB^2 = AD^2 + 2•CD^2 + BD^2 但 CD^2 = AD•BD ，因此 AB^2 = AD^2 + 2•AD•BD + BD^2 即 AB^2 = (AD + BD)^2 即 AB = AD + BD 而这显然成立。 因此，我们的假设也是成立的。 但是，这个看似没有逻辑问题的证明确实错误的！ 假设结论正确，推出一个矛盾，确实能说明这个假设是错误的（这就是反证法）；但假设结论正确，推出它与条件吻合，这却并不能说明假设真的就是正确的。 错误的假设也有可能推出正确的结果来。最经典的例子就是，不妨假设 1 = 2 ，由等式的对称性可知 2 = 1 ，等量加等量有 1+2 = 2+1 ，即 3 = 3 。但 3 = 3 是对的并不能表明 1 = 2 是对的。

  15. 关于链式法则 链式法则也出错？ 定义 f(x, y) := (x + y)^2 ， 然后令 x = u - v ，令 y = u + v 。我们有： ∂f/∂x = ∂f/∂y = 2(x + y) ∂x/∂v = -1 ∂y/∂v = +1 根据链式法则，有 ∂f/∂v = (∂f/∂x)•(∂x/∂v) + (∂f/∂y)•(∂y/∂v) = 2(x + y)•(-1) + 2(x + y)•(1)= 0 但是， f(u, v) = (u + v)^2 ，因此 ∂f/∂v = 2(u + v) = 2y 。这岂不是说明 y = 0 了么？但是，条件里并没有什么地方规定 y = 0 呀？这怎么回事？ 问题出在，整个推理过程把两个不同的函数都用 f 来表示了。事实上，一个函数是 f(x, y) := (x + y)^2，另一个函数是 F(u, v) = f(u - v, u + v) = (2u)^2 。链式法则求的并不是 ∂f/∂v ，而是 ∂F/∂v 。

  16. 这个也是悖论吗？ 不定积分的困惑 试用分部积分法求解∫(1/x)dx 令 u = 1/x ， dv = dx du = -1/x^2 dx ， v = x 于是 ∫ (1/x) dx = (1/x)x - ∫x(-1/x^2) dx = 1 + ∫ (1/x) dx 这是怎么回事？ 其实，不怎么回事。 这个等式是成立的。 因为，不定积分的最后结果要加上一个常数 C 。

  17. 似乎漏掉了什么… 很多 Goldbach 猜想、孪生素数猜想的“证明”都栽在了下面这个有时候很不容易注意到漏洞。 让我们来证明一个看上去有些不可思议的结论： π^e 是一个有理数。 首先，对任意有理数r ，logπ(r) 都是无理数，否则令 s = logπ(r) ，我们就有 π^s = r ，这与 π 是超越数矛盾。 现在，假设 π^e 是无理数，也就是说对任意有理数 r π^e 都不等于 r 。这也就是说，对任意一个 r ， logn(π^e) 都不等于 logπ(r) 。由前面的结论， logπ( (π^e) 就不等于任意一个无理数。但 logπ(π^e) 是等于 e 的，这与 e 的无理性矛盾了。因此，我们的假设是错的—— π^e 是一个有理数。 当然，这个证明是有问题的。 对于有理数 r ，logπ(r) 确实是无理数；但注意，遍历所有的有理数 r ，并不能让 logπ(r) 遍历所有的无理数，而 e 正好就等于某个漏掉的无理数。 不过，也不要想当然地认为， π^e 当然是一个无理数。目前为止， π^e 是否有理还是一个谜。

  18. 据我们所知，数学史上的三次危机都是由数学悖论引起的。我们在这里就不一一赘述了。 其实时至今日，第三次数学危机还不能说已从根本上消除了，因为数学基础和数理逻辑的许多重要课题还未能从根本上得到解决。然而，我们却并未放弃，这不弃正推动者历史与文化的前行。 在这个过程中，我们或许还会遇到更多的，类似的让人“无法解释”的“有悖逻辑的合理性”，但在这探索中，我们正向根本解决的目标逐渐接近，并同时体会着数学文化的博大精深与魅力值所在。

  19. 谢谢观看！

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