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§4 - 2 布洛赫( Bloch )定理. 求晶体中的电子态,要解定态薛定谔方程 2 ( k , r ) + E - V( r ) ( k , r ) = 0. 其中势能函数 V( r ) 具有晶格周期性,即 V(r) = V ( r + R n ) = V ( r +n 1 a 1 +n 2 a 2 +n 3 a 3 ). 一.布洛赫定理. 晶体中的电子波函数是按照晶格周期性进行的调幅平面波. 即(以一维为例) ( k ,x )= u ( k , x ) e ikx 其中 u ( k , x )= u ( k ,x+na )
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§4-2布洛赫(Bloch)定理 求晶体中的电子态,要解定态薛定谔方程 2(k,r)+E -V(r)(k,r)=0 其中势能函数V(r)具有晶格周期性,即 V(r)=V(r+Rn) =V(r+n1a1+n2a2+n3a3)
一.布洛赫定理 晶体中的电子波函数是按照晶格周期性进行的调幅平面波. 即(以一维为例) (k ,x)=u(k,x)eikx 其中 u(k,x)=u(k ,x+na) 晶体中的电子波又称为Bloch波。
讨论: 1.电子出现的几率具有正晶格的周期性。 ∣(k ,x)∣2=∣u(k,x)∣2 ∣(k ,x+na)∣2=∣u(k ,x+na)∣2 ∵ u(k,x)= u(k ,x+na) ∴∣(k ,x)∣2=∣(k ,x+na)∣2
2. 布洛赫定理的另一种表示 (k ,x+na)=(k ,x)eikna
证明: ∵ (k ,x)=u(k,x)eikx u(k,x)=u(k ,x+na) 得:u(k,x)=(k,x)e-ikx (A) u(k ,x+na)=(k ,x+na)e-ik(x+na) = e-ikx [e-ikna(k ,x+na)] (B) 以上证明各步均可逆,故Bloch定理的两种表示等价。 比较(A)(B)二式,左右分别相等 ∴ (k ,x+na)=(k ,x)eikna
(k ,x+na)=u(k,x+na)eik(x+na) = u(k,x+na)eikx× eikna = u(k,x)eikx× eikna = (k ,x)eikna 而一般情况下 ∵ k不是倒格矢 eikna≠1 3.函数(k ,x)本身并不具有正晶格的周期性。 ∴ (k ,x+na)≠ (k ,x)
(k ,x+na)≠ (k ,x) ∣(k ,x)∣2=∣(k ,x+na)∣2 讨论:波函数的物理意义
二.Bloch 定理的证明 1.由于势能函数V(x)具有晶格周期性,适当选取势能零点,它可以作如下的付里叶级数展开:
说明: ∴ (1)
2.将待求的波函数ψ(r)向动量本征态――平面波eik•x展开2.将待求的波函数ψ(r)向动量本征态――平面波eik•x展开 (2) 求和是对所有满足波恩-卡曼边界条件的波矢k’进行的。(讨论)
将(1)式和(2)式 代入薛定谔方程 2(k,x)+E -V(x)(k, x)=0
得: (3)
将此式两边乘e-ik.x,然后对整个晶体积分。并利用平面波的正交归一性将此式两边乘e-ik.x,然后对整个晶体积分。并利用平面波的正交归一性 得到
利用δ函数的性质,得(4)式 该方程实际上是 动量表象中的薛定谔方程,称作中心方程。
K态与其相差不是一个倒格矢的态之间无耦合 方程(4)说明,与K态系数C(K)的值有关的态是与K态相差任意倒格矢Gn的态的系数C(K-Gn)…….与K相差不是一个倒格矢的态不进入方程(4)。 该结论也应适用于波函数 (k,x)。
因此波函数 应当可写成
与Bloch定理比较(k ,x)=u(k,x)eikx需证明 =u(K,x+na) ∵Gh·Rn=2m, 一维情况Rn=na, Ghna=2m
三. 布洛赫定理的一些重要推论 (1)K态和K+Gh态是相同的状态,这就是说: (A)(K+Gh,r)= (K,r) (B)E(K+Gh)=E(K) 下面分别证明之。 ∵ (k ,x) 求和遍取所有允许的倒格矢
令G‘n-Gn=Gn’’,则 因为求和也是遍取所有允许的倒格矢 即相差任意倒格矢的状态等价。
由薛定谔方程 (k,r)=E(k)(k,r) 与 等价 ∴ E(k)=E(k+Gn) 可见,在波矢空间,布洛赫电子态具有倒格子周期性,为了使波矢K和状态一一对应,通常限制k在第一B.Z.内变化。 第一B.Z.内的波矢又叫简约波矢。
(2)E(k)=E(-k) 即能带具有k=0的中心反演对称性。 (3)E(k)具有与正晶格相同的对 称性。