סידרת פיבונאצ'י

1. סידרת פיבונאצ'י חלק א' - המתמטי האם אלהים למד מתמטיקה אצל פיבונאצ'י ?? (C) אין לשנות, להוסיף או למחוק כל פרט במצגת זו. מעשה כזה ייחשב כעבירה על חוק זכויות יוצרים.

2. ניתוח duba@isdn.net.il www.geology-israel.co.il

3. לפני כ 15 שנים ערכתי תערוכה בשם: "האם אלהים למד מתמטיקה אצל פיבונאצ'י". התערוכה הכילה כ 400 תמונות, שהיו מחולקות ל 3 קטגוריות: החלק המתמטי החלק הדן בחי, צומח ודומם , המסודר לפי הסידרה. החלק שהראה את השפעת הסידרה על התרבות (בנייה, פיסול וציור). לאחר שהרציתי פעמים לא מעטות על הסידרה הזו, קיבלתי בקשות רבות מידידים, להכין מצגת על הסידרה. החלטתי לחלק את הנושא ל 3 מצגות, לפי רוח התערוכה. החלק הזה נוגע למתמטיקה של הסידרה המופלאה הזו, ולתכונות הייחודיות שלה (שאין בשום סידרה מתמטית אחרת). נמנעתי , לחלוטין, להכניס נוסחאות כלשהן למצגת, והיא מראה רק עובדות בלבד.

4. ליאונרדו מפיזה, או בכינויו הידוע "פיבונאצ'י" נולד בשנת 1170 ונפטר ב 1250. כבנו של נציג פיזה בצפון אפריקה, למד חשבון אצל הערבים, והיה האירופי הראשון שהבין את חשיבות שיטת החישוב העשרונית, עבור המיסחר (כולל השימוש במיספר 0. עד הזמן ההוא השתמשו באירופה בספרות רומיות.....,אבל נסו לעשות את הפעולה החשבונית הבאה: MLIIX לחלק ל LVII בשנת 1202 פרסם את ספרו המתמטי הראשון, שבו הציג את השיטה העשרונית [[ אגב: הוא לא היה הראשון – אברהם אבן עזרא כתב כבר ספר (בעברית !) אודות השיטה הזאת , לפניו ]]. הכנסת הספרה 0 לאירופה לוותה בהתנגדות עזה של הכנסייה שראתה בספרה 0 את התגלמות השטן, שהרי אלהים הוא "האיחוד" המוחלט , או הספרה 1. אבל בלחץ הסוחרים האירופים שהבחינו מיד בתועלת המעשית של עשיית חישובים בשיטה העשרונית, הוכנסה השיטה לאירופה. פיבונאצ'י הגדיר סידרת מיספרים ייחודית (אודותיה נעשתה מצגת זו), והיא נקראת על שמו – "סידרת פיבונאצ'י". פסל פיבונאצ'י בפיזה

5. בשנת 1202 בדק פיבונאצ'י את האפשרות לחשב כמה ארנבות יהיו בכל דור, כאשר בכל דור נולד זוג, אשר מתחיל להתרבות רק לאחר דור נוסף (ובתנאי שאף ארנבת לא תמות בינתיים). להפתעתו גילה כי בכל דור יהיה מספר הארנבות שווה לסכום הארנבות בשני הדורות הקודמים. ומכאן הסידרה הקרוייה על שמו – "סידרת פיבונאצ'י". השם ניתן לסידרה ע"י המתמטיקאי הצרפתי אדוארד לוקאס (נולד ב 1842 ונפטר ב 1891), שר גם על שמו יש סידרה בעלת תכונות כמעט דומות. "סידרת פיבונאצ'י" בעלת תכונות מיוחדות וייחודיות, שאין לשום סידרה אחרת, והיא , למעשה "חובקת" את כל מעשי הטבע.

6. כל שורה = דור נוסף לארנבות הסידרה (לא כולה, כמובן) – בדף הבא.

7. סידרת פיבונאצ'י 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584............ אנו רואים מיד שכל מיספר הינו סכום שני המספרים שלפניו. הסידרה נראית פשוטה למדי....אבל היא מכילה מאות "הפתעות" שלא נוכל למצוא בשום סידרה אחרת. ראשית: אם נחלק כל מיספר בטור למיספר שלפניו, תתכנס התשובה למיספר............1.6180339887498 ואם נחלק כל מספר בטור למיספר הבא אחריו, תתכנס התשובה למיספר ...........0.6180339887498 שתי התוצאות שוות – בהפרש של יחידה שלמה אחת. נראה זאת בעמוד הבא

8. אם נחלק כל מיספר בטור למיספר שלפניו – נקבל: 1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3=1.6666, 8/5=1.6, 13/8=1.625 21/13=1.6153, 34/21=1.6190, 55/34=1.61764, 89/55=1.61818 144/89=1.617977, 233/144=1.618055, ..........1.618033988 מיספר פיבונאצ'י ואם נחלק כל מיספר בטור למיספר שאחריו – נקבל: 1/1=1, 1/2=0.5, 2/3=0.6666, 3/5=0.6, 5/8=0.625, 8/13=0.6153 13/21=0.61904, 21/34=0.61764, 34/55=0.61818, 55/89=0.61797 89/144=0.61805, 144/233=0.618025, ..........0.618033988 חיתוך הזהב

9. אבל לא רק המספריים המקוריים של סידרת פיבונאצ'י מביאים לתוצאה המפתיעה הזו: כל סידרה שתתחילו עם מיספרים אקראיים כלשהם, אם כל מיספר יהיה סכום שני המיספרים שלפניו. למשל: - נתחיל בשני מיספרים אקראיים: 32, 67, 99, 166, 265, 431 ,696, 1127, 1823, 2950, 4773, 7723 ואם נחלק את 7723 ל 4773 נקבל –..........1.6180599 ננסה להתחיל עם 2 מיספרים אחרים: 17, 87, 104, 191, 295, 486, 781, 1267, 2048, 3315, 5363 ואם נחלק את 5363 ל 3315 נקבל –...........1.6177978 ככל שנאריך את טור המיספרים התוצאה תשאף למספר פיבונאצ'י .. הוא - ......1.6180339887

10. ועוד תכונה מפליאה: בכל סידרה כזו, סכום כל 10 אברים יתחלק ל 11, והתוצאה תהיה תמיד (!!) המספר השביעי. אם ניקח את הסדרות מהדף הקודם: 32, 67, 99, 166, 265, 431 ,696, 1127, 1823, 2950, 4773, 7723 10 האברים הראשונים, למשל, מסומנים בכחול. סכומם שווה ל – 7656. סכום זה מתחלק ל 11, והתוצאה היא 696 וזה הוא המספר השביעי בטור. ================================================== ובסידרה השנייה: 17, 87, 104, 191, 295, 486, 781, 1267, 2048, 3315, 5363 כאן סכום עשרת המיספרים הראשונים שווה – 8591. סכום זה מתחלק ל 11, והתוצאה היא – 781 וזה הוא המספר השביעי בטור.

11. ועוד תכונה ייחודית: העלאה בחזקה = חיבור פשוט !!!!! 0 F F F F F F F F F F F F F F = 1 = 1.618033989 = 2.618033989 = 4.236067977 = 6.854101966 = 11.09016994 = 17.94427191 = 29.03444185 = 46.97871376 = 76.01315562 = 122.9918694 = = = שימו לב: אם מעלים את מס' פיבונאצ'י בריבוע , מקבלים את אותו המיספר בתוספת יחידה אחת !!!! ובכל העלאת המיספר בחזקה נוספת יש , פשוט, לחבר את שני הסכומים הקודמים. למשל: מס' פיבונאצ'י בחזקת 7 יהיה שווה לסכום של המספר בחזקת 6 פלוס המספר בחזקת 5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12. ועוד תכונה מעניינת: • א) כל מיספר שלישי בסידרה מתחלק ל 2: • 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181, • ב) כל מיספר רביעי בסידרה מתחלק ל 3: • 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181, • 6765,10946,17711,28657,63684,75025,121393 • ג) כל מיספר חמישי בסידרה מתחלק ל 5: • 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181 • 6765,10946,17711,28657,46368,75025,121393,196418 • ד) כל מיספר שישי בסידרה מתחלק ל 8: • 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181 • 6765,10946,17711,28657,46368,75025,121393,196418 • ה) כל מיספר שביעי בסידרה מתחלק ל 13: ... וכו' וכו'

14. בדוגמה זו כל 60 מספרים, חוזרת הסיפרה האחרונה

15. ואם נעבור עוד 60 מספרי פיבונאצ'י, נראה שוב שהסיפרה האחרונה חוזרת, באותו הסדר.

16. וכאמור , בכל 300 מיספרי פיבונאצ'י – חוזרים 2 הספרות האחרונות. הנה 15 מספרי פיבונאצ'י הראשונים: 00,01,01,02,03,05,08,13,21,34,55,89,144,233,377,610 שימו לב ששתי הספרות האחרונות במיספר פיבונאצ'י 300 והלאה זהות ל 2 הספרות האחרונות במיספרי פיבונאצ'י הראשונים:

17. כל מיספר פיבונאצ'י הגדול מ 1 [(מלבד FIB(6) ו FIB(12 )] מכיל לפחותגורם ראשוני אחד שאינו מופיע במיספרים קודמים !!!!!!!! כל מספרי פיבונאצ'י המופיעים באדום, הם בעצמם מיספרים ראשוניים.

18. "לבנת פיבונאצ'י" א ג מיספר פיבונאצ'י חיתוך הזהב ב תכונות מיוחדות • אורך הצלע הארוכה שווה לסכום שתי הצלעות הקצרות. • שטח א = P . שטח ב = 1. שטח ג = f • שטח א = שטח ב + שטח ג. • שטח הפנים של כל הלבנה = P4. • אורך האלכסון של הלבנה (A-H) = 2 (!!!) • היחס בין שטח פני הכדור המקיף את הלבנה לשטח הלבנה הוא P:Pi

19. שימוש מחוכם, לצורך פתרונות סטטיסטיים , ניתן לעשות בעזרת "משולש פאסקאל". לדוגמה: אם נרצה לבחור 3 אנשים מתוך 12 אורחים כדי לנקות את הכלים, הרי שמיספר האפשרויות לסדר 3 אורחים כאלה, הוא 220 [ ראה משבצת מודגשת]. הפתרון הוא פשוט: - יש לבחור את המיקום ה 12 בשורה מס' 3 באלכסון, לפי הקו המקוטע במשולש. המיספרים מצד ימין מופיעים כסידרת פיבונאצ'י בתוך משולש פאסקאל הם מהווים סיכום של האלכסונים במשולש (למשל התאים בצבע הירוק, או התאים בצבע הכחול ).

20. ועוד דוגמה לשימוש אפשרי בסידרת פיבונאצ'י. הבעייה: באסיפת הורים ומורים בביה"ס – יש להושיב את ההורים והמורים בכסאות. מאחר והמורים ידועים כפטפטנים – אסור להושיב שני מורים זה ליד זה (!!!). כמה אפשרויות לסידור ישיבה קיימים בכל מצב?? [[ המורים = עיגול אדום ]] הפתרון – לפי סידרת פיבונאצי !!!! – ראו התוצאות ליד החיצים

21. דוגמה לשימוש נוסף בסידרת פיבונאצ'י A • נניח שיש לנו 2 לוחות זכוכית צמודות. • אנו רוצים לדעת כמה אפשרויות יש לשבירות • שונות של האור בתוך הזכוכית. • שבירה אחת - יש 2 אפשרויות (A) • 2 שבירות - יש 3 אפשרויות (B) • 3 שבירות - יש 5 אפשרויות (C) • 4 שבירות – יש 8 אפשרויות (D) • שבירות – יש 13 אפשרויות B C וכו' וכו'....לפי הסידרה D

22. A התכונות המופלאות של המחומש והכוכב המחומש B E מספר פיבונאצ'י =Fi Fi=1.6180339887498948482……. ככל שנחסום כוכב בתוך כוכב, תמיד ישאר היחס שבין הצלעות – מס' פיבונאצ'י. C D Fi =AB/AH = AH/HJ = HJ/HP = HP/PL

23. (מסומן באדום) משולשים פיתגוריים אמיתיים אנך 1 = 2XB(A+B) אנך 2 =A(A+2B) למשל: A = 2 , B = 3 אנך 1 = 2X3(2+3) = 6X5 = 30 אנך 2 = 2(2+(2X3)) = 2X8 = 16 והיתר בריבוע = לאנך 1 בריבוע + אנך 2 בריבוע היתר בריבוע = 900+256 = 1156 לכן , היתר = 34

24. ריבוע לפי מספרי פיבונאצ'י סה"כ שטח הריבועים, הבנויים על מספרי פיבונאצ'י = לאורך הצלע הגדולה (13) כפול מיספר פיבונאצ'י הבא אחריו. (למעלה: 13X21) ובצורה כללית: = 34X55

26. סוגי הספיראליות המתמטיות 3 2 1 4 5 6

27. לספרות של המיספר המקורי.

28. מס' פיבונאצ'י חתך הזהב המשך מס' פיבונאצ'י חתך הזהב ככל שאנו עולים בסידרה, ערכי מס' פיבונאצי (הטור משמאל) מתקרבים יותר ויותר לערכי "חתך הזהב" (הטור מימין) מינוס יחידה אחת.

29. המדען FECHNER הראה ,למאות צופים, מרובעים ביחסים שונים (ראו למעלה), וביקש מהם לציין את המרובע הנראה להם כאסתטי ביותר. מימין אנו רואים את התוצאות שקיבל. המרובע שקיבל את מירב הקולות( 35%) , הוא המרובע בעל יחס הצלעות הקרוב ביותר לחתך הזהב.

30. מלבן הזהב מלבן א א. נבנה מלבן ( מלבן א ) שבו: a/b = 1.618033988 ב. מאמצע צלע a נחוג חצי מעגל מנקודה A ל B. ג. מאמצע צלע b נחוג חצי מעגל מנקודה B ל C. ד. נחבר בקו את C ל S. ה. נחבר בקו את A ל S. נעבור למלבן ב ו. נחבר את B ל S ז. זוית CSB היא זוית ישרה (היא זוית של משולש שבסיסו קוטר של מעגל וקודקודו בנקודה על ההקף.) ח. גם זוית ASB היא זוית ישרה (מאותה סיבה). ט. מכאן שהקו AC הוא קו ישר (והוא האלכסון של המלבן. מלבן ב מימצאים: d/f = Fib = 1.618033988 e/d = Fib = 1.618033988

31. היכן הריבוע החסר??? שני המשולשים בנויים מאותם החלקים. אבל שטח המשולש התחתון קטן ביחידה !!! = 65 5X13 מדוע ?? =64

32. ומה קרה כאן?? שני השטחים בנויים מאותם החלקים בדיוק. 1 2 א ג א ד ב ב ג ד 5X13 = 65 8X8 = 64 ומה הקשר לסידרת פיבונאצ'י ??

33. משולש הזהב א ב א. נבנה משולש שווה שוקיים, אשר זוית הראש שלו תהיה 36 מעלות. במשולש הזה – כל זוית בין הבסיס לשוק תהיה 72 מעלות. ב. אם במשולש הזה יהיה אורך השוק (AB) = 1, הרי שאורך הבסיס BC יהיה "חתך הזהב" BC (X) = 0.61803398 ג. נחצה את זוית <ABC עד נקודה D. ד. מאחר ומשולש ABC, ומשולש BCD הם "משולשים דומים" (זוית הראש שווה, וזויות השוקיים שוות), הרי שגם היחס בין הקטעים DC/BC יהיה שווה ל 0.61803398. ה. מאחר וקטע BD שווה לקטע AD (X) (כי גם המשולש ABD הוא "שווה שוקיים"), הרי שגם היחס CD/AD יהיה שווה ל 0.61803398 ו. גם אם נמשיך לחצות את הזויות של 72 מעלות שתיווצרנה בתוך המשולשים הפנימיים (למשל במשולש BCD ), נמשיך לקבל את היחסים של "חתך הזהב" לאין-סוף (ראו המשולש ג') ומתוך משולש זה (כמו ממלבן הזהב) ניתן לקבל את הספיראלה של פיבונאצ'י (ראו בדף הבא). ג

34. קבלת "הספיראלה של פיבונאצ'י) מתוך "משולש הזהב" ו – "מלבן הזהב".

35. היחס שבין "משולש הזהב" לבין "הכוכב המופלא" שימו לב שהמספרים העוקבים של סידרת פיבונאצ'י : 34,55,89,144 חוזרים פעמים רבות (לא סימנתי את כולם). כמה "משולשי זהב" תוכלו למצוא בכוכב? [[תוכלו למצוא 20? ]]

36. יש עוד מאות אפליקציות מתמטיות שניתן לפתור בעזרת הסידרה המופלאה הזו, אבל זה לא במסגרת של מצגת. בחלק הבא – כיצד סידרת פיבונאצי "מסדרת" את עולם החי, הצומח והדומם. או: האם אלהים "אירגן" את האבולוציה לפי סידרת פיבונאצ'י ? [[ התשובה היא כן !!! ]]

37. חלק א' (המתמטי)