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数学必修⑤ 《 数列 》 单元总结复习

数学必修⑤ 《 数列 》 单元总结复习. 江门市杜阮华侨中学 杨清孟. 关系式. 一、知识回顾. 等 差 数 列. 等 比 数 列. 定 义. 通 项. 通项推广. 中 项. 性 质. 仍成等差. 仍成等比. 求和公式. 适用所有数列. 析：设这三个数为. 则. 二、知识应用. Ⅰ 、等差、等比数列的设法及应用. 1. 三个数成等差数列可设为. 根据具体问题的不同特点而选择不同设法。. 或者 ，. 2. 三个数成等比数列，则这三个数可设为 ，也可以设为.

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数学必修⑤ 《 数列 》 单元总结复习

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  1. 数学必修⑤《数列》 单元总结复习 江门市杜阮华侨中学 杨清孟

  2. 关系式 一、知识回顾 等 差 数 列 等 比 数 列 定 义 通 项 通项推广 中 项 性 质 仍成等差 仍成等比 求和公式 适用所有数列

  3. 析：设这三个数为 则 二、知识应用 Ⅰ 、等差、等比数列的设法及应用 1.三个数成等差数列可设为 根据具体问题的不同特点而选择不同设法。 或者 ， 2. 三个数成等比数列，则这三个数可设为 ，也可以设为 例1(1). 已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数. 解得x＝5，d＝ ±2. ∴所求三个数分别为3，5，7 或7，5，3.

  4. 例1(2)：互不相等的三个数之积为 ，这三个数适当排列后可成为等比数列也可排成等差数列，求这三数排成的等差数列. （1）若 的等差中项，则 （2）若 的等差中项，则 即： 或 或 （3）若 的等差中项，则 三个数为 三个数为 即： 设这三个数为， 则 即： 即： 综上：这三数排成的等差数列为: 与已知三数不等矛盾

  5. Ⅱ 、运用等差、等比数列的性质 例2（1）已知等差数列 满足 ，则 ( ) C （2）已知等差数列 前 项和为30，前 项和为100，则前 项和为 ( ) C （3）已知在等差数列{an}的前n项中，前四项之和为21，后四项之和为67，前n项之和为286，试求数列的项数n. 析：

  6. 即： 由于 Ⅲ、等差数列的最值问题 例3.等差数列｛an｝中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小? 如果等差数列｛an｝由负数递增到正数，或者由正数递减到负数，那么前n项和Sn有如下性质： 分析: １．当a1＜0,d＞0时, ２．当a1＞0,d＜0时, 思路1：寻求通项 易知 ∴n取10或11时Sn取最小值

  7. 即： 例３.等差数列｛an｝中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项的和最小? 分析: 等差数列｛an｝的通项an是关于n的一次式,前项和Sn是关于n的二次式(缺常数项).求等差数列的前n项和 Sn的最大最小值可用解决二次函数的最值问题的方法. 思路2：从函数的角度来分析数列问题. 设等差数列｛an｝的公差为d,则由题意得: ∵a1<0, ∴ d>0, ∵d>0, ∴Sn有最小值. 又∵n∈N*, ∴n=10或n=11时,Sn取最小值

  8. 令 例3.等差数列｛an｝中,a1<0,S9=S12,该数列前多少项和最小? 分析:数列的图象是一群孤立的点,数列前 n项和Sn的图象也是一群孤立的点.此题等差数列前n项和Sn的图象是在抛物线上一群孤立的点.求Sn的最大最小值即要求距离对称轴最近的正整数n. 思路3：函数图像、数形结合 Sn 过原点抛物线 又S1=a1<0, 故开口向上 10.5 所以Sn有最小值 o n 因为S9=S12, 所以Sn的图象所在的抛物线的 对称轴为直线n=(9+12) ÷2=10.5, n= ∴数列｛an｝的前10项或前11项和最小 类比:二次函数f(x),若 f(9)=f(12),则函数f(x)图象的对称轴为 直线x=(9+12) ÷2=10.5 若f(x+2)=f(2-x),则函数f(x)图象的对称轴为 直线x=2

  9. 例4 已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，又a1＝b1 ＝1，a2b2＝2，a3 b3 = ． (1) 求数列{an}及数列{bn}的通项公式； (2) 设cn=anbn求数列{cn}的前n项和Sn 设等差数列 {an} 的公差为d,等比数列 {bn} 的公比为 ，则由题意得 Ⅳ 、等差、等比数列的综合应用 解析： 通项特征： 由等差数列通项与等比数列通项相乘而得 求和方法： 错位相减法——错项法

  10. 解析： 错位相减法 两式相减：

  11. 三、基础练习 1.观察数列:30,37,32,35,34,33,36,（ ）,38的特点,在括号内适当的一个数是______ 31 9 2.在等比数列中,a4+a6=3,则a5(a3+2a5+a7)=_____ 3. 在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则 2a10-a12的值为 （ ） A.20 B.22 C.24 D.28 C 4.已知数列{an}中,a1=1,并且3an+1-3an=1,则a301= （ ） A.100 B.101 C.102 D.103 B 5.若｛an}是等比数列，且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那 么a3+a5的值等于 （ ） A A.5 B.1 C.15 D.10

  12. 9.数列{bn}中,b1+b2+b3= ,b1b2b3= ,若{an}是等差数 列,且bn= ,求{an}的通项公式 三、基础练习 6.等差数列{an}中,已知前4项和是1,前8项和是4,则 a17+a18+a19+a20的值等于 ( ) C A.7 B.8 C.9 D.10 7.首项为-24的等差数列从第10项开始为正数,求公差为d的取值范围 8.在数列{an}中,a1=3,an+1=an+3n(n≥1),求此数列的通项公式

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