ТЕОРИЯ РЯДОВ

1. ТЕОРИЯ РЯДОВ

2. 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

3. 3.5. Ряды Тейлора и Маклорена. Формула Тейлора: где остаточный член в форме Лагранжа.

4. Если функция f(x)- бесконечно дифференцируемая в окрестности точки х0 (имеет производные любых порядков) и остаточный член Rn(x)→0 при n→∞, то ряд называется рядом Тейлора (разложение f(x) по степеням x−x0)

5. Если x0=0, то получим разложение f(x) по степеням х−ряд Маклорена: Т.е. ряд Тейлора (Маклорена) представляет данную функцию f(x) тогда и только тогда, когда

6. Если же , то ряд не представляет данной функции, хотя может и сходиться (к другой функции) или даже оказаться расходящимся. Т.о. вопрос о разложении функции в ряд Тейлора (Маклорена) сводится к исследованию поведения остаточного члена Rn(x) при n→∞. На практике часто пользуются следующей теоремой, которая дает простое достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора (Маклорена):

7. Если модули всех производных функций f(x) ограничены в окрестности точки x0 одним и тем же числом М>0, то для любого х из этой окрестности ряд Тейлора (Маклорена) функции f(x) сходится к функции f(x), т.е. имеет место разложение Теорема (*).

8. 3.6. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена Для разложения функции f(x) в ряд Маклорена нужно: 1) найти производные 2) вычислить значения производных в точке х=0; 3) написать ряд Маклорена для заданной функции и найти его интервал сходимости;

9. 4) найти интервал (−R;R) , в котором остаточный член ряда Маклорена Rn(x)→0 при n→∞. Если такой интервал существует, то в нем функция f(x) и сумма ряда Маклорена совпадают.

10. Таблица, содержащая разложения в ряд Маклорена некоторых функций.

13. Пример 1 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

14. Решение 2) Найдем значения производных в точке х=0: 1) Найдем производные:

15. 3) Напишем ряд Маклорена и найдем его интервал сходимости: т.е. ряд сходится в интервале (−∞;+∞)

16. 4) Для всех имеем: т.е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом Следовательно , по теореме (*) Таким образом

17. Пример 2 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

18. Решение 1) Найдем производные:

19. 2) Найдем значения производных в точке х=0:

20. 3) Напишем ряд Маклорена и найдем его интервал сходимости: Легко проверить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т.е при всех (используем признак Даламбера, т.к. ряд неполный)

21. 4) Для всех имеем: т.е. любая производная функции по модулю не превосходит единицы. Следовательно , по теореме (*) Таким образом имеет место разложение

22. Метод разложения функций в степенной ряд может быть применен к произвольной функции. Однако в отдельных случаях вычисления и обоснование сходимости могут оказаться очень громоздкими. Разложение некоторых функций в ряд Маклорена можно получить, выполняя те или иные преобразования (сложение, вычитание, умножение, дифференцирование и интегрирование) над имеющимися разложениями .

23. Пример 3 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

24. Решение Можно получить разложение cosx, воспользовавшись свойствами степенных рядов: Продифференцируем почленно ряд:

25. Получим ряд, который будет сходиться при том же условии: или

26. Пример 4 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

27. Решение Формула может быть доказана разными способами. Воспользуемся следующим разложением: Разложим в степенной ряд функцию:

28. Используя свойства степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке или (Можно показать, что это равенство справедливо и для х=1)

29. Пример 5 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

30. Решение Воспользуемся следующим разложением: (см. пример 4) Заменим х на х2:

31. Используя свойства степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке или (Можно показать, что это равенство справедливо и для х=∓1, т.е. при )

32. Пример 6 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

33. Решение Воспользуемся следующим разложением: Разложим в степенной ряд функцию, заменив х на −х2:

34. Используя свойства степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке или (Можно показать, что это равенство справедливо и для х=∓1, т.е. при )

35. Пример 7 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

36. Решение Воспользуемся следующим разложением: Вместо х подставим −х2:

37. Пример 8 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

38. Решение Имеем Воспользуемся следующим разложением: Вместо х подставим 2х:

39. Таким образом:

40. Пример 9 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

41. Решение Имеем Воспользуемся следующим разложением: Вместо х подставим −х:

42. Получаем: Т.о. Очевидно, что ряд сходится в интервале

43. Пример 10 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

44. Решение Имеем Воспользуемся следующим разложением: Вместо х подставим х‧ln3:

45. Пример 11 Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

46. Решение Воспользуемся следующим разложением: Разложим в степенной ряд функцию:

47. Таким образом:

48. В ряде случаев рассматриваются степенные ряды более общего вида: который приводится к виду заменой х−х0=t