土力学

1. 土力学 主讲：张彦辉 专业：建筑工程

2. 第二章 土体应力计算

3. 本章主要内容 2.1 概述 2.2 土的自重应力 2.3 自重应力系 有效应力原理 2.4 基底接触应力分布及简化计算 2.5 地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 2.6 地基中的附加应力—平面问题的解及其应用 2.7 非均质和各向异性地基中的附加应力 2.8 其他条件下地基中的应力计算

4. 掌握： 1.土中的应力状态及土中应力的研究方法; 2.土中的自重应力，基底压力与基底附加压力的概念； 3.土中自重应力、基底接触应力和地基附加应力的计算。 学习要求

5. 在地基上建造建筑物，基础将上部荷载传给地基，使地基中的应力发生变化从而引起地基变形，使建筑物产生沉降和沉降差。若应力的变化不大引起的变形是建筑物允许的，则不会产生危害；若外载荷在土中引起的应力过大，可能产生结构所不允许的变形或造成地基失稳而破坏。因此研究土体中的应力是研究地基变形与地基失稳的基础。 建筑地基基础设计时，必须将强度、变形控制在允许的范围内，为此，基础设计时首先要计算地基应力。 § 2.1 概 述

6. 概 述

7. F 基础 地基 G 主要受力层 持力层（受力层） 下卧层 支承建筑物荷载的土层称为地基 概 述 与建筑物基础底面直接接触的土层称为持力层 将持力层下面的土层称为下卧层

8. Z X Y 概 述 土力学中应力符号规定 法向应力：压为正，拉为负 剪应力： 剪应力作用面上外法线n与坐标轴方向一致， 剪应力方向与坐标轴一致：负 剪应力方向与坐标轴相反：正 剪应力作用面上外法线n与坐标轴方向相反， 剪应力方向与坐标轴一致：正 剪应力方向与坐标轴相反：负

9. 概 述 土力学中应力符号的规定 正应力 剪应力 + - 拉为正 压为负 顺时针为正 逆时针为负 材料力学 + - 逆时针为正 顺时针为负 压为正 拉为负 土力学

10. F 基础 地基 G 主要受力层 持力层 下卧层 概 述 建筑物修建之前已经存在，也称为初始应力 土中的应力分为两种： 自重应力——由土体自身重量所产生的应力。 附加应力——由外荷（静的或动的）引起的土中应力。 建筑物修建之后的在自重应力基础上增加的应力 基础结构的外荷载 基底反力 基底压力 附加应力 地基沉降变形

11. 地面 Z § 2.2 土的自重应力 1、竖向自重应力 单位面积上土柱的重量 式中： 为土的天然重度，kN/m3;z为土柱的高度，即计算应力点以上土层的厚度，m。

12. 土的自重应力 地面 z 式中： 为土的有效重度，kN/m3;z为土柱的高度，即计算应力点以上土层的厚度，m。 地下水位以下的土：

13. 土的自重应力 地面 h1 h2 h3 地下水位以下，用有效重度；不同土层的重量可以叠加

14. 土的自重应力 分布规律 • 自重应力在等容重地基中随深度呈直线分布； • 自重应力在成层地基中呈折线分布； • 在土层分界面处和地下水位处发生转折。 成层地基 均质地基

15. 土的自重应力 2、水平自重应力 cz 无侧向变形（有侧限）条件下： cx cy 根据弹性力学中广义虎克定律： K0——土的侧压力系数，它是土体在侧限条件下水平有效应力与竖向有效应力之比， K0与土层的应力历史及土的类型有关。见表3.2.1，对一般地基K0 ＝0.5左右。

16. 3、土坝的自重应力 对于中小型坝，可以采用简化计算，即：忽略土体中剪应力的作用，认为土柱间相互独立，也就是任一点的自重应力等于其上部土柱的重量σc =γH。 对于重要的土坝要进行有限元分析。 土的自重应力

17. 土的自重应力 例：某地基土由四层土组成厚度与容重如图，试计算每土层接触面处的竖向自重应力并画出应力曲线。 O h =2.5m 1 1 1 h =2.0m 2 2 2 h =1.5m 3 3 3 h =2.0m 4 4 4 Z

18. 土的自重应力 1-1面 2-2面 3-3面 4-4面

19. 土的自重应力

22. 地下水位下降，会引起原地下水位以地基土中的总应力，自重应力，有效应力分别怎么变化？地下水位下降，会引起原地下水位以地基土中的总应力，自重应力，有效应力分别怎么变化？ 土的自重应力

23. 土的自重应力 h1 h2 地下水位下降引起σ’增大的部分 地下水位下降会引起σ’增大，土会产生压缩，这是城市抽水引起地面沉降的一个主要原因。 u=γwh2 u=γwh2 σ’=σ-u

24. §2.4 基底接触应力及简化计算 上部结构 上部结构的自重及各种荷载都是通过基础传到地基中的。 建筑物设计 基础 地基 基底接触应力指上部结构荷载和基础自重通过基础传递，在基础底面处施加于地基上的单位面积压力

25. 基底接触应力及简化计算 影响基底接触应力分布图形的因素 • 大小 • 方向 • 分布 荷载条件 • 刚度 • 形状 • 大小 • 埋深 基础条件 地基条件 • 土类 • 密度 • 土层结构等

26. 基底接触应力及简化计算 一、基底接触应力实际分布 柔性基础：刚度较小，基底接触应力与其上的荷载大小及分布相同； 特别地，当中心受压时，基底接触应力分布为均匀分布。

27. 基底接触应力及简化计算 小荷载 小荷载 极限荷载 极限荷载 粘性土地基 砂性土地基 刚性基础：刚度较大，基底接触应力分布随上部荷载的大小、基础的埋深及土的性质而异。 当基础尺寸不太大，荷载也较小时，可假定基底压力为直线分布。

28. 基底接触应力及简化计算 P P B L B L x y 二、基底接触应力简化计算法 1、中心荷载矩形基础: F为上部结构传至基础顶面的垂直荷载，KN G为基础自重和基础台阶上的土重

29. 基底接触应力及简化计算 Fv＝P＋G b e y d c L x d c x a y b b a pmin pmax pmin pmax 2、矩形面积单向偏心荷载下的基底接触应力 当e＜L/6时，基底接触应力成梯形分布；

30. 基底接触应力及简化计算 Fv＝P＋G b e y d c L x d c x Pmin=0 a y b pmax b a Pmin=0 pmax 当e=L/6时，基底压力为三角形分布；

31. 基底接触应力及简化计算 Fv＝P＋G Fv＝P＋G b e a y y d c L Pmin<0 x x d c x x a y y b pmax Pmin<0 b a pmax pmax pmax 当e＞L/6时，基底压力pmin＜0 土不能承受拉应力 压力调整 基底压力合力与总荷载相等

32. 基底接触应力及简化计算 B ey L x ex y 3、矩形面积双向偏心荷载 Fv W为矩形底面的抗弯截面系数 （特例）

33. 基底接触应力及简化计算 三、基础底面附加应力 1、基础在地面上 基础底面附加压力即为基础底面接触应力。 2、基础在地面以下埋深为d 基底压力中扣除基底标高处原有土的自重应力，才是基础 底面下真正施加于地基的应力 式中：p0为基础底面的平均附加应力，kpa；p0为基础底面的平均接触应力，kpa； 为基地处的自重应力，kpa；d为基础埋深，m； 为基础底面以上土的加权平均重度，kpa， 。

34. 矩形面积竖直均布荷载 矩形内积分 矩形面积竖直三角形荷载 布森涅斯克解 竖直集中力 线积分 宽度积分 竖直线布荷载 条形面积竖直均布荷载 圆形面积竖直荷载 圆内积分

35. 矩形面积水平均布荷载 水平集中力 矩形内积分 三维问题（集中力、矩形荷载、圆形荷载作用下） 二维问题（线性荷载，条形荷载，三角形及梯形荷载） 一维问题（荷载均布于无限大的面积上，变形仅发生在一个方向上的，如自重应力）

36. § 2.5 地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 x o F r y  x y R z z 一、布森涅斯克解 (1) 布森涅斯克解 假定地基：半无限空间体，线性均匀各向同性的弹性材料 M

37. 地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 M(x、y、z)点的应力：

38. 地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 （3.5.3） 其中 =  (r/z)称为集中荷载作用下的应力系数具体的 值见教材p79表3.5.1

39. 3.P作用线上，r=0, ,z=0, σz→∞，z→∞，σz=0 (2)集中力作用下弹性半空间中σz的分布 1.σz应力呈轴对称分布 2.σz:τzy:τzx= z:y:x, 竖直面上合力过原点，与R同向 4.在某一水平面上z=常数，r=0, a 最大，r↑，a减小，σz减小 5.在某一圆柱面上r=常数，z=0, σz=0，z↑，σz先增加后减小

40. （3）应力泡 将半空间内σz相同的点连接起来就得到σz的等值线，如下图所示，其型如灯泡，故又称应力泡。 地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 集中力作用下σz的等值线

41. 地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 （4）叠加原理 P P 2 1 σz1 σz2 σz1 σz2 +

42. 地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 等代荷载法——基本解答的初步应用

43. 角点下的应力 以矩形荷载面任一角点为坐标原点O，如右图所示。 地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 二、矩形基底均布荷载作用下地基中的附加应力 在求地基内任一点的应力之前，先求解角点下的应力，而后用角点法计算任意点处的应力。 矩形均布荷载角点下的附加应力

44. 在OACD上积分，即得矩形均布荷载p0在M点引起的附加应力σz： c =f(m, n)叫做矩形竖直均布荷载角点下的应力分布系数。c可从教材P83表3.5.2查得。 L为长边 ，b为短边 地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 (3.5.6)

45. 地基中的附加应力—空间问题的解及其应用

46. 2. 任意点的应力—角点法 角点法：利用角点下应力计算公式和叠加原理，求地基中任意点的附加应力的方法。 地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 c b Ⅱ Ⅰ o a d c b σz = (CⅠ+CⅡ+CⅢ+CⅣ)p0 当o点位于荷载面中心时， CⅠ=CⅡ=CⅢ=CⅣ，σz = 4CⅠp0 o a d 这就是角点法计算均布矩形荷载中心点下σz的解。 Ⅲ Ⅳ ⅠⅡ σz = (CⅠ+CⅡ)p0

47. b c f Ⅱ Ⅳ h e o Ⅰ Ⅲ g a d c b e Ⅱ Ⅰ d a f Ⅲ Ⅳ o h g 此时，实际荷载面abcd等于两个大 的荷载面ogae(Ⅰ)、oebf(Ⅱ)之和 减去两个小的荷载面ogdh(Ⅲ)、 ohcf(Ⅳ)，所以： σz = (CⅠ+CⅡ-CⅢ-CⅣ)p0 此时，实际荷载面abcd等于新的大荷载面ohbe(Ⅰ)减去两个长条荷载面ogce(Ⅱ)、ohaf(Ⅲ)后，再加上公共荷载面ogdf(Ⅳ)，所以： σz =( CⅠ-CⅡ-CⅢ+CⅣ)p0

48. 地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 例题 如图所示，矩形基底长为4m、宽为2m，基础埋深为0.5m，基础两侧土的重度为18kN/m3，由上部中心荷载和基础自重计算的基底均布压力为140kPa。试求基础中心O点下及A点下、H点下z＝1m深度处的竖向附加应力。 b c Q E H A G O F a d

49. 地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 【解】 （1）先求基底净压力（基底附加应力）p0，由已知条件 p0=p－γ0d＝140－18×0.5＝131kPa （2）求O点下1m深处地基附加应力σzo。O点是矩形面积OGbE，OGaF，OAdF，OAcE的共同角点。这四块面积相等，长度l宽度b均相同，故其附加应力系数Ks相同。根据l，b，z的值可得 l／b=2 ／1=2 z ／b=1／1=1 查表3.5.2得ac =0.1999，所以 σzo=4 ac p0=4×0.1999 ×131＝ 104.75（kPa） b c Q E H A G O F （3）求A点下1m深处竖向附加应力σzA。 a d

50. 地基中的附加应力—空间问题的解及其应用 A点是ACbG，AdaG两块矩形的公共角点，这两块面积相等，长度l宽度b均相同，故其附加应力系数ac相同。根据l，b，z的值可得 l／b=2 ／2=1 z ／b=1／2=0.5 查表应用线性插值方法可得ac=0.2315，所以 σzA=2 ac p0=2×0.2315 ×131=60.65（kPa） （4）求H点下1m深度处竖向应力σzH。 H点是HGbQ，HSaG，HAcQ，HAdS的公共角点。σzH是由四块面积各自引起的附加应力的叠加。对于HGbQ，HSaG两块面积，长度l宽度b均相同，由例图 l／b=2.5／2=1.25 z ／b=1/2=0.5 查表3.5.2，利用双向线性插值得ac =0.2350