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1.1 你能证明它们吗（二）

1.1 你能证明它们吗（二）. A. A. A. B. B. B. C. C. C. M. N. Q. E. D. P. ●. ●●. ●●. ●. 复习引入. 在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等）. 你能发现其中的一些相等的线段吗 ?. 你能发现其中的一些相等的角吗 ?. 你能证明发现的结论吗 ?. 与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法. A. B. C. E. D. ●. ●. 2. 1. 例题解析. 例 1 求证 : 等腰三角形两底角的平分线相等.

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1.1 你能证明它们吗（二）

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Presentation Transcript

  1. 1.1 你能证明它们吗（二）

  2. A A A B B B C C C M N Q E D P ● ●● ●● ● 复习引入 • 在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等）. • 你能发现其中的一些相等的线段吗? • 你能发现其中的一些相等的角吗? • 你能证明发现的结论吗? • 与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.

  3. A B C E D ● ● 2 1 例题解析 例1 求证:等腰三角形两底角的平分线相等. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE是△ABC角平分线.求证:BD=CE. 证明:∵AB=AC(已知), ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 又∵∠1= ∠ABC,∠2=　∠ACB(已知), ∴∠1=∠2(等式性质). 在△BDC与△CEB中 ∵∠DCB=∠ EBC（已知）, BC=CB（公共边）,∠1=∠2（已证）, ∴△BDC≌△CEB（ASA）. ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)

  4. A B C M N 命题证明 例2 求证:等腰三角形两腰上的中线相等. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是△ABC两腰上的中线.求证:BM=CN. 证明:∵AB=AC(已知), ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 又∵CM= AC,BN= AB(已知), ∴CM=BN(等式性质).在△BMC与△CNB中 ∵ BC=CB（公共边）, ∠MCB=∠NBC（已证）, CM=BN（已证）, ∴△BMC≌△CNB（SAS）. ∴BM=CN(全等三角形的对应边相等)

  5. A B C Q P 命题证明 例3 求证:等腰三角形两腰上的高相等. 已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是△ABC两腰上的高.求证:BP=CQ. 证明:∵AB=AC(已知), ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 又∵ BP,CQ是△ABC两腰上的高(已知), ∴∠BPC=∠CQB=900(高的意义). 在△BPC与△CQB中 ∵∠BPC=∠CQB（已证）, ∠PCB=∠QBC（已证）,BC=CB（公共边）, ∴△BPC≌△CQB（AAS）. ∴BP=CQ(全等三角形的对应边相等)

  6. A B E D C ● ● 议一议 1.已知:如图,在△ABC中,AB=AC (1)如果∠ABD=∠ABC/3,∠ACE=∠ACB/3呢? 由此你能得到一个什么结论? (2)如果AD=AC/3,AE=AB/3呢? 由此你能得到一个什么结论? 你能证明得到的结论吗？ 这里是一个由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.

  7. 结论 • 结论1: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角 等于顶角的一半. • 结论2: 等腰三角形底边上的任意一点到两 腰的距离之和等于一腰上的高.

  8. A B C 想一想 前面已经证明了“等边对等角”，反过来， “等角对等边”成立吗? 即有两个角相等的三角形是等腰三角形吗? 已知:如图,在△ABC中,∠B＝∠C. 求证:AB=AC. 如：作BC边上的中线； 作∠A的平分线 作BC边上的高.

  9. A B C 定理证明 定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）. 在△ABC中 ∵∠B＝∠C（已知）， ∴AB=AC（等角对等边）. 这又是一个判定两条线段相等方法之一.

  10. A E D B C 练一练 1.如图,△ABC中,D，E分别是AC，AB上的点,BD与CE交于点O,给出下列四个条件: ①∠EBO =∠DCO ②∠BEO=∠CDO ③BE=CD ④OB=OC (1)上述四个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形) (2)选择的1小题的一种情形,证明 △ABC是等腰三角形. ①③; ①④; ②③; ②④ O

  11. 练一练 2.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数? 36°90°108°

  12. 开启智慧 路边苦李 • 古时候有个人叫王戍，7岁那年的某一天和小朋友在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小朋友们都跑去摘，只有王戍站着没动.小朋友问他为何不去摘，他说：“树长在路边，如果李子是甜的,那么早没了,现在李子那么多，肯定李子是苦的，不好吃.”小朋友摘来一尝，李子果然苦的没法吃.

  13. A ● ● ● C B 命题证明 • 小明说,在一个三角形中，如果两个角所对的边不相等,那么这两个角也不相等. 即在△ABC中,如果AB≠AC,那么∠B≠∠C. • 你认为这个结论成立吗? • 如果成立,你能证明它吗?

  14. A ● ● ● C B 开启智慧 • 小明是这样想的: 假设∠B=∠C, 那么根据“等角对等边” 得AB=AC,与已知条件是AB≠AC相矛盾 因此假设不成立,原命题成立 即∠B≠∠C. • 你能理解他的推理过程吗?

  15. 开启智慧 假设 • 先假设命题的结论反面成立， • 然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果， • 所以假设不成立,原命题成立 归谬 结论 这种证明方法称为反证法 (reduction to absurdity) 反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某些问题时常常会有出人意料的作用. • 你可要结识“反证法”这个新朋友噢!

  16. 例题讲解 • 例4.如何证明这个结论: • 如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5. 用反证法来证: 证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立, 原命题成立,即这五个数中至少有下个大于或等于1/5.

  17. 随堂练习 3.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角 已知：△ABC． 求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角． 证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°． 这与三角形内角和定理矛盾， 所以∠A=∠B=90°不成立． 所以一个三角形中不能有两个角是直角．

  18. 随堂练习 4. 用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°. 证明: 假设∠A ,∠B, ∠C是△ABC的三个内角, 且都大于60°, 则∠A > 60°,∠B > 60°, ∠C > 60°, ∴ ∠A+∠B+∠C >180° 这与三角形的内角和是1800定理矛盾 ∴假设不成立 ∴在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°.

  19. 理解证明的必要性和规范性. 理解几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事项. 你对“执果索因”,“由因导果”理解与运用有何进步. 规范性中的条理清晰,因果相应,言心有据的要求是否内化为一种技能. 几何的三种语言融会贯通的水平是否有所提高. 关注知识,经验,方法的积累和提高,是前进的推进器. 你准备如何提高证明命题的能力呢? 课堂小结

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