平面向量的数量积的应用

F  ┓ s 平面向量的数量积的应用 2002年11月

B b  a · b =| a || b |cos O A a 复习平面向量的数量积

B b 数量积 a · b 等于a 的长度| a |与 b 在 a 的方向上的投影 | b |cos 的乘积. ┐ B' O A a 几何意义:

一、求向量的夹角问题 二、求向量的长度问题三、证明不等式问题

一、求向量的夹角问题

例1：

a · b =| a || b |cos 设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角,则 a⊥b=/2cos=0 (1) e · a = a · e=| a |cos. | a || b |cos=0 (2)a⊥b a · b =0. (3)当a与b同向时,a · b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|. 特别地,a · a (或写成 a 2)=| a |2或| a |=√a · a .  a · b =0 (4)cos=( a · b )/(|a||b|). 向量a与b共线  | a · b |= | a || b | (5)| a · b |≤| a || b |. 性质:

由于例1：解：故存在实数k，

例2： 解：

二、求向量的长度问题

例3： 解：

三、证明不等式问题 应用平面向量的数量积中的某些不等式，比如：等可证明一些常见的不等式。

例4： 证明: 当且仅当a=b≥0时,等号成立.

例5： 解：

复习 1，夹角 2，长度 3，不等式四.小结平面向量数量积 a · b=| a | | b | cos  数形几何意义五条重要性质结合应用？？？

五.巩固作业 2，若x，y为正数，求证：

已知a={cosa,sina}, b={cos ,sin },a 和b满足关系 ka+b = a-kb ,其中k>0. (1)用k表示a, b (2)求a, b的最小值，并求此时a 与b 的夹角的大小

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