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第六节 拉氏变换及其性质

第六节 拉氏变换及其性质. 一 拉氏变换的基本概念. 定义. 设函数 f(t) 的定义域为 [0 ， ), 若广义积分 对于 p 的某一范围内的值收敛于 F(p) ，即 F(p)= 则称 F(p) 为 f(t) 的拉普拉斯变换（或象函数，拉氏变换），记作 L[f(t)]=F(p). 也称 f(t) 为 F(p) 的拉氏逆变换（或象原函数），记作 [F(p)]=f(t). 说明：. 1 ）为方便计，总假定：当 t<0 时， f(t) 0 。 2 ） p 本来是复数，为方便，假定 p 为实数。不影响讨论。

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第六节 拉氏变换及其性质

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Presentation Transcript

  1. 第六节 拉氏变换及其性质 一 拉氏变换的基本概念

  2. 定义 设函数f(t)的定义域为[0， ),若广义积分 对于p的某一范围内的值收敛于F(p)，即F(p)= 则称F(p)为f(t)的拉普拉斯变换（或象函数，拉氏变换），记作L[f(t)]=F(p).也称f(t)为F(p)的拉氏逆变换（或象原函数），记作 [F(p)]=f(t).

  3. 说明： 1）为方便计，总假定：当t<0时，f(t) 0。 2）p本来是复数，为方便，假定p为实数。不影响讨论。 3）拉氏变换是一种积分变换（另一种为：傅里叶变换）。

  4. 例题 例1 求f(t)=eat（t 0, a是常数）的拉氏变换。 例2 求f(t)=at（t 0, a为常数）的拉氏变换。 例3 求f(t)=sin t(t 0)的拉氏变换。 同理可求L[cos t].

  5. 公式小结： L[eat]= (p>a) L[t]= (p>0) L[sin t]= (p>0) L[cos t]= (p>0)

  6. 在自动控制系统中，经常会遇到下述两个函数：在自动控制系统中，经常会遇到下述两个函数： （1）单位阶梯函数： 在例1中，令a=0得L[u(t)]= (p>0)

  7. 当常数a<b时，因 故不难得 或 （分三段讨论）（参考下图）

  8. u(t) u(t—a) 1 1 t O O a t (2) (1) u(t—b) f(t) 1 1 O t O a b t b (3) (4)

  9. 结论：设0<a1<a2< <an，且 则

  10. 例4 已知 试用单位阶梯函数将f(t)合写为一个式子。

  11. 例5 已知 试将f(t)合写为一个式子。

  12. （2）狄拉克函数 (Dirac) 定义 设 则称 为狄拉克函数， 简称 函数。

  13. 的图象： t O O t (1) (2)

  14. 的性质 设g(t)是 上的连续函数，则

  15. 例6 求u(t)的拉氏变换。 例7 求 的拉氏变换。

  16. 公式小结：

  17. 性质1 （线性性质） L[a1f1(t)+a2f2(t)]=a1L[f1(t)]+a2L[f2(t)] =a1F1(p)+a2F2(p) 例8 求 的拉氏变 换。 二 拉氏变换的性质

  18. 性质2（平移性质） 若L[f(t)]=F(p)，则 例9 求

  19. 布置作业： P44: 1(1)(4)(5)(9)(17)

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