第九章应力状态理论

第九章应力状态理论 9-1 一点应力状态的概念 9-2 平面应力状态分析的解析法 9-3 平面应力状态分析的图解法 9-4 三向应力状态简介 9-5 广义虎克定律 9-6 平面应力状态的测定 9-7 复杂应力状态下的变形比能

低碳钢受扭产生平面断口 铸铁受扭产生45°螺旋面断口为什么？问题的提出内力计算找到危险截面位置应力计算找到危险点位置然而受力状态完全相同（即危险截面和危险点相同），破坏形态可能不同

说明不同材料破坏的危险方位不同。 应力状态理论解决危险方位的问题。

m n 在纵向拉伸等直杆中截取的一段 x 由得斜截面上当当当讨论 §9-1 一点应力状态的概念一、轴向拉压杆斜截面上的应力

在构件内部取一个微分六面体，代表一个点，分析 6 个微面上的应力，这个微分六面体称为单元体二、一点应力状态同一点各个方位上的应力大小和方向各不相同。某一点各个不同方位的截面上的应力及其相互关系，称为一点的应力状态三、单元体概念剪应力等于0的截面称为主平面；作用在主平面上的应力称为主应力。

三向应力状态（空间应力状态）：三个方向的主应力都不等于0;三向应力状态（空间应力状态）：三个方向的主应力都不等于0; 二向应力状态（平面应力状态）：两个方向的主应力都不等于0; 单向应力状态：只有一个方向的主应力都不等于0 四、应力状态分类

平面初始应力状态包括 平面应力状态的简化表示表示 §9-2 平面应力状态分析的解析法

设斜截面上的应力为 斜截面上的各参量的正负号规定从 x 轴方向逆时针为正拉应力为正；压应力为负绕单元体顺时针为正，反之为负一、任意斜截面上的应力

整理后 对三角形单元体建立平衡方程

将的表达式对求导： 可见在的截面上，正应力具有极值（最大或最小）主平面主应力由斜截面上的应力表达式可知随角度不同而变化，都是的函数，由此可求正应力和剪应力的极值。二、主应力、主方位

即令得将上式带入的表达式：即平面应力状态主应力、主方位表达式

三、剪应力极值、剪应力极值平面 将的表达式对求导：将上式带入的表达式：即剪应力极值、剪应力极值平面表达式

由主应力方位角和剪应力极值方位角可知 即：剪应力极值平面和主平面夹角为45°

§9-3 平面应力状态分析的图解法 一、应力圆方程斜截面应力解析表达式将公式的结构进行变换

观察方程 发现此方程为圆方程，圆心半径称此圆为应力圆。由于应力圆最早由德国工程师莫尔（otto.mohr,1835-1918）提出，故又称为莫尔圆。

二、应力圆作法 (1)在坐标系内画出A1( ) (2)在坐标系内画出B1( )

二、应力圆作法 (3)A1B1连线与轴交点即圆心O1 (4)以O1为圆心，以O1A1为半径画圆

三、斜截面应力 (1)过A1作A1K∥x轴，交圆于K点 (2)过K作KP∥n(斜截面法线)，交圆于P点则P点的坐标为

四、主应力、主平面、剪应力极值和剪应力极值平面四、主应力、主平面、剪应力极值和剪应力极值平面应力圆与应力状态的对应关系应力圆与x轴的交点横坐标即为正应力极值 KA和KB的射线方向即主平面法线方向图示主应力状态

过圆心作垂直于x轴的线，与圆交点为Q和Q’，两点的纵坐标即为剪应力极值过圆心作垂直于x轴的线，与圆交点为Q和Q’，两点的纵坐标即为剪应力极值 KQ和KQ’的射线方向即剪应力极值平面法线方向图示剪应力极值应力状态

例题1：取梁截面中C点的应力状态进行分析， C点的应力状态如图，用解析法求解，并用图解法验证。解：

图解法验证 作C点应力状态的应力圆以及主应力和剪应力极值的应力状态。查A点和B点的横坐标数值，即可得到主应力为26 MPa和-96 MPa，测量KA及KB与x轴的夹角，即可得到主平面方位角为27.5°和117.5°；查Q点和Q’点的横坐标数值，即可得到剪应力极值为± 61 MPa，测量KQ及K Q’与x轴的夹角，即可得到剪应力极值平面方位角为27.5°和117.5°；

例题2：已知某点应力状态如图，用解析法求 并用图解法验证。解：解析法求解

图解法验证 作应力圆以及主应力和剪应力极值的应力状态。过K点作直线与x轴呈30°角，与圆的交点的坐标即查A点和B点的横坐标数值，即可得到主应力为51.7 MPa和-36.7 MPa 查Q点和Q’点的横坐标数值，即可得到剪应力极值为± 44.2 MPa

§9-4 三向应力状态简介 只有主应力的三向应力状态称为三向主应力状态一、三向主应力状态的应力圆

二、三向主应力状态的最大剪应力 最大剪应力由和决定最大剪应力方位角，与相差45°

三、斜截面上的应力 与三个主平面成任意角度的斜截面上的正应力和剪应力，可以用坐标系某一点的坐标值表示。该点位于三个应力圆所围成的阴影范围内。

§9-5 广义虎克定律 一、广义虎克定律 (一)、单向应力状态下的虎克定律

(二)、复杂应力状态下的虎克定律

二、体积应变 三向主应力状态下的虎克定律设变形前六面体边长分别为则六面体原始体积为

变形后六面体边长分别为 受力后体积为略去高阶微量后 ——体积应变

将主应力下的广义虎克定律代入体积应变公式 ——体积弹性模量 ——平均应力

§9-6 平面应力状态的测定 一、平面应力状态的虎克定律由上公式可知：只要确定了则该点的应力状态就随之确定了

二、平面应力状态的测定 平面应力状态任意斜截面上的线应变，可以表示为将代入上式，得此式表明：可以由任意三个方向得线应变表示剪应变

所以只要确定一点任意三个方向的线应变，就可以确定该点的应变分量和应力分量。所以只要确定一点任意三个方向的线应变，就可以确定该点的应变分量和应力分量。试验测定中使用应变花进行平面应力状态的测定。分别测定三个线应变即可确定该点的应力状态

§9-7 复杂应力状态下的变形比能 一、变形比能变形比能：单位体积的变形能。量纲分析三向应力状态时

由三向应力状态虎克定律知 所以

二、体积变形比能和形状改变比能 把三向应力状态作如下分解其中：称为平均应力。同时把变形比能分成两部分，体积改变比能uv和形状改变比uf能，即：其中：

例题3：如图的刚性支座内放置一铅块，大小为1×1×1cm，材料泊松比μ=0.33，弹性模量E=70 GMPa. 求：解：由题意知由广义虎克定律所以

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