受到摄动的圆轨道

受到摄动的圆轨道 引言：在涉及有心力运动的问题时，往往伴随着复杂烦琐的计算，在我们允许的范围内，通过严谨的近似代换，常常可以使复杂的问题简单化。

近似计算是物理学习的一项重要能力。物理学是一门相对真理的科学，对许多问题的研究和解决，都只是达到一定精度内的近似，并且对于同一问题，在不同的要求，不同的层次，往往采用不同精度的近似模型。虽然物理学只是在逼近真理，但这种“相对真理”以及“近似”，“逼近”的思想却有巨大的意义，直接指导人类的实践活动。近似计算是物理学习的一项重要能力。物理学是一门相对真理的科学，对许多问题的研究和解决，都只是达到一定精度内的近似，并且对于同一问题，在不同的要求，不同的层次，往往采用不同精度的近似模型。虽然物理学只是在逼近真理，但这种“相对真理”以及“近似”，“逼近”的思想却有巨大的意义，直接指导人类的实践活动。

下面就以“受到摄动的圆轨道”为例阐述“近似”的思想。下面就以“受到摄动的圆轨道”为例阐述“近似”的思想。 • 问题：一质量为m的人造卫星，在半径r0为的圆轨道上环绕地球飞行。其中一个发动机朝着地球中心作短时间的点火，以改变卫星的能量而不改变其角动量。试求卫星的新轨道。

能量 • 通过能量曲线（图1）我们可以找到初始能量和最终能量Ef。 • 值得注意的是：（1）由于沿径向点燃发动机是角动量L不变，故不致引起有效势的变化。有效势曲线 r0 r Ef Ei 图 1

（2）地球的质量M远大于m，约合质量差不多就是m，所以地球实际上是固定不动的（近似的思想，有足够的高的精度）。（2）地球的质量M远大于m，约合质量差不多就是m，所以地球实际上是固定不动的（近似的思想，有足够的高的精度）。因为Ef比Ei大得不多，由能量曲线可知：r和r0决不会相差很大，于是我们不精确地求解卫星的运动问题，而是把r0附近的U近似地用抛物状势来代替（本题中最重要的近似代替，是本题近似计算的核心）。

通过对于一质点围绕平衡点作微小振动的分析可知，把由此所引起的卫星的径向运动看成是在附近作简谐运动，可以达到很好的精度（近似计算精度要求的理论依据）。通过对于一质点围绕平衡点作微小振动的分析可知，把由此所引起的卫星的径向运动看成是在附近作简谐运动，可以达到很好的精度（近似计算精度要求的理论依据）。

用C=GmM，有效势为 • 的最小值在处，因为在那一点上斜率为零，所以有即

由此得出 • 卫星的径向运动，看成是在附近的简谐运动，则系统的振动概率（我们用表示它）为

此处 • 由计算得出

因此，径向位置由下式给出 为了满足初始条件r(0)=r0，我们删除了项。注意：虽然我们能够根据 Ef来计算A ，但在这里，Ef几乎等于Ei，A<<r0，我们不去作麻烦的代数计算。

为了求出新轨道，必须消去，并把表示为 的函数，对于圆轨道或者

注意：即使发动机在点火以后，半径做微小的振动，但对于我们的目的来说，（5）式还是足够准确的。时间 t只在（4）式中对于的一个微小改正项中出现，故我们忽略掉数量级为以及更高阶的那些项（又一次近似）。

从（1）式和（5）式可以看出，卫星绕地球的转动频率为从（1）式和（5）式可以看出，卫星绕地球的转动频率为 • 及

我们可以发现：卫星的转动频率和径向振动频率相等。我们可以发现：卫星的转动频率和径向振动频率相等。向把（7）式代入（4）式中，可得

新轨道在图2中用实线表示，看起来很接近圆，但它不再以地球为其中心。新轨道在图2中用实线表示，看起来很接近圆，但它不再以地球为其中心。 A r0 r

我们可以证明： E=Ef 的准确轨道为一椭圆 • 其方程为 • 其中

若 A/r0<<1，则 • 准确到A的一阶项为止，（8）式是椭圆方程。

小结：在解决本问题时，多处才用了近似计算：小结：在解决本问题时，多处才用了近似计算： • 近似认为约合质量等于m • 用抛物状势来代替有效势曲线的一段，从而用在r0附近的简谐运动来代替卫星的径向运动，使问题大大简化（解本题的关键）。 • （5）式中近似认为径向的微小振动对它不产生影响。

通过最后与精确模型的比较可以发现，本题中的近似代替的精度还是比较高的。通过最后与精确模型的比较可以发现，本题中的近似代替的精度还是比较高的。

由于水平有限，不免有疏漏之处， 望老师多加指导谢谢！

受到摄动的圆轨道

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