三角形的重心

三角形的重心 97學年度溪口國中資訊融入教學—數學領域授課教師：郭素華

三角形的重心 三角形的重心及其性質例題 1 例題 2 例題 3 重心的應用例題 4 例題 5 例題 6 例題 7 例題 8 例題 9

三角形的重心 三中線的交點 G 為△ABC 的重心面積： △AFG＝△AEG＝ △BFG＝△BDG＝ △CEG＝ △CDG A F E G C B D

∵ G 為三中線 AD、BE、CF 的交點， ∴ G 為△ABC 重心故如圖，△ABC 中，三中線 AD、BE、CF 交於 G 點，AD＝12，BE＝18， CF＝15，試求 AG、BG、CG 。 A F E G C B D

1 過 A 點作△ABC 的高 AD，並交 BC 於 D 點， 如圖，△ABC 中，AM 為中線，試證 △ABM 和 △ACM 的面積相等。則 AD 亦為△ABM 與△ACM 的高。 A 2 △ABM：△ACM C B M D ∴△ABM ＝△ACM 。

1 △ABC 中，D 為 BC 中點， 如圖，△ABC 的三中線 AD、BE 、CF 交於一點G，試證 △ABG＝△BCG＝△CAG。 A F E G ∴△ABD＝△ACD。 C B D 同理，△GBD＝△GCD。 2 △ABG＝△ABD－△GBD＝△ACD－△GCD＝△CAG 同理，△BCG＝△CAG。 ∴△ABG＝△BCG＝△CAG。

1 ∵ △ABC 為直角三角形，∴ ∵ E 為斜邊 AC 中點，∴ E 為△ABC 外心。則 EA＝EB＝EC＝10÷2＝5，且又兩中線 AD、BE 交於G 點，∴ G 為△ABC 的重心，如圖，△ABC 中，∠ABC＝90°，兩中線 AD、BE 交於G 點，AB ＝ 6，BC＝8，試求：AG、GE。△ABG 的面積。四邊形CDGE 的面積。 A E G B C D

3 如圖，連接 CG ， 如圖，△ABC 中，∠ABC＝90°，兩中線 AD、BE 交於G 點，AB ＝ 6，BC＝8，試求：AG、GE。△ABG 的面積。四邊形CDGE 的面積。 A E G 則四邊形CDGE 面積＝△CDG＋△CEG B C D

1 ∵G 為兩中線 BD、 CE 的交點， 故如圖，△ ABC 中，兩中線 BD、CE 交於 G 點，且 BD⊥CE，若 BD＝9，CE＝12，試求： BG、CG。 △BGC 與△ABC 的面積。 ∴G 為△ABC 重心。 △ABC＝3．△BGC＝3．24＝72

如圖，平行四邊形 ABCD 中，O 為對角線 AC、BD 的交點，E 為 CD 中點，H 為 BC 中點，試證 BG＝GF＝FD。 2 △ABC 中，O 為 AC 中點，H 為 BC 中點，故同理 3 故 1 ∵平行四邊形對角線互相平分， ∴G 為重心，

內切圓半徑 OA 為外接圓半徑，OM 為內切圓半徑。故外接圓半徑例題 7 如圖，正三角形ABC 中，AB ＝6，且 AM 為 BC 上中線，O 為重心，試求外接圓半徑與內切圓半徑。如圖，O 為正三角形ABC 的重心，同時也是外心及內心，

如圖，△ABC 中，∠C＝90°，G 為重心， 若 AM ＝6，BN＝8，試求 AB。 ……(1) ……(2) (1)+(2) 得：

如圖，△ABC 中，BD、CE 為兩中線， 且 BD ＝ CE ，試證 AB ＝ AC 。 1 BD 與 CE 交於 G 點， (對應邊相等) 故 ∴ G 為△ABC 重心。 2 在△EGB 與△DGC 中，又∠EGB＝∠DGC

範例解說結束 謝謝聆聽

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