Συστήματα αναφοράς και χρόνου

1. Συστήματα αναφοράς και χρόνου Σύνοψηβασικών εννοιών

2. Κεφάλαιο 2 Βασικές έννοιες

3. Τι είναι ένα σύστημα αναφοράς; Ένα σημείο Ο που ονομάζεται «αρχή» και μία «βάση» στο Ο = = τρία μη συνεπίπεδα διανύσματα στο Ο (συνήθως ορθοκανονική βάση = μοναδιαία διανύσματα κάθετα μεταξύ τους Σε τι χρησιμεύει ένα σύστημα αναφοράς; (1) Στην περιγραφή σημείων Ρ μέσω των καρτεσιανών συντεταγμένων Καρτεσιανές συντεταγμένες = συνιστώσες του διανύσματος θέσης ΟΡ (2) Στην περιγραφή τοπικών διανυσμάτων σε κάθε σημείο Ρ μέσω των συνιστωσών τους ως προς μια τοπική βάση η οποία προκύπτει μέσω της παράλληλης μετάθεσης της βάσης του συστήματος αναφοράς από το σημείο Ο στο σημείο Ρ Ένα σύστημα αναφοράς μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο στη Νευτώνεια μηχανική - Χώρος τριών διαστάσεων = επίπεδος (μη καμπύλος)

4. Τι είναι ένα σύστημα (καμπυλόγραμμων) συντεταγμένων; Tρεις συναρτήσεις q1, q2, q3 οι οποίες σε κάθε σημείο Ρ του 3Δχώρου αντιστοιχούν τρεις αριθμούς q1(P), q2(P), q3(P) Σε τι χρησιμεύει ένα σύστημα (καμπυλόγραμμων) συντεταγμένων; (1) Στην περιγραφή σημείων Ρ μέσω των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων (2) (ΠΡΟΑΙΡΕΤΙΚΑ – ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΟΥ ΤΑΝΥΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ) Στην περιγραφή τοπικών διανυσμάτων σε κάθε σημείο Ρ μέσω των συνιστωσών τους ως προς μια τοπική βάση η οποία προκύπτει από την παραγώγιση του διανύσματος θέσης ΟΡ ως προς τις συντεταγμένες ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ: Οι εξισώσεις της φυσικής έχουν την ίδια μορφή σε όλα τα συστήματα συντεταγμένων Ένα σύστημα συντεταγμένων και οι σχετικές βάσεις μπορεί να χρησιμοποιηθεί και πέρα από τη Νευτώνεια μηχανική, π.χ. στη γενική θεωρία της σχετικότητας (καμπύλος τετραδιάστατος χωροχρόνος)

5. Τι είναι το εσωτερικό γινόμενο; Απεικόνιση δύο διανυσμάτων σε αριθμό: Ποια γεωμετρικά χαρακτηριστικά αποδίδονται με το εσωτερικό γινόμενο; Το μήκος διανύσματος, η γωνία θ μεταξύ διανυσμάτων και η απόσταση σημείων Τι είναι το εξωτερικό γινόμενο; Απεικόνιση δύο διανυσμάτων σε διάνυσμα: Ποια γεωμετρικά χαρακτηριστικά αποδίδονται με το εξωτερικό γινόμενο; Το εμβαδόν Α του παραλληλογράμμου που σχηματίζουν 2 διανύσματα

6. Τι είναι το μικτό γινόμενο; Απεικόνιση τριών διανυσμάτων σε αριθμό: Ποια γεωμετρικά χαρακτηριστικά αποδίδονται με το μικτό γινόμενο; Ο όγκος V του παραλληλεπιπέδου που σχηματίζουν 3 διανύσματα τοποθετημένα σε δεξιόστροφη σειρά (για αριστερόστροφη σειρά προκύπτει ο αρνητικός όγκος -V )

7. Πως αποδίδονται το εσωτερικό, το εξωτερικό και το μικτό γινόμενο μέσω των συνιστωσών των σχετικών διανυσμάτων; Αντισυμμετρικός πίνακας με αξονικό διάνυσμαa : Aξονικό διάνυσμαaαντισυμμετρικού πίνακα A :

8. Δύο ορθοκανονικές βάσεις συνδέονται με έναν ορθογώνιο πίνακα

9. Στροφές γύρω από τους άξονες γύρω από τον 1ο άξονα γύρω από τον 2ο άξονα γύρω από τον 3ο άξονα

10. Παράγωγοι των πινάκων στροφής γύρω από τους άξονες

11. Περιγραφή του πίνακα στροφής Rμεστροφές γύρω από τους έξονες Γωνίες Cardan Γωνίες Euler

12. Κεφάλαιο 3 Συστήματα καμπυλόγραμμων συντεταγμένων

13. Η τοπική βάση ενός συστήματος (καμπυλόγραμμων) συντεταγμένων

14. Η τοπική βάση ενός συστήματος (καμπυλόγραμμων) συντεταγμένων k στήλη Ιακωβιανού πίνακα Ιακωβιανός πίνακας

15. Ιακωβιανός πίνακας Συνδέει την τοπική βάση των συντεταγμένων με την καρτεσιανή βάση

16. Ο μετρικός πίνακας Σχέση μετρικού πίνακα και Ιακωβιανού πίνακα

17. Σφαιρικές συντεταγμένες Ορθογώνιες συντεταγμένες επειδή ο Gείναι διαγώνιος

18. Κυλινδρικές συντεταγμένες Ορθογώνιες συντεταγμένες επειδή ο Gείναι διαγώνιος

19. Γεωδαιτικές συντεταγμένες Ορθογώνιες συντεταγμένες επειδή ο Gείναι διαγώνιος

20. Κεφάλαιο 4 Συστήματα αναφοράς σε κίνηση

21. Η παράγωγος μιας περιστρεφόμενης βάσης έχει συνιστώσες ως προς την ίδια βάση τα στοιχεία ενός αντισυμμετρικού πίνακα ο οποίος εξαρτάται από τα στοιχεία του πίνακα στροφής και τις παραγώγους τους = αδρανειακή = περιστρεφόμενη = αντισυμμετρικός

22. Οι συνιστώσες της παραγώγου διανύσματος ως προς περιστρεφόμενη βάση δεν εξαρτώνται μόνο από τις παραγώγους των συνιστωσών αλλά εμφανίζεται ένας πρόσθετος όρος ο οποίος εξαρτάται από τιςσυνιστώσες του διανύσματος περιστροφής Παραδείγματα: ταχύτητα, επιτάχυνση

23. Στις εξισώσεις κίνησης του Nεύτωνα (επιτάχυνση = δύναμη ανά μονάδα μάζας) εμφανίζονται πρόσθετοι όροι οι οποίοι εξαρτώνται από τις συνιστώσες του διανύσματος περιστροφής, ως «ψευτοδυνάμεις» (ανά μονάδα μάζας): φυγόκεντρη p, Coriolis c, γυροσκοπικήg

24. Άξονας περιστροφής στερεού σώματος Περιστροφή στερεού σώματος = = κίνηση με ένα σημείο στην ίδια θέση (κέντρο της περιστροφής) Θεμελιώδη ιδιότητα περιστροφής στερεού σώματος: Όταν η θέση ενός στερεού σώματος μεταβάλλεται έτσι ώστε ένα από τα υλικά σημεία του να παραμένει σταθερό, τότε υπάρχει μία ευθεία η οποία διέρχεται από το σταθερό σημείο, τα υλικά σημεία της οποίας παραμένουν επίσης στην ίδια θέση. Η ευθεία αυτή ονομάζεται άξονας περιστροφής του σώματος.

25. Μέσο διάνυσμα περιστροφής στερεού σώματος από εποχή t σε εποχή t+Δt = μέση κατεύθυνση περιστροφής (μοναδιαίο διάνυσμα) = άξονας περιστροφής από την αρχική (t) στην τελική θέση (t+Δt) = γωνία περιστροφής από την αρχική (t) στην τελική θέση (t+Δt) = μέση γωνιακή ταχύτητα περιστροφής για το διάστημα από t μέχρι t+Δt Μέσο διάνυσμα της ταχύτητας περιστροφής (για το διάστημα από t μέχρι t+Δt): Διάνυσμα της στιγμιαίας ταχύτητας περιστροφής απλά = διάνυσμα περιστροφής

26. Οι κινηματικές εξισώσεις του Euler Γενικές Ειδικές για επιλογή γωνιών στροφής

27. Άξονες σχήματος παραμορφώσιμου σώματος Τέτοιοι ώστε ο πίνακας αδράνειας να είναι διαγώνιος Γινόμενα αδράνειας : Ροπές αδράνειας : : συντεταγμένες στοιχείου μάζας dm)

28. Άξονες Tisserand παραμορφώσιμου σώματος Τέτοιοι ώστε να μηδενίζεται η σχετική στροφορμή και ταυτόχρονα να ελαχιστοποιείται η σχετική κινητική ενέργεια σχετική στροφορμή σχετική κινητική ενέργεια

29. Κεφάλαιο 6 Γεωδαιτικό datum

30. Γεωδαιτικό Datum γεωδαιτικό datum =σύστημα αναφοράς + παράμέτροιaκαι b(ημιάξονες) ελλειψοειδούς εκ περιστροφής με κέντρο την αρχή του συστήματος αναφοράς και μικρό ημιάξονα (άξονα περιστροφής) τον 3ο άξονα του συστήματος.

31. Μετατροπή από μία χαρτογραφική προβολή σε ένα datum, σε μία άλλη χαρτογραφική προβολή σε ένα άλλο datum P

32. Μετατροπή από μία χαρτογραφική προβολή σε ένα datum, σε μία άλλη χαρτογραφική προβολή σε ένα άλλο datum P

33. Μετατροπή από μία χαρτογραφική προβολή σε ένα datum, σε μία άλλη χαρτογραφική προβολή σε ένα άλλο datum P

34. P γεωειδές ελλειψοειδές Α ελλειψοειδές Β Μετατροπή από μία χαρτογραφική προβολή σε ένα datum, σε μία άλλη χαρτογραφική προβολή σε ένα άλλο datum datum Β Χαρτογραφική προβολή Β datum A Χαρτογραφική προβολή Α

35. Το πρόβλημα της αλλαγής κλίμακας (αλλαγή συστήματος αναφοράς με στροφή R, μετάθεση c και συντελεστή κλίμακας s) Αρχικά: 6 μοντέλα (RST, RTS, SRT, STR, TRS, TSR). ίδιο αποτέλεσμα s (Rx) = R (sx) αν μεταβληθεί αμοιβαία η σειρά διαδοχικής περιστροφής και κλίμακας (RS = SR): ταύτιση των μοντέλων RST = SRT και TRS = TSR. Τελικά: μόνο 4 μοντέλαμετασχηματισμού ομοιότητας RST = SRT: RTS: STR: TRS = TSR: Διαφέρουν μόνο οι όροι μετάθεσης συνήθως χρησιμοποιείται το πρώτο μοντέλο (RST = SRT)

36. Κεφάλαιο 7 Συστήματα αναφοράς για την περιστρεφόμενη γη

37. Σε ποια μέρη χωρίζεται η περιστροφή της γης μέσω του διανύσματος περιστροφής; Σε τρία μέρη: (1) Τη μεταβολή της διέθυνσης του διανύσματος περιστροφής ως προς τον αδρανειακό χώρο. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται μετάπτωση-κλόνιση. (2) Τη μεταβολή της διέθυνσης του διανύσματος περιστροφής ως προς τη γη. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται κίνηση του πόλου. (3) Τη μεταβολή του μεγέθους του διανύσματος περιστροφής δηλαδή της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της γης. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται μεταβολή της διάρκειας της ημέρας επειδή όταν η γη περιστρέφεται ταχύτερα ελαττώνεται η διάρκεια της ημέρας και αντίστροφα.

38. Ποια τα κύρια χαρακτηριστικά της μετάπτωσης-κλόνισης; Η μετάπτωση είναι η κίνηση του άξονα περιστροφής ώστε να διαγράφει κώνο με άξονα κάθετο στο επίπεδο της εκλειπτικής (δηλαδή της τροχιάς της γης) σε κλίση 23ο 27 (γωνία μεταξύ άξονα περιστροφής και καθέτου στην εκλειπτική) με περίοδο 25800 έτη. Η κλόνιση είναι μια πρόσθετη κίνηση του άξονα περιστροφής γύρω από τη θέση του λόγω της μετάπτωσης. Η κυρίαρχη συνιστώσα της είναι η διαγραφή πεπλατυσμένου κώνου με περίοδο 18.6 έτη με ημιάξονες διατομής περίπου 9 και 7. Κατά την μία πλήρη περιστροφή στα 18.6 έτη ο άξονας της μετάπτωσης μετατοπίζεται κατά 15 περίπου Ποια τα κύρια χαρακτηριστικά της κίνησης του πόλου; Ο άξονας περιστροφής μετακινείται ως προς τη γη με ακανόνιστο τρόπο διαγράφοντας κύκλους μεταβαλόμενης ακτίνας της τάξης των 6 μέτρων (πάνω στην επιφάνεια της γης) με περίοδο 14 μηνών η οποία ονομάζεται περίοδος Chandler.

39. Πως περιγράφεται η περιστροφή της γης ώστε να διαχωρίζεται η συνολική περιστροφή στην μετάπτωση-κλόνιση, στην κίνηση του πόλου και στην μεταβολή της διάρκειας της ημέρας; Αυτό επιτυγχάνεται εισάγοντας εκτός από το ουράνιο (αδρανειακό) σύστημα και το επίγειο σύστημα αναφοράς δύο ενδιάμεσα συστήματα τα οποία έχουν τον 3ο άξονα στην κατεύθυση του άξονα περιστροφής: (α) το ενδιάμεσο ουράνιο σύστημα το οποίο δεν ακολουθεί τη γη στην ημερήσια περιστροφή της και (β) το ενδιάμεσο επίγειο σύστημα το οποίο ακολουθεί τη γη στην ημερήσια περιστροφή της. Με τον τρόπο αυτό ο συνολικός πίνακας στροφής R από το ουράνιο στο επίγειο σύστημα διαχωρίζεται σε 3 μέρη R = W D Q (1) τον πίνακα μετάπτωσης-κλόνισης Q της στροφής από το ουράνιο στο ενδιάμεσο ουράνιο σύστημα (2) τον πίνακα ημερήσιας περιστροφής D της στροφής από το ενδιάμεσο ουράνιο στο ενδιάμεσο επίγειο σύστημα και (3) τον πίνακα της κίνησης του πόλου W της στροφής από το ενδιάμεσο επίγειο στο επίγειο σύστημα

40. Πως ορίζονται οι θέσεις των αξόνων των δύο ενδιάμεσων συστημάτων; Οι 3οι άξονες των ενδιαμέσων συστημάτων έχουν την κατέυθυνση του άξονα περιστροφής. Οι θέσεις των 2ων αξόνων προκύπτουν από τη θέση των 1ων. Οι συνιστώσες ω του διανύσματος περιστροφής (από το ουράνιο στο επίγειο) ορίζονται από τις σχέσεις Παρόμοια μπορούμε να ορίσουμε δύο διανύσματα σχετικής περιστροφής: ωIC από το ουράνιο στο ενδιάμεσο ουράνιο (πίνακας Q) ωIT από το επίγειο στο ενδιάμεσο επίγειο (πίνακας WT) H θέση των 1ων αξόνων των ενδιαμέσων συστημάτων ορίζοντα με βάση το κριτήριο τηςμη περιστρεφόμενης αρχής (NRO = Non Rotating Origin): τα σχετικά διανύσματα περιστροφής να μην έχουν 3η συνιστώσα. Η θέση του 1ου άξονα του ενδιάμεσου ουράνιου (ουράνια ενδιάμεση αρχή,CIO = Celestial Intermediate Origin) από τη σχέση Η θέση του 1ου άξονα του ενδιάμεσου επίγειου (επίγεια ενδιάμεση αρχή,TIO = Terrestrial Intermediate Origin) από τη σχέση

41. Κεφάλαιο 8 Συστήματα χρόνου

42. Ποια είναι τα είδη χρόνου σε σχέση με το χρησιμοποιούμενο «ρολόι»; (1) Ο αστρικός και ο παγκόσμιος χρόνος που ορίζονται με βάση την περιστροφή της γης (2) Ο δυναμικός χρόνος που ορίζεται με βάση τις τροχιές των πλανητών γύρω από τον ήλιο (3) Ο ατομικός χρόνος που ορίζεται με βάση τις ταλαντώσεις του ατόμουτου στοιχείου Καίσιο 133 σε ένα σύνολο ατομικών ρολογιών

43. Ποια είναι τα είδη χρόνου που ορίζονται με βάση την περιστροφή της γης και πως ακριβώς ορίζονται αυτά; Για τον προσδιορισμό χρόνων με βάση την περιστροφή της γης χρειάζονται - ένα επίπεδο αναφοράς που να διέρχεται από τον άξονα περιστροφής της γης και να ακολουθεί τη γη στην περιστροφή της. Το επίπεδο αυτό ήταν ιστορικά ο (αστρονομικός) μεσημβρινός του Greenwich. Σήμερα είναι το επίπεδο των αξόνων 1 και 2 του επίγειου συστήματος αναφοράς. - μία διεύθυνση αναφοράς η οποία να μην ακολουθεί τη γη στην περιστροφή της. Ο χρόνος μεταξύ δύο διαβάσεων του επιπέδου από την διεύθυνση αναφοράς ορίζει την ημέρα η οποία χωρίζεται σε 24 x 60 x 60 = 86400 δευτερόλεπτα. Για τον αστρικό χρόνο GST η διεύθυνση αναφοράς είναι το εαρινό ισημερινό σημείο δηλαδή η τομή του ισημερινου (επίπεδο κάθετο στον άξονα περιστροφής) με το επίπεδο της εκλειπτικής (επίπεδο της τροχιάς της γης). Για τον παγκόσμιο χρόνο UTη διεύθυνση αναφοράς είναι ο μέσοςήλιος, ένας φανταστικός ήλιος που περιστρέφεται (φαινομενικά) γύρω από τη γη με την ίδια γωνιακή ταχύτητα. Ο πραγματικός ήλιος έχει μεγαλύτερη γωνιακή ταχύτητα όταν η γη βρίσκεται στο περιήλιο και μικρότερη όταν βρίσκεται στο αφήλιο (2ος νόμος Κέπλερ: η ακτίνα γης-ήλιου διαγράφει ίσα εμβαδά σε ίσους χρόνους).

44. Πως ορίζεται ο δυναμικός χρόνος; Ως η παράμετρος t που εμφανίζεται στις εξισώσεις κίνησης του ηλιακούσυστήματος Πραγματικό νόημα: Όταν παρατηρούμε ένα σώμα του ηλιακού συστήματος (τη γη, ή τη σελήνη) να βρίσκεται σε μία ορισμένη θέση, αποδίδουμε στην αντίστοιχη χρονική στιγμή την τιμή t, κατά την οποία προβλέπεται, από τις εξισώσεις κίνησης, να βρίσκεται το σώμα αυτό στη συγκεκριμένη θέση. Αποτελεί πρακτική υλοποίηση του Νευτώνειου χρόνου Ο δυναμικός χρόνος διαφέρει από το Νευτώνειο χρόνο λόγω σφαλμάτων στη λύση των εξισώσεων κίνησης

45. Πως ορίζεται ο ατομικός χρόνος, πως υλοποείται και ποια είδη ατομικού χρόνου υπάρχουν; Η μονάδα είναι το δευτερόλεπτο ατομικού χρόνουTAI που ορίζεται ίσο με ένα συγκεκριμένο αριθμό ταλαντώσεων του ατόμου του στοιχείου Καίσιο 133, έτσι ώστε να προσεγγίζει το δευτερόλεπτο του παγκόσμιου χρόνου UT1. Η αρχή του συστήματος ορίζεται έτσι ώστε την 1-1-1958: ΤΑΙ = UT1. O TAIυλοποιείται από σύνολο ατομικών ρολογιών καισίου στο γεωειδές, με ευθύνη του Διεθνούς Γραφείου Μέτρων και Σταθμών BIPM (Bureau International des Poids et Mesures). Εκτός από τον ΤΑΙ υπάρχουν άλλα 2 είδη ατομικού χρόνου: Ο χρόνος GPSυλοποιείταιαπό σύνολο ατομικών ρολογιώνμε ευθύνη του Ναυτικού Αστεροσκοπείου των Η.Π.Α. (USNO =United States Naval Observatory) Ο χρόνος UTC, ο οποίος έχει την ίδια μονάδα χρόνου με τον ΤΑΙ, αλλά χαρακτηρίζεται από άλματα 1 δευτερολέπτου σε κατάλληλες χρονικές στιγμές έτσι ώστε η διαφορά με τον ΤΑΙ να είναι λιγότερη από δευτερόλεπτο |UTCUT1| < 0.9 sec. Συνδέονται με τη σχέση UTC = TAI n(1 sec), (n = ακέραιος). Από 1-1-2009η διαφορά είναι n = 34sec.

46. Κεφάλαιο 11 Συστήματα αναφοράς στη γεωδαισία δορυφόρων

47. Ποιοι είναι οι νόμοι του Kepler; (1) H τροχιά κάθε πλανήτη είναι μία έλλειψη με τον ήλιο σε μία από τις εστίες της. (2) Το ευθύγραμμο τμήμα από τον ήλιο σε οποιονδήποτε πλανήτη διαγράφει ίσες επιφάνειες σε ίσους χρόνους. Για δύο σημεία της τροχιάς σε αποστάσεις r1, r2από τον ήλιο οι «επιφανειακές» ταχύτητες είναι ίσες αλλά οι γωνιακές ταχύτητες διαφέρουν (3) Οι κύβοι των μεγάλων ημιαξόνων των τροχιών των πλανητών είναι ανάλογοι προς τα τετράγωνα των περιόδων της περιστροφής τους γύρω από τον ήλιο. Για δύο πλανήτες

48. Ένα πλανήτης στο περίγειο διαγράφει σε ένα μικρό χρονικό διάστημα Δt γνωστή γωνία ΔθΠ. Ποια είναι η αντίστοιχη γωνία ΔθΑ που θα διαγράψει μέσα στο ίδιο χρονικό διάστημα στο αφήλιο; μήκος τόξου εμβαδόν στο περήλιο στο αφήλιο 2ος νόμος Kepler: Έλλειψη = γεωμετρικός τόπος σημείων με σταθερό άθροισμα αποστάσεων από τις εστίες Ε,F:

49. Ένα πλανήτης έχει μεγάλο ημιάξονα τροχιάς k φορές μαγαλύτερο από τη γη. Σε πόσα γήινα χρόνια συμπληρώνει ο πλανήτης αυτός μια περιστροφή γύρω από τον ήλιο; Γη: Πλανήτης: 3ος νόμος Kepler: γήινα χρόνια

50. Ποια είναι η μορφή της τροχιάς δορυφόρου σε κεντρικό πεδίο δυνάμεων και πως καθορίζεται η θέση της στο χώρο; Είνα μια έλλειψη με άξονα του μεγάλου ημιάξονα που ονομάζεται ευθεία των αψίδων και βρίσκεται σε επίπεδο το οποίο τέμνει τον ισημερινό κατά την ευθεία των συνδέσμων. Η θέση της έλλειψης καθορίζεται από 3 γωνίες - Ορθή αναφορά του συνδέσμου ανάβασης Ω : γωνία ανάμεσα στον 1 άξονα του ουράνιου συστήματος και την ευθεία των συνδέσμων (σύνδεσμος ανάβασης) - Κλίση i : δίεδρη γωνία του ισημερινού και του επιπέδου της τροχιάς - Όρισμα του περιγείου ω : γωνία ανάμεσα στην ευθεία των συνδέσμων (σύνδεσμος ανάβασης) και την ευθεία των αψίδων (περίγειο) Ο σύνδεσμος ανάβασης είναι η διεύθυνση του δορθφόρου όταν αυτός περνά από το νότιο στο βόρειο ημισφαίριο (ο σύνδεσμος κατάβασης το αντίθετο) Το περίγειο είναι το κοιντινότερο προς τη γη σημείο της τροχιάς πάνω στην ευθεία των αψίδων (το απόγειο είναι το πλέον απομακρυσμένο)