1 / 40

曲面簡介

曲面簡介. 從 幾何 到 拓樸 邱鴻麟 國立中央大學數學系. 三角形內角和. α + β + γ = ?. 球面三角形. 球面直線的概念 : 大圓. 取材自項武義講義. 球面三角形. 取材自維基百科. 球面三角形內角和公式： ( α + β + γ) - π = 三角形面積 / R 2. 球面三角形內角和. (1/ R 2 = 球面 曲率 ). 例子. 【 阿基米德定理 】 ：半徑為 R 的球面面積等于 4 π R 2. ( α + β + γ) - π = 三角形面積 / R 2 = (½)π. 取材自維基百科. 曲面.

gefjun
Download Presentation

曲面簡介

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 曲面簡介 從幾何到拓樸 邱鴻麟 國立中央大學數學系

  2. 三角形內角和 α + β + γ = ?

  3. 球面三角形 球面直線的概念 : 大圓 取材自項武義講義

  4. 球面三角形 取材自維基百科

  5. 球面三角形內角和公式： (α + β + γ) - π = 三角形面積/R2 球面三角形內角和 (1/R2 = 球面曲率)

  6. 例子 【阿基米德定理】：半徑為 R的球面面積等于4 πR2 (α + β + γ) - π = 三角形面積/R2 = (½)π 取材自維基百科

  7. 曲面 • Closed (封閉的) • Orientable (可定位的)

  8. x ‧ ‧ x 高斯曲率 ‧ x K(x) > 0 K(x) < 0 K(x) = 0 • 曲率:曲面彎曲大小的量化描述•其值有正有負,其絕對值越大,表示彎曲之程度越大• • R3上之閉曲面必有一點p, K(p)>0 p

  9. α γ β 曲面上的三角形 三個邊是由測地線構成

  10. α γ β Gauss-Bonnet 定理(局部) (α + β + γ) - π = ∫△K dA 曲率 K

  11. α γ β Gauss-Bonnet 定理(局部) (α + β + γ) - π = ∫△K dA+ ∫b△kg ds 高斯曲率 K 測地曲率kg

  12. Gauss-Bonnet 定理(整體) ∫S K dA=2πV-πF =2π(V-E+F) ， g=0 3F=2E g=1 χ(S) = V-E+F = 2-2g g=2 g=genus g=n ‧ ‧ ‧

  13. 問題 • K是閉曲面S的高斯區率，則∫SK dA=? • 假如Sg是在R3上的一個閉曲面， g>1，則必有一點p ，其 K(p)<0 S與球面同胚

  14. g=1

  15. g=2

  16. torus ＋ ＋

  17. torus ＋ ＋

  18. Mobius strip

  19. x ． ． -x Project plane x ． Mobiu strip

  20. 封閉曲面分類定理 一個封閉曲面： 1.若是可定位，則必是一個球面或著是一個球面再接若干個把手； 2.若是不可定位，則必是一個球面去掉若干個圓盤，再個個回黏一個Mobius strip

  21. 問題 g= ?

  22. Klein bottle ＋ －

  23. Klein bottle

  24. d 1- 1+ a b 3 c d a 2+ 2- b Klein bottle 1+ a 2+ b 3 c 2- Mobius strip d 1- cylinder c

  25. 計算尤拉數(Sphere) χ(D)=V-E+F =4-6+3 =1 圓板塊D ﹥ χ(S2)=2 =2-2g g=0

  26. 計算尤拉數(1-fold Torus) χ(T1)=V-E+F =1-3+2 =0 =2-2g g=1

  27. b a1 b a b1 b2 a c a c a a1 a2 b b b1 b2 a2 計算尤拉數(g-fold Torus) 2 copies 2 copies

  28. 尤拉公式的應用-正多面體 χ(S2)=2 提出了頂點、邊和面之間數量的一種規範

  29. 五種正多面體—4,6,8,12,20 (4,3) (3,4) (3,3) χ(S2) =V-E+F =2＝＝＞正多面體就這五種 (n,r) , n邊正多邊形 , r條邊會一頂點, n, r>3 (3,5) (5,3)

  30. 證明 r條 n邊正多邊形 r條邊會一頂點 n, r>3 n邊 • 數邊數 得到 nF=2E, rV=2E • 2E/n +2E/r - E=2 or 1/n + 1/r = ½ + 1/E • (i)n=3, 1/r – 1/6=1/E, so r=3,4 or 5; (ii)n=4 , 1/r =1/4+1/E, so r=3, (iii)n=5 , 1/r =3/10+1/E, so r=3 (iv) n>=6, no solution.

  31. 尤拉數 χ(S) = V-E+F = 2-2g = (1/ 2π)∫S K dA

  32. 向量場奇點指標的解釋 S是一個封閉定位曲面, X是只有孤立奇點的向量場。 p奇點, i.e. X(p)=0 奇點的指標: Ind(X,p) 指標=1 Ind(X,p) Ind(X) = p奇點 p 指標= -1 Hopf指標定理: χ(S)=Ind(X)

  33. Hopf指標定理=>χ(S)=V-E+F Proof: +1 -1 -1 +1 +1 T XT -1 +1

  34. Morse理論的解釋 Ind(▽h,a) Ind(h,a) 水位 a0 2 1 a1 -1 Ind(h,a,)=﹟of negative eigenvalue of Hessian of h at a, which a is a non-degenarate critical point. a2 -1 a3 -1 h Tg= 1 a2g-1 -1 a2g -1 a2g+1 1 0

  35. Morse理論的解釋 Theorem(Morse): χ(S)= 2 (-1)iνi i=0 νi=﹟of a : Ind(f,a)=i f : S R is a morse function

  36. 曲率的表示--Gauss-Bonnet定理 2πχ(S) =∫S K dA 陳省身先生在1944年Ann. Math的一篇短文給出Gauss-Bonnet定理的第一個intrinsic的証明,並重証了Hopf指標定理.

  37. 理解成橢圓算子的指標 χ(S)=Ind(D), D is the de-Rham Hodge operator Atiyah-Singer Index Theorem: Ind(D)=∫M ch(σ(D))Td(TMC)

  38. Path integral representation 可透過Supersymmetric理論重証 Gauss-Bonnet定理

  39. 結論 • 可透過空間物件或現象的探討反映出背景空間的拓樸性質 • 因此 • 如何從幾何或物理現象反映出空間拓樸(如時空拓樸)一直是核心問題 • 幾何拓樸學者必須熟透曲面理論

More Related