第二章 导数与微分

1. 第二章 导数与微分 2.1 导数的概念 2-2 函数的和、差、积、商的求导法则 2-3复合函数的求导法则 2-5 高 阶 导 数 2-8 函数的微分

2. y Q p T L O x 图2-1 2.1 导数的概念 • 2.1.1两个实例 • 1. 平面曲线的切线 • 定义1　设曲线L上有一个定点p及一个动点Q，作割线pQ，当Q点沿曲线L 移动并趋近于点p时，如果这条割线的极限位置存在，那么处于极限位置的直线pT就叫做曲线 L在点p处的切线，定点p叫做切点（如图2—1所示）

3. y Q y Q T p0 p0 x 0 0 x 图2-2 引例1.设曲线的L的方程为y=f(x)（见 图2-2)求曲线在点p0(x0,y0)处的切线斜率.

4. 设Q点坐标为 (x0+Δx,f(x0+Δx))，割线p0Q的倾斜角为φ，于是割线p0Q的斜率为 • 当Δx →0时，Q点沿曲线L趋近于点，割线的倾斜角为就趋近于切线的倾斜角。于是割线的斜率的极限（如果存在）就是曲线L在点切线的斜率，即

5. 2.变速直线运动的速度 引例2.设物体做变速直线运动，其运动方程为s=s(t).求物体在t0时刻的瞬时速度。 在时刻t0给时间t以增量 Δt ，求得 Δt 这段时间内的路程增量为 在这段时间内平均速度为 令Δt →0，求平均速度的极限，便得到物体在给定时刻t0的速度为

6. 上两不同问题的共同实质都是函数增量与自变量增量之比在自变量增量趋于零时的极限，此外，还有很多别的理论问题或实际问题，如电流强度、线密度、角速度等，也要求计算这种类型的极限，也就是概念——导数。上两不同问题的共同实质都是函数增量与自变量增量之比在自变量增量趋于零时的极限，此外，还有很多别的理论问题或实际问题，如电流强度、线密度、角速度等，也要求计算这种类型的极限，也就是概念——导数。

7. 2.1.2导数概念 • 1.定义2设函数y=f(x)在点x0及其近旁有定义，当自变量x在x0有增量Δx时，函数有相应的增量 如果 存在，则称f(x)在点x0处的导数存在或可导，这个极限值就称为函数y=f(x)在点x0处的导数，记为 ，即 也可以记为 ， ，

8. 如果上述极限不存在，则称f(x)在x0不可导或导数不存在。如果上述极限不存在，则称f(x)在x0不可导或导数不存在。 • 函数在区间内的导数 函数y=f(x)在区间（a，b）内的每一点都可导，则称函数y=f(x)在区间（a,b）内可导。这时，对于（a，b）内的每一个确定的x，都有唯一的导数值 与之对应,所以 也是x的函数，称它为y=f(x)的导函数，记为： ， ， ， ， 即

9. 显然， 有 = • 2.导数的几何、物理意义 有上面的两个实例及导数的定义可知，f’(x0)=k=tanα表示曲线y=f(x) 在点 (x0,f(x0))处切线的斜率。这就是导数的几何意义。 由此，可得曲线y=f(x) 在点(x0,y0),(y=f(x0))的 • 切线方程为 • 法线方程为 （f’(x0)≠0）

10. 2.1.3求导举例 • 根据导数的定义，求函数 的导数可分为以下三个步骤： （1）求函数的增量： (2)计算比值 : (3)取极限，得所求函数的导数

11. 例1求函数y=c（c为常数）的导数． • 解　（1）求增量：因为y=c，即不论x取何值，y的值总等于c，所以 （2）算比值： （3）取极限： • 即 c’=0 (c为常数）

12. 例2.f(x)=xn,(n∈N）求f’(x) • 解：

13. 一般地，对于幂函数y=xα,(α为任意实数），有 • 例3.设f(x)=sinx,求f’(x). 解：（1） （2) (3)

14. 即 • 类似地，可得

15. 特别，a=e时，有 • 还可得 • 特别 ，当 a=e时，有 • 2.1.4 函数的可导与连续的关系 • 定理1　如果函数y=f(x)在点x=x0处可导，那 么函数在点x0处一定连续．

16. 应当指出，一个函数在某点连续，但在该点的导数却不一定存在．应当指出，一个函数在某点连续，但在该点的导数却不一定存在． • 例如，函数 在点x=0处连续，但它在点x=0处却不可导。 • 因为在x=0处有 而当 时， 当 时， 所以 在x=0不可导。

17. y 0 x 图2-3 • 函数 的图形如下 • 从导数的几何意义来说，曲线 在点（0，0）处的切线的斜率不存在。

18. 2.2 函数的和、差、积、商的求导法则 • 2.2.1函数和、差、积、商的求导法则 • 设函数 ， 都在x处可导,则有 • 法则Ⅰ. • 法则Ⅱ • 推论1. (c为常数) • 推论2. • 法则Ⅲ. • 推论 当u=1时，

19. 2.2.2举例 • 例1.已知 求 解：

20. 例2.已知 y=sin2x,求y’ • 解：因为y=sin2x=2sinxcosx 所以， • 例3.求 的导数. 解： 或写为 用商的求导法则.

21. 例4.y=tanx,求y’ • 解： • 即 • 同法可得：

22. 2.3复合函数的求导法则 2.3.1复合函数求导法则 法则Ⅳ.如果u=φ(x)在x处可导，而y=f(u)在对应的u处可导，那么复合函数y=f[φ(x)]也在x处可导，且有 注：（1）上述法则可推广到有限个中间变量的情形，如y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x)均可导，则复合函数 y=f{φ[ψ(x)]}的导数为

23. （2）对复合函数的求导，关键是要分析清其复合结构，辨清中间变量，求导过程中可不写出中间变量，只要把中间变量所代替的式子默记在心，直接由外向里，逐层求导便可。（2）对复合函数的求导，关键是要分析清其复合结构，辨清中间变量，求导过程中可不写出中间变量，只要把中间变量所代替的式子默记在心，直接由外向里，逐层求导便可。 例1.求 的导数。 解：求解过程写出中间变量：

24. 求解过程不写出中间变量：

25. 2.3.2反三角函数求导公式 • 例2.求y=arcsinx(-1<x<1,-π/2<y<π/2)的导数。 解：因为 则 等式两边都对x求导（注意：这里y是x的函数，所以siny是x的复合函数），得 从而 又因为 ，所以 ，即有 于是得反正弦函数的求导公式

26. 用类似的方法可得：

27. 2.5 高 阶 导 数 • 2.5.1高阶导数的概念 • 定义：若y=f(x)的导数f’(x)仍然可导，则f’(x)的导函数叫做y=f(x)的二阶导数，记为 即 相应地， f’(x)叫做f(x)的一阶导数。 类似地， y=f(x)的二阶导数的导数叫做y=f(x)的三阶导数，三阶导数的导数叫做y=f(x)的四阶导数，…，一般的 y=f(x) 的n-1阶导数的导数叫做y=f(x)的n阶导数，它们分别记为

28. 或 或 二阶或二阶以上的导数统称为高阶导数。 例1.求y=lnx的二阶导数。 解：因 所以

29. 例2.求 的三阶导数。 解： 一般地， 有 例3.求 的n阶导数。 解： 特别地，

30. 2.5.2二阶导数的力学意义 由导数的物理意义可知，若物体作直线运动，其运动方程为s=s(t),则物体在时刻t的瞬时速度为 此时，速度v仍是时间t的函数，因此我们可以求速度v对时间t的导数 这个导数是速度v对时间t的变化率，它反映了速度变化的快慢程度。在力学中，把它叫做运动物体在给定时刻t的加速度。因此，物体做直线运动的加速度a就是路程s对时间t的二阶导数，即 这就是二阶导数的力学意义。

31. x Δx X▽ x 图2-7 2.8函数的微分 • 2.8.1两个实例 • 引例1.一块正方形金属薄片，当受冷热影响时，其边长由x变到x+Δx，此薄片Δx面积s改变量为多少？ 如图所示，因为s=x2， 所以，（x+ Δx)2-x2 =2x Δx+(Δx)2

32. 可见，当Δx绝对值很小时，Δs≈ 2x Δx =s’(x )Δx 引例2.已知自由落体的路程s与时间t的关系是 求它由时刻t到t+Δt所经过的路程的近似值。 由已知可得， 可见，当，有 Δs≈gt Δt= s’(t )Δt 以上两个问题虽意义不同，但在数量关系上却有共同点，这对一般函数也成立。 定理1：设f(x)在x可导，则当Δx的绝对值很小时，有 Δy≈f’(x) Δx

33. 2.8.2微分的概念 定义：设y= f(x)在点x可导，则称f’(x)Δx为f(x) 在x的微分，记作 dy或df(x)，即 dy= f’(x)Δx 并且说f(x)在点x可微。 如对y=x,有dy=x’ Δx=Δx,即dx=Δx，于是，有 （导数也称为“微商”） 定理2：设y= f(x)，则可微与可导等价。 由定理1及微分概念可知，当Δx绝对值很小时,有

34. 或 上式中令 ，则上式也可写成 上面公式可用来计算函数增量或f(x)在x0点附近的 近似值。 例1.计算 的近似值。 解：设 ，取 因为

35. 所以由公式 可得 2.8.3微分运算 根据函数微分的定义 可知，从导数的基本公式和法则就可以直接推出微分的基本公式和法则. ，

36. （1） (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

37. (11) (12) (13) (14) (15) (16) 2.函数的和、差、积、商的微分法则 设u和v都是x的可微函数，c为常数，则 (1) (2)

38. (3) (4) (5) 3.一阶微分形式的不变性 设y=f(u),当u为自变量时,dy=f’(u)du, 当u不是自变量,而是另一个变量的函数u=φ(x),则有dy=y’dx=f’[φ(x)]φ’(x)dx,但 φ’(x)dx=du,故dy=f’(u)du,即不论u是自变量或中间变量,y=f(u)的微分形式都是一样的,这一特性叫做一阶微分形式的不变性.

39. 例1.求 的微分. 解1 根据微分的定义，有 解2 根据微分形式的不变性，有

40. 例2. 求 的微分 . 解1 根据微分的定义，有 解2 根据微分形式的不变性，有

41. 第三章 导数的应用 3.1 拉格朗日中值定理与罗尔定理 3.2 函数的单调性与极值 3.3 函数的最大值与最小值 3.4 曲线的凹凸性与拐点

42. 3.1 拉格朗日中值定理与罗尔定理 • 3.1.1 拉格朗日中值定理 定理1.如果f(x)满足： （1）在闭区间[a,b]上连续； （ 2）在开区间(a,b)内可导，那么在区间(a,b) 内至少有一点ξ，使得 注：（1） ξ位于a与b之间，a<b或a>b均可； （2）拉格朗日公式也可写为

43. 推论1.如果f(x)在区间(a,b)内的导数恒为零，那么f(x)在区间(a,b)内是一个常数。推论1.如果f(x)在区间(a,b)内的导数恒为零，那么f(x)在区间(a,b)内是一个常数。 • 推论2.如果在(a,b)内有f’(x)=g’(x)，则 f(x)=g(x)+c 3.1.2 罗尔定理 定理2.如果f(x)满足下列条件： （1）闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； （3）f(a)=f(b). 则在(a,b)内至少有一点ξ，使得f’(ξ)=0. 注：罗尔定理是拉格朗日定理当f(a)=f(b)时的特殊情况。

44. y y B B A A O O x x 3.2 函数的单调性与极值 • 3.2.1 函数单调性的判定 • 观察分析下图中各点切线倾斜角特点： 由图得到启示：可用f’(x)的符号来判断函数的单调性。

45. 定理1.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则有结论：若在(a,b)内f’(x)>0 (f’(x)<0),则f(x)在[a,b]上单调递增（递减）。 • 由此可得，求y=f(x)的单调区间步骤如下： （1）求出f(x)的定义域和f’(x)； （2）求出f’(x)=0的点（称这样的点为驻点）和f’(x)不存在的点（即不可导点）； （3）分别讨论f’(x)在驻点或不可导点（统称为可疑点）分定义域为诸小区间内的符号，从而可求得单调区间。

46. 例1.求 的单调区间。 解：定义域为 ， ， 令 为方便，将讨论结果列表如下： 所以，的单调减区间为 ， 单增区间

47. 例2.求 的单调区间。 解：定义域为 ， 令 ，得 ，当 时， 不存在。 列表讨论如下： 所以，单调减区间为 ，单调增区间为

48. 3.2.2函数的极值 • 1. 函数极值的定义 定义：如果对 附近任意 都有 （ ）成立，则称 为极大（极小）值。 函数的极大、极小值统称为极值，使函数取极值的点成为极值点。 注：函数的极值是局部性的，他只限于 的某一邻域内；在一个区间上，函数可能有几个极大、极小值，也可能会有极大值小于极小值的情况。

49. 极值点与导数的关系: 定理2若 是函数 的极值点，则 或 不存在。 注：该定理的逆不真，即若有 或 不存在，则 不一定是函数的极值点。 2.函数极值的判定和求法 定理3.设 在点 连续，且在 的去心邻域内可导， （1）当 时， ；当 时， 则 为极大值； （2）当 时， 当 时， 则 为极小值；

50. （3）当在 两侧 不变号时，则f(x)在 无极值。 由此得到求连续函数f(x)的极值点和极值的步骤： （1）求出函数的定义域； （2）求出导数 ； （3）在定义域内求出驻点与导数不存在的点； （4）用上述点将定义域划分为部分区间，考察每个部分区间内 的符号，利用上一定理判定这些点是否为极值点，如果是极值点，确定是极大值点还是极小值点。