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2.4.1 空间直角坐标系

2.4.1 空间直角坐标系. 一．空间直角坐标系. 为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点 O 作为原点，过 O 点作 三条两两垂直的数轴 ，通常用 x 、 y 、 z 表示 . 轴的方向通常这样选择：从 z 轴的正方向看， x 轴的半轴沿逆时针方向转 90° 能与 y 轴的半轴重合 . 这时，我们在空间建立了一个直角坐标系 O － xyz ， O 叫做坐标原点. 如何理解空间直角坐标系？. 1 ．三条坐标轴 两两垂直 是建立空间直角坐标系的基础；

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2.4.1 空间直角坐标系

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Presentation Transcript

  1. 2.4.1 空间直角坐标系

  2. 一．空间直角坐标系 为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作为原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z表示. 轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合. 这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O－xyz，O叫做坐标原点.

  3. 如何理解空间直角坐标系？ 1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础； 2．在空间直角坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合；

  4. 3．让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系；3．让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系； 4．在平面上画空间直角坐标系O－xyz时，一般情况下使∠xOy=135°，∠yOz=90°.

  5. 二．空间点的坐标 1．点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz，这样构造的平面同样垂直于x轴，这个平面与x轴的交点记为Px，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标； 2．点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz，这样构造的平面同样垂直于y轴，这个平面与y轴的交点记为Py，它在y轴上的坐标为y，这个数y就叫做点P的y坐标；

  6. 3．点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy，这样构造的平面同样垂直于z轴，这个平面与z轴的交点记为Pz，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标；3．点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy，这样构造的平面同样垂直于z轴，这个平面与z轴的交点记为Pz，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标； 这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序实数作为它的坐标，记做P(x，y，z)，其中x，y，z也可称为点P的坐标分量.

  7. 1．在空间直角坐标系中，每两条轴分别确定的平面xOy、yOz、xOz叫做坐标平面；1．在空间直角坐标系中，每两条轴分别确定的平面xOy、yOz、xOz叫做坐标平面； 2．坐标平面上点的坐标的特征： xOy平面（通过x轴和y轴的平面）是坐标形如（x，y，0）的点构成的点集，其中x、y为任意实数

  8. 同理：yOz平面（通过y轴和z轴的平面）是坐标形如（0，y，z）的点构成的点集，其中y、z为任意实数；同理：yOz平面（通过y轴和z轴的平面）是坐标形如（0，y，z）的点构成的点集，其中y、z为任意实数； xOz平面（通过x轴和z轴的平面）是坐标形如（x，0，z）的点构成的点集，其中x、z为任意实数；

  9. 3．坐标轴上点的特征： x轴是坐标形如（x，0，0）的点构成的点集，其中x为任意实数； y轴是坐标形如（0，y，0）的点构成的点集，其中y为任意实数； z轴是坐标形如（0，0，z）的点构成的点集，其中z为任意实数。

  10. 4．卦限 在空间直角坐标系中，三个坐标平面把空间分成八部分，每一部分称为一个卦限； 在坐标平面xOy上方的四个象限对应的卦限称为第I、第II、第III、第IV卦限； 在下面的卦限称为第V、第VI、第VII、第VIII卦限； 在每个卦限内，点的坐标的各分量的符号是不变的，例如在第I卦限，三个坐标分量x、y、z都为正数；在第II卦限，x为负数，y、z均为正数；

  11. 八个卦限中点的坐标符号分别为： I： （ + ，+ ，+ ）； II： （ － ，+ ，+ ）; III： （ － ，－ ，+ ）； IV： （ + ，－ ，+ ）； V： （ + ，+ ，－ ）； VI： （ － ，+ ，－ ）； VII：（ － ，－ ，－ ）； VIII：（ + ，－ ，－ ）；

  12. 例1．正方体的棱长为2，求各顶点的坐标. 解：由图可知，正方体的各个顶点的坐标如下: A(0，0，0)，B(2，0，0)， C(2，2，0)，D(0，2，0)， A1(0，0，2)，B1(2，0，2)， C1(2，2，2)，D1(0，2，2)，

  13. 例2．在空间直角坐标系中，写出点P(x，y，z)的对称点的坐标:例2．在空间直角坐标系中，写出点P(x，y，z)的对称点的坐标: （1）关于x轴的对称点是P1； （2）关于y轴的对称点是P2； （3）关于z轴的对称点是P3； （4）关于原点的对称点是P4； (x, －y, －z) (－x, y, －z) (－x, －y, z) (－x, －y, －z)

  14. （5）关于xOy坐标平面的对称点是P5； （6）关于yOz坐标平面的对称点是P6； （7）关于xOz坐标平面的对称点是P7. (x，y，－z) (－x，y，z) (x，－y，z)

  15. 例3．有下列叙述： ①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是（0，b，0）； ②在空间直角坐标系中，在yOz平面上点的坐标一定可以写成（0，b，c）； ③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记为（0，0，c）； ④在空间直角坐标系中，在xOz平面上点的坐标可写为（a，0，c）. 其中正确的叙述的个数是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 C

  16. 例4．点A(－3，1，5)，点B(4，3，1)的中点坐标是（ ） （A） （B） （C）(－12，3，5) （D） B

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