باب پنجم از مقاله اول مفتاح الحساب

1. باب پنجم از مقاله اول مفتاح الحساب • این باب از مفتاح الحساب مختص به استخراج ریشه nام اعداد صحیح است • کاشانی می گوید که قوه سوم را مکعب ونیز کعب می گویند وآنگاه کعبش را به ناچار (ضلع) باید خواند تا مشتبه نشود • قوه ششم را (کعب کعب)نامیده است برای نامیدن قوای بعدی قاعده آن است که نخستین لفظ (کعب)را به (مال مال) تبدیل کنند تا قوه بعدی بدست آید وسپس به ترتیب یکی از (مال)ها را به (کعب) وبعد (مال) دیگر را نیز به کعب تبدیل کنند وهمواره لفظ مال را بر لفظ کعب مقدم دارند بنابراین قوه هفتم می شود (مال مال کعب) وقوههشتم می شود (مال کعب کعب) و قوه دهم می شود (مال مال کعبکعب) وغیره

3. عدد7 • کاشانی می نویسد جذر در منزل اول ومال در منزل دوم وکعب در منزل سوم است واگر بخواهیم عددمنزل (نما) یک مضلع(قوه) را بدانیم باید برای هر(مال) عدد 2 و برای هر(کعب) عدد 3 را بگیریم و همه اعداد حاصل را با هم جمع کنیم .مثلا : • عدد منزل (مال مال کعب) • وعدد منزل (مال مال کعب کعب) • هرگاه عدد منزل را داشته باشیم و بخواهیم اسم مضلع را بیابیم اگر آن عدد بر 3 قسمت پذیر باشد آن را بر 3 تقسیم می کنیم و به عده آحاد خارج قسمت لفظ کعب را تکرار می کنیم. مثلا: • اگر عدد منزل9 باشد • اما اگر عدد منزل بر 3 قسمت پذیر نباشد آن قدر عدد 2 را از آن کم می کنیم تا بر 3 قسمت پذیر شود وبه ازای هر 2 یک لفظ (مال) وبه عده آحاد خارج قسمت تقسیم باقیمانده بر 3 لفظ (کعب) را می گوئیم و مال ها را بر کعب ها مقدم می داریم .مثلا: • اگر عدد منزل 8 باشد • اگر عدد منزل 7 باشد عدد 10 اسم مضلع کعب کعب کعب اسم مضلع مال کعب کعب اسم مضلع مال مال کعب

4. کاشانی اصطلاح (مضلع) را که قبلابه عنوان اسم عام برای قوای اعداد به کار برده بود برای عددی به کار می برد که ریشه nام آن مورد نظراست ومی نویسد :( هر عدد که ریشه nام درست داشته باشد آن را (مضلع منطق) می نامند واگر ریشه nام درست نداشته باشد آن را (مضلع اصم) می گویند.) مثلا: • عدد 81 از حیث جذر مضلع منطق است زیرا ریشه دوم (=جذر) درست آن عدد 9 می باشد همین عدد باز ازحیث ریشه چهارم منطق است زیرا ریشه چهارم درست آن عدد 3 است اما 81 مثلا از حیث ریشه سوم و ریشه پنجم دیگر مضلع منطق نیست • مضلع های منطق همه در مرتبه آحاد واقع می شوند و اموال منطق در مرتبه دهگان ومرتبه هزارگان قرار نمی گیرد بلکه در مرتبه صدگان وده هزارگان واقع می شود اما مکعب در مرتبه هزارگان وسپس در مرتبه هزارهزارگان قرار می گیرد وطریقه شناسائی آن است که از مرتبه آحاد شروع کنیم ومراتب را به عده منزل های هر مضلعی (=نمای هر قوه) که می خواهیم بگیریم وآنرا دور منطق واصم بنامیم وسپس دور دیگری به همان عده بگیریم وعمل را ادامه دهیم .آن مضلع درمرتبه اول هر دور منطق ودر باقی مراتب اصم است از این رو معلوم می شود که مجذور در یک مرتبه واقع می شود ودر مرتبه بعدی آن واقع نمی شود ومکعب در یک مرتبه واقع می شود ودر دو مرتبه بعدی واقع نمی شودو مال مال در یک مرتبه واقع می شود ودر سه مرتبه بعد از آن واقع نمی شود

5. دور • دور(ج .ادوار) به این مفهوم است که اگراز عددی مثلا بخواهیم ریشه سوم بگیریم ارقام آن عدد را از سمت راست سه به سه جدا میکنیم وهر دسته سه رقمی را دور مینامیم واگر از همان عدد بخواهیم ریشه چهارم استخراج کنیم ارقام آن را ازسمت راست چهار به چهار جدا میکنیم این بار هر دور دارای چهار رقم است • عددی که می خواهیم ازآن ریشه بگیریم در مرتبه اول هر دور منطق ودر مرتبه های دیگر آن دور اصم است • مثلا : • اگر بخواهیم از عدد 7930284561 ریشه چهارم استخراج کنیم ارقام آنرا از سمت راست چهار به چهار جدا میکنیم 79.3028.4561 • 4561 دور اول ورقم 1در مرتبه اول آن واقع است عدد 3028 دور دوم است ورقم 8در مرتبه اول آن قرار دارد • ارقام قرمز رنگ به گفته کاشانی برای ریشه چهارم در مرتبه های منطق واقع اند وبقیه ارقام برای همان ریشه در مرتبه های اصم قرار دارند

6. استخراج جذر a 5 7 b 6 c • ابتدا با مثالی استخراج جذر عدد 331781 را با روش ساده شده کاشانی نقل می کنیم • جذر این عدد 576 و باقیمانده آن 5 است • عدد 331781 را از سمت راست به دورهای دو رقمی جدا می کنیم برای تشریح عمل استخراج جذر عده صدگان جذر (یعنی ] 00[ 5) رابا حرف a وعده دهگان آن (یعنی ]0[ 7) را با حرف b ورقم یکان آن را با حرف c نشان می دهیم

7. 5 7 2 5 • ابتدا بزرگترین عدد صحیح a را بقسمی می یابیم که داشته باشیم ] 1781[ 33 =q a²< • به این ترتیب عدد ] 00[ 5a= حاصل می شود این عدد را در ردیف جذر در مرتبه اول دور سوم می نویسیم و همچنین به محاذات آن در پائین جدول در فاصله مناسب ثبت می کنیم • سپس ] 0000[ 25 =a² را از ] 1781[ 33q= کم کرده حاصل یعنی ] 0000[ 8را در زیر ] 1781[ 33 می نویسیم • بعد در بالای رقم 5 که در پائین جدول نوشتیم خطی افقی رسم وآن را از حوزه عمل خارج می کنیم و به جای آن عدد ] 00[ 10a= 2 را یک رقم به طرف راست دربالای خط می نویسیم.آنگاه عددb رابه قسمی جستجومی کنیم که : • a²(2a+b)b<=q- • یعنی 10[00]b+b²<=817[81] • عددb=7رامی یابیم رقم 7رادرمرتبه اول ودوردوم می نویسیم وهمچنین آن رادرپایین جدول سمت راست 10ثبت می کنیم به این نحوعددزیربدست می آید: • 2a+b=107[0] 8 7 1 0 7 5

8. نتیجه جذر 5 7 6 6 • (2a+b)b=107[0]×7[0] • راحساب می کنیم می شود749[00]این عددراازباقیمانده اول یعنی 817کم میکنیم می شود68[00]سپس دربالای 107[0]یک خط افقی رسم می کنیم وآن راازحوزه عمل خارج مینماییم ودرعوض عدد2a+2b=114[0]رایک رقم به طرف راست دربالای خط مذکورمی نوسیم • وبالاخره رقم cراقسمی جستجو می کنیم که داشته باشیم • (2a+2b+c)c<=q-a²-(2a+b)bیعنی • 1140c+c²<=6881 • ورقمc=6رامی یابیم و6راکه رقم یکان جذراست درمرتبه یکان دوراول می نوسیم ومانندقبل رقم 6رانیزدرپایین ودرسمت راست1140[0]می نوسیم و(2a+2b+c)c=6876 • راازعدد6881کم می کنیم باقیمانده جذر یعنی 5بدست می آید 4 9 6 8 6 8 7 6 5 5 1 1 4 6

9. نتیجه: • بنا بر آنچه که گذشت استخراج جذر مبنی بر اتحاد زیر می باشد • (a+b+c+…) ²= =a²+(2a+b)^b+(2a+2b+c)^c+…

10. کسر اصطلاحی • اگرعددی مانندT=a+b+c+…جذردرست نداشته باشدکاشانی کسری به باقیمانده جذراضافه می کندوآن راکسراصطلاحی می نامد • درمثال قبل کاشانی جذرعدد331781رامساوی با • 576 5/1153محسوب می داردوآن راجذرتقریبی اصطلاحی می نامد. • صورت کسرv=5/1153همان باقیمانده جذریعنی عدد5است ومخرج آن 2a+2b+c=1146که آخرین عددپایین جدول راباc=6 جمع کرده ویک واحدبه آن اضافه می کندیعنی درواقع • (576) ²)=5/(2*576+1) -v=5/((577) ² • به طورکلی اگرجذربه صورت T=a+b+c+…وباقیمانده آن rباشدداریم v=r/(T+1) ²-(T) ²=r/2T+1 ودستوراستخراج جذراین است T+r/(2T+1)=(T²+r)½

11. استخراج ریشه nام توسط کاشانی • به عنوان مثال ازعدد44240899506197ریشه پنجم استخراج می کنیم • الف-ارقام عددمفروض راازسمت راست بدسته های 5رقمی تفکیک می کنیم وآن هارابا خطوط قائم مضاعف ازیکدیگرجدامی نمائیم ونیزهمه ارقام عددراباخطوط قائم ساده ازیکدیگرمجزا می کنیم عددمفروض به 3دورتقسیم می شود که دور اول آن ازسمت راست عدد06197است ودور آخر آن فقط چهاررقم دارد4424 • 4424||08995 ||06197 • سپس پنج صف افقی مستطیل شکل در زیر عددمفروض تشکیل می دهیم وازبالابه پائین به ترتیب آنهارا صف عددوصف قوه چهارم وصف قوه سوم صف قوه دوم وصف پائین می نامیم ودربالای عدد مفروض نیز خانه ای برای نوشتن ریشه تشکیل می دهیم وآن راسطر خارج می نامیم

12. استخراج ریشه nام توسط کاشانی • ب-برای تعیین نخستین رقم سمت چپ ریشه مطلوب ریشه پنجم نخستین دور سمت چپ (یعنی عدد4424)را که یک رقمی است با امتحان کردن ارقام مختلف می یابیم عددپنج حاصل می شوداین 5رادربالای مرتبه منطق دور سوم یعنی دربالای رقم 4مینویسیم ونیز آن رادر پایین صف پایه به محاذات 5فوقانی ثبت می کنیم سپس قوای متوالی عدد5رادرپایین صفهای همنام خود می نویسم به این ترتیب که مربع آن یعنی 25رادرپایین صف قوه دوم ومکعب آن یعنی 125رادر پایین صف قوه سوم وبه همین ترتیب تا قوه پنجم رادرصف عدد مفروض می نویسیم به قسمی که یکان هریک ازاین اعداددرست به محاذات مرتبه منطق دور مربوط قرارگیردوزیر 3125خط افقی رسم می کنیم وآن را ازدور اول کم می کنیم وباقیمانده را زیر خط افقی می نویسیم 5 4 4 2 4 0 8 9 9 5 0 6 1 9 7 3 1 2 5 1 2 9 9 625 125 25 5

13. استخراج ریشه nام توسط کاشانی • ج-برای تعیین دومین رقم ریشه : • 1.(برای صف قوه چهارم) 5هایی راکه درصف پایه ودرصف عددنوشته بودیم باهم جمع می کنیم وحاصل یعنی 10رادرصف پایه دربالای 5می نویسیم • سپس 10رادرعددسطرخارج یعنی 5ضرب کرده حاصل 50رادرصف قوه دوم می نوسیم بطوریکه رقم یکان آن درستون مرتبه منطق دوراخیرواقع شود و50 رابا25جمع می کنیم وحاصل (75)رادربالای 50مینویسیم. • 75رادر5ضرب می کنیم وحاصل (375) را در صف قوه سوم نوشته وبا عدد قبلی در آن صف جمع می کنیم وحاصل (500) را در بالای 375 می نویسیم • حال 500 را در 5 ضرب میکنیم وحاصل را (2500) در صف قوه چهارم نوشته وبا 625 جمع میکنیم وحاصل(3125) را در بالای آن می نویسیم 5 4 4 2 4 0 8 9 9 5 0 6 1 9 7 1 2 9 9 2500 625 3125 375 125 500 50 25 75 10 5

14. استخراج ریشه nام توسط کاشانی • 2. ( برای صف قوه سوم) 5 را با 10 که در صف پایه نوشته بودیم جمع می کنیم وحاصل را(15) در بالای 10 می نویسیم • باز 15 را در 5 ضرب می کنیم وحاصل را (75) در صف قوه دوم در بالای 75 نوشته وبا آن جمع می کنیم وحاصل (150) را در بالای 75 می نویسیم • باز 150 را در 5 ضرب می کنیم و حاصل (750) را در قوه سوم در بالای 500 قبلی می نویسیم وآنها را با هم جمع می کنیم وحاصل یعنی 1250 را در بالای 750 می نویسیم 5 4 4 2 4 0 8 9 9 5 0 6 1 9 7 1 2 9 9 3125 750 1250 500 75 150 75 15 10

15. استخراج ریشه nام توسط کاشانی • 3.(برای صف قوه دوم) 5 را با 15 که در صف پایه نوشته بودیم جمع می کنیم وحاصل را(20) در بالای 15 می نویسیم • باز 20 را در 5ضرب می کنیم وحاصل را (100) در صف قوه دوم در بالای 150 نوشته وبا آن جمع می کنیم وحاصل (250) را در بالای 100 می نویسیم 5 4 4 2 4 0 8 9 9 5 0 6 1 9 7 1 2 9 9 3125 1250 100 250 150 20 15

16. استخراج ریشه nام توسط کاشانی • 4.(برای صف پایه) 5 را با 20که در صف پایه نوشته بودیم جمع می کنیم وحاصل را(25) در بالای 20 می نویسیم • اکنون در صف پایه عدد25 ودر صف قوه عدد 250 در صف قوه سوم عدد1250 ودر صف قوه چهارم عدد 3152نوشته شده است 5 4 4 2 4 0 8 9 9 5 0 6 1 9 7 1 2 9 9 3125 1250 250 25 20

17. استخراج ریشه nام توسط کاشانی • د- اینک باید اعداد فوق را انتقال دهیم عددی را که در صف قوه چهارم نوشته شده (یعنی3125 را) یک رقم به سمت راست انتقال می دهیم ودر یک سطر بالاتر می نویسیم وعددی را که در صف قوه سوم نوشته شده (یعنی1250را) دو رقم به سمت راست انتقال می دهیم ودر یک سطر بالاتر می نویسیم وعددی را که در صف قوه دوم نوشته شده (یعنی250را) سه رقم به سمت راست انتقال می دهیم ودر یک سطر بالاتر می نویسیم و بلاخره وعددی را که در صف پایه نوشته شده (یعنی25را) چهار رقم به سمت راست انتقال می دهیم ودر یک سطر بالاتر می نویسیم. به این ترتیب عددی که در صف پایه پس از انتقال نوشته ایم (یعنی25) مرتبه یکانش به محاذات مرتبه دهگان دور دوم قرار می گیرد 5 4 4 2 4 0 8 9 9 5 0 6 1 9 7 1 2 9 9 312 5 3125 12 50 1250 250 250 25 25

18. استخراج ریشه nام توسط کاشانی • ه- اکنون باید در جستجوی عدد یک رقمی مانند m برآئیم به طوری که اگرآنرا درصف پایه درسمت راست 25 بنویسیم تاm+25*10 m =25 حاصل شود • وسپس این عدد را در m ضرب کرده با آنچه در صف قوه دوم انتقال داده بودیم با در نظر گرفتن مراتب جمع می کنیم • وحاصل را درm ضرب کنیم و با آنچه در صف قوه سوم نوشته بودیم با در نظر گرفتن مراتب جمع می کنیم • وباز حاصل را در m ضرب کرده ونتیجه را با آنچه در صف قوه چهارم بود جمع می کنیم حاصل اخیر را ازآنچه در دور سمت چپ در صف عدد نوشته شده است کم می کنیم 5 3 4 4 2 4 0 8 9 9 5 0 6 1 9 7 1 2 9 9 2 4 2 1 3 5 0 2 1 0 5 6 9 5 4 9 3 39 8 1 8 3 1 312 5 352 3 1 8 3 1 7 7 2 7 7 12 50 1 3 2 7 2 7 7 759 2 5 0 2 5 7 5 9 25 3 m M = 3

19. استخراج ریشه nام توسط کاشانی • اینک باید تمام اعمالی را که درباره رقم 5انجام دادیم در مورد عدد 3 انجام دهیم پس از انجام این اعمال • درصف پایه 265 • درصف قوه دوم 28090 • درصف قوه سوم 1488770 • درصف قوه چهارم 39452405 • ودر نتیجه ریشه پنجم عدد 536 وباقیمانده این ریشه 21 می باشد 5 5 3 6 3 4 4 2 4 0 8 9 9 5 0 6 1 9 7 21 3 9 4 5 2 4 0 5 1 4 8 8 7 7 0 2 8 0 9 0 2 6 5

21. استخراج ریشه nام توسط کاشانی • کاشانی برای اینکه ریشه 536 دقیقتر باشد کسری به آن می افزاید 21 536 + [(537)^5]-[(536)^5] 21 536 = 414 237 740 281

22. استخراج ریشه nام توسط کاشانی به طور کلی • اگر ریشه n ام را T وباقیمانده آن را r بنامیم کسری که برای اصلاح باید به ریشه n ام افزود عبارت است از: r [(T+1)^n]-(T)^n

23. استخراج ریشه nام توسط کاشانی • برای محاسبه مخرج اصطلاحی اعدادی را که در فوق صفهای چهارگانه بدست آمده است باهم جمع کرده ویک واحد به آنها می افزائیم تا مخرج اصطلاحی حاصل شود + 4 1 2 6 9 4 9 5 8 0 8 0 صف قوه چهارم 1 5 3 9 9 0 6 5 6 0 صف قوه سوم 2 8 7 2 9 6 0 صف قوه دوم 2 6 8 0 صف پایه 4 1 4 2 3 7 7 4 0 2 8 1 مجموع اعداد فوق به اضافه یک

24. دستور محاسبه xª-yª • مثال: می خواهیم (5^4 )-(5^5) را حساب کنیم • صفوفی برای قوای که از قوه پنجم کوچکترند تشکیل می دهیم ودر آنها اصول مربوط به پنجم را در یک ستون می نویسیم ودرستون دیگر عدد کوچکتر یعنی 4 را در صف پایه ومربع آنرا در صف قوه دوم ومکعب آنرا در صف قوه سوم و قوه چهارم آن را در صف قوه چهارم می نویسیم سپس اعدادی را که در هر صف واقع شده در عدد نظیر خود از ستون قوه ها ضرب می کنیم و حاصل ها را در ستون دیگری می نویسیم وبعد اعدادی را که در ستون حاصل ضربها نوشته شده با هم جمع می کنیم و یک واحد به حاصل جمع می افزائیم عدد 2101 بدست می آید

25. دستور محاسبه xª-yª حاصلجمع 2100 1 2101

26. دستور محاسبه xª-yª • هر گاه بخواهیم تفاضل یک قوه از دو عدد غیر متوالی مثل (5^4)-(5^7) را بدست آوریم ستون دیگری به جدول قبلی اضافه می کنیم ودر آن قوای متوالی تفاضل دو عدد یعنی 3=4-7 را می نویسیم به قسمی که تفاضل در صف قوه چهارم ومربع آن در صف قوه سوم ومکعب آن در صف قوه دوم وقوه چهارم آن در صف پایه قرار گیرد سپس اعدادی را در ستون حاصل ضرب ها واقع شده اند در اعداد نظیر آنها از ستون قوای تفاضل ضرب می کنیم وحاصل ضربهای اخیر را با هم جمع می کنیم و قوه پنجم تفاضل یعنی 243=(5^3) را به آن می افزائیم عدد حاصل همان تفاضل قوای مطلوب است.

27. دستور محاسبه xª-yª 15540 243 15783