膜相互作用及相关动力学

University of Science and Technology of China 膜相互作用及相关动力学导师：卢建新教授吴荣俊中国科学技术大学交叉学科理论研究中心 2010 年 5 月 18 日

内容 • 膜知识简介 • 膜的相互作用 • 膜的动力学 • 总结

膜知识简介

弦弦论：弦的不同振动模式对应不同的粒子时间点粒子开弦闭弦

p-膜 • 0-维点粒子（0-膜） 1-维弦（1-膜） 2-维 2-膜 3-维 3-膜 p-维…p-膜 • p-膜：空间中 p 维的延展体，世界体为 p+1 维

p-膜 • 0-维点粒子（0-膜） 1-维弦（1-膜） 2-维2-膜 3-维3-膜 p-维…p-膜 • p-膜：空间中 p 维的延展体，世界体为 p+1 维 …

p-膜 • 0-维点粒子（0-膜） 1-维弦（1-膜） 2-维 2-膜 3-维 3-膜 p-维…p-膜 • p-膜：空间中 p 维的延展体，世界体为 p+1 维 …

p-膜 • p-膜的 Nambu-Goto 作用量在 p-膜世界体上选取 1 个类时参数 σ0和 p个类空参数 σi （i = 1、. . .、p），则 p-膜的 Nambu-Goto 作用量为其中 Tp是膜的张力，Gαβ 为世界体上的诱导度规 • 当 p = 1 时，上述作用量即为弦的的 Nambu-Goto 作用量。

D-膜 D-膜 • 开弦中满足 Dirichlet 边界条件的端点所在的超曲面 1 D-膜带 R-R 荷，是超弦理论中的 BPS 态且保持 ½ 时空超对称。 • 超引力中带有守恒荷的极端黑膜解 2 黑膜带 R-R 荷，是超引力理论中的 BPS 态且保持 ½ 时空超对称。 D-膜 D-膜 1 J. Polchinski, Phys. Rev. Lett. 75, 4724 (1995). 2 M.J. Duff, R.R. Khuriand J.X. Lu, Phys. Rept. 259, 213 (1995).

D-膜的有效作用量 • D-膜上附着的开弦体现了膜的动力学，在低能标下可只考虑开弦的无质量模从而建立起 D-膜世界体上的低能有效作用量。 • 对于单张 D-膜，其作用量可以写成其中 DBI 作用量为 Chern-Simons 作用量为（P 表示从时空到世界体的 pullback，外层中括号的下标 p+1 指在展开中只取 (p+1)-形式项。）

D-膜的有效作用量 • D-膜上附着的开弦体现了膜的动力学，在低能标下可只考虑开弦的无质量模从而建立起 D-膜世界体上的低能有效作用量。 • 对于单张 D-膜，其作用量可以写成其中 DBI 作用量为 Chern-Simons 作用量为（P 表示从时空到世界体的 pullback，外层中括号的下标 p+1 指在展开中只取 (p+1)-形式项。） p+1 维的 U(1) 超 Yang-Mills 理论

D-膜的有效作用量 • 对于 N张 D-膜，由于在每一对 D-膜 {m，n} 之间都存在一组非阿贝尔的无质量场 (Aα)mn、(Xi)mn 与连接在第 m张 D-膜和第 n张 D-膜之间的开弦相关联。将这些非阿贝尔的场视为矩阵，这样对单张 D-膜的作用量作适当的改写便可得到描述多张 D-膜的非阿贝尔作用量。比如说，非阿贝尔 DBI 作用量可写为（Tr 指对规范指标求迹）

D-膜的有效作用量 • 对于 N张 D-膜，由于在每一对 D-膜 {m，n} 之间都存在一组非阿贝尔的无质量场 (Aα)mn、(Xi)mn 与连接在第 m张 D-膜和第 n张 D-膜之间的开弦相关联。将这些非阿贝尔的场视为矩阵，这样对单张 D-膜的作用量作适当的改写便可得到描述多张 D-膜的非阿贝尔作用量。比如说，非阿贝尔 DBI 作用量可写为（Tr 指对规范指标求迹） p+1 维的 U(N) 超 Yang-Mills 理论

通过背景场构造低维 D-膜 • 单张 D-膜的 Chern-Simons 作用量（表示对所有可能的 k-形式 R-R 势形式上的求和。）上述积分中，每一具体 Ck 的贡献对应指数展开至 (p+1−k)/2。比如说，对于单张 Dp-膜有如下的耦合形式

通过背景场构造低维 D-膜 • 单张 D-膜的 Chern-Simons 作用量（表示对所有可能的 k-形式 R-R 势形式上的求和。）上述积分中，每一具体 Ck 的贡献对应指数展开至 (p+1−k)/2。比如说，对于单张 Dp-膜有如下的耦合形式 Dp-膜上的 U(1) 规范场与 R-R 势 Cp-1耦合

通过背景场构造低维 D-膜 • 单张 D-膜的 Chern-Simons 作用量（表示对所有可能的 k-形式 R-R 势形式上的求和。）上述积分中，每一具体 Ck 的贡献对应指数展开至 (p+1−k)/2。比如说，对于单张 Dp-膜有如下的耦合形式 Dp-膜上的 U(1) 规范场与 R-R 势 Cp-1耦合 Dp-2-膜

通过背景场构造低维 D-膜 • 上述结论可推广至多张 D-膜系统 ▪ ▪ ▪ Dp-膜上的非阿贝尔规范场与 R-R 势 Cp-1耦合 Dp-2-膜 Dp-膜上的非阿贝尔规范场与 R-R 势 Cp-3耦合 Dp-4-膜 Dp-膜上的非阿贝尔规范场与 R-R 势 Cp-2k+1耦合 Dp-2k-膜

D-膜的边界态描述 • D-膜：从闭弦角度，可用满足一定边界条件且 BRST 不变的边界态来描述。 • D-膜的边界态分为 NS-NS 分支和 R-R 分支两部分，而每一分支中满足边界条件的边界态又有两种，记为 |B, η⟩ 且 η = ±；经 GSO 投影，NS-NS 分支和 R-R 分支的边界态分别为 |B, η⟩ 则可写为物质部分和鬼部分的乘积其中，。（）

D-膜的边界态描述 • 处在 yi处的 Dp-膜的边界条件如果 D-膜上带有 Flux F（），上述边界条件的表达式均不变，但 S-矩阵改为。其中 S-矩阵为。

D-膜的边界态描述 • 边界态

D-膜的边界态描述 在考虑 D-膜带有 Flux 情形下，除 S-矩阵改变外，上述边界态中仅物质场 Xμ 的零模部分以及物质场 ψμ的 R-R 分支的零模部分依赖于 Flux，这两部分如下：其中。（为 R-R 分支的旋量真空，C为电荷共轭矩阵，; ; 表示对 Γ-矩阵的指标取反对称化。）

膜的相互作用

膜的相互作用 三种计算方法 • 弦论计算 ✓ ▪ 系统需有弦论描述，适用于 D-膜的计算，可对 D-膜作弦层次上的微扰计算。 ▪ 要求弦耦合常数较小。 • 探针膜法 ▪ 源膜背景下的探针膜所受的作用可通过分析该膜在源膜产生的场中的势能得到。 ▪ 要求探针膜不能改变源膜所产生的背景，即探针膜的膜数要远比源膜的膜数小。 ▪ 需知源膜的具体构型。 • 有效场论法 ✓ ▪ 需知全域和世界体上的有效作用量。 ▪ 通过这些作用量得到每一全域无质量模的传播子以及它们与膜之间的耦合，从而计算出膜之间的相互作用势能。 ▪ 一般情况下此法给出的是长程相互作用。特别地，对于一些相互作用中只含有无质量模的系统，譬如 D0-D8系统，此法的适用范围可扩展至弦层次上。

弦论计算 • 需要弦论描述适用于 D-膜运算 • 最低阶的相互作用为柱面图，它既可看作是开弦的单圈图也可看作是闭弦的树图。

弦论计算的应用 • D0-D8系统的相互作用 3 ▪ 研究 D8-膜不带 Flux 或带电 Flux 或带磁 Flux 的情形 ▪ 发现相互作用势能中存在发散项 D8-膜不能单独存在 ▪ 改进对 D0-D8 系统的半弦解释 ▪ 推广费米零模的正规化方案 3 J. X. Lu and RJW, JHEP 0911, 004 (2009).

D0-D8 系统的相互作用 • D0-膜与 D8-膜之间相互作用的真空振幅为其中 |B0⟩ 和 | B8⟩ 为 D0-膜和 D8-膜的边界态，D 为闭弦传播子：总的真空振幅由 NS-NS 分支和 R-R 分支两部分贡献，即（L0和表示总的左行和右行 Virasoro 生成元的零模；因，故计算中取。）注意：计算 ΓNS-NS和 ΓR-R 时所取的边界态须满足 GSO 投影

D0-D8 系统的相互作用 • 具体计算中，我们先算出如下的振幅形式其中 np代表 Dp-膜的数目，而各矩阵元如下

D8-膜不带 Flux 的情形 • NS-NS 分支的真空振幅 R-R 分支的真空振幅总的真空振幅依赖于无质量模，且贡献排斥相互作用依赖于无质量模，且贡献吸引相互作用 D0-膜与 D8-膜之间的相互作用为零

D8-膜不带 Flux 的情形 • R-R 分支的半弦解释 ▪ 每对 D0-膜和 D8-膜之间的吸引力 ▪ D0-膜绝热穿过 D8-膜时会产生一根基本弦 4 张力为基本弦一半的半弦 4 O. Bergman, M. R. Gaberdiel and G. Lifschytz, Nucl. Phys. B 509, 194 (1998).

D8-膜不带 Flux 的情形 • R-R 分支零模正规化方案 5 ▪ ΓR-R中零模部分 ▪ 引入正规化因子 ▪ 超鬼部分（F0和 G0分别为费米子数算符和超鬼数算符的零模部分） 5 M. Billo, P. Di Vecchia, M. Frau, A. Lerda, I. Pesando, R. Russo and S. Sciuto, Nucl. Phys. B 526, 199 (1998).

D8-膜不带 Flux 的情形 ▪ 费米零模部分 - 作 Wick 转动 - 将 10 个 Γ-矩阵分成 5 组，对每组 Γ-矩阵而言均可引入费米产生湮灭算符满足，这样每组 Γ-矩阵构成一个 2 维 Hilbert 空间。 - 分组规则 · DN 方向内部配对 · NN 和 DD 方向可交叉配对也可内部配对 D0-D8 系统：(1 2)(3 4)(5 6)(7 8)(9 10) SO(10) 的 Γ-矩阵

D8-膜不带 Flux 的情形 - 引入粒子数算符，本征值为 1、-1。 - 费米零模部分而 ▪ R-R 分支零模

D8-膜不带 Flux 的情形 • 发散问题 ▪ ΓNS-NS和 ΓR-R 中均含有如下的积分 - 与膜间距无关的发散项：该发散项由 D0-膜和 D8-膜叠放在一起时给出，可将这一部分视为零点能。 - 与膜间距有关的有限项：当 D0-膜和D8-膜分开时，每一分支中会出现一个有限项（可视为各分支的 Casimir 能量）；对 R-R 分支而言，这一部分对应 D0-膜与 D8-膜之间产生的半弦。 ▪ 改进对 D0-D8系统的半弦解释绝热穿越后不但产生基本弦，还同时还产生两倍的 R-R 分支零点能。 D8-膜不能独立存在

D8-膜带电 Flux 的情形 • 不失一般性，假定D8-膜带有如下的常数电 Flux • NS-NS 分支的真空振幅 R-R分支的真空振幅总的真空振幅非阈值束缚态（F，D8）无质量模无质量模相互作用为零

D8-膜带电 Flux 的情形 • 验证 D0-膜与带电 Flux 的D8-膜组成的系统 D0-膜与不带 Flux 的D8-膜组成的系统

D8-膜带电 Flux 的情形 • R-R 分支零模正规化问题 R-R 分支零模

D8-膜带电 Flux 的情形 • R-R 分支零模正规化问题 R-R 分支零模引入新的矩阵则

D8-膜带磁 Flux 的情形 • 不失一般性，假定D8-膜带有如下的常数磁 Flux • 结论 ▪ NS-NS 分支的真空振幅依赖于有质量模； ▪ R-R分支的真空振幅与 D8-膜不带 Flux 一样； ▪ 二者之间的相互作用为排斥相互作用，当且仅当 Flux 消失时为零。非阈值束缚态（D6 ，D8）

有效场论法 • 此法需知道全域和世界体上的有效作用量 ▪ 由全域作用量得出全域无质量模的正则形式及它们的传播子 ▪ 由世界体作用量得出无质量模与膜之间的耦合 ▪ 利用各模的耦合计算出膜之间的相互作用势能 • 一般情况下此法给出的是长程相互作用

有效场论法的应用 • 任意维度下 p-膜间的长程相互作用 6 对 IIA NS5-膜、M2-膜、M5-膜适用 • D0-D8系统的 R-R 相互作用 3 特点：只依赖于无质量模此时的计算为弦层次 • 带非阿贝尔 Flux D-膜间的长程相互作用 6 ▪ 该系统首次被研究 ▪ （D0，D8）为边缘束缚态 3 J. X. Lu and RJW, JHEP 0911, 004 (2009). 6RJW and Z. -L.Wang, Phys. Rev. D 81, 086002 (2010).

D维下 p-膜间的相互作用 • p-膜的全域作用量 ▪ D维下 p-膜的超引力作用量的玻色部分可用 p-膜 σ-模型度规Gμν表达为其中 α(p) 满足。

D维下 p-膜间的相互作用 为方便考虑场论极限，需将上述作用量改写至 Einstein 框架中；为此引入 Einstein 度规 gμν ，它与 Gμν的关系为由之可得 Einstein 框架下 p-膜的超引力作用量的玻色部分（Dialton ；引力常数，而。）

D维下 p-膜间的相互作用 ▪ 考虑相对于平坦 Minkowski 背景的小扰动 gμν =ημν + hμν ，且选择 hμν满足 Harmonic Gauge，这样作用量保留至最低阶为 ▪ 上式在如下标度变换下取为正则形式： ▪ 各正则无质量模在膜的横向方向上的传播子（标度变换）

D维下 p-膜间的相互作用 • p-膜的世界体作用量 ▪ 玻色部分转换至 Einstein 框架且作微扰展开并保留至最低阶 ▪ 用标度变换代替上述作用量中的各扰动量便可得到 p-膜与相关全域无质量模耦合的正则形式

D维下 p-膜间的相互作用 ▪ 动量空间中两组平行放置的 p-膜之间因交换各无质量模而产生的长程相互作用势能密度总的相互作用势能密度为 ▪ 构型中一组 p-膜变成反 p-膜，则 (p+1)-形式势的贡献反号相互作用为零吸引相互作用破缺所有超对称

膜相互作用及相关动力学

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