标准方差与相关系数 1 ．求标准方差

1. 标准方差与相关系数 1．求标准方差 在MATLAB中，提供了计算数据序列的标准方差的函数std。对于向量X，std(X)返回一个标准方差。对于矩阵A，std(A)返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵A各列或各行的标准方差。std函数的一般调用格式为： Y=std(A,flag,dim) 其中dim取1或2。当dim=1时，求各列元素的标准方差；当dim=2时，则求各行元素的标准方差。flag取0或1，当flag=0时，按σ1所列公式计算标准方差，当flag=1时，按σ2所列公式计算标准方差。缺省flag=0，dim=1。 例6-7 对二维矩阵x，从不同维方向求出其标准方差。

2. 2．相关系数 MATLAB提供了corrcoef函数，可以求出数据的相关系数矩阵。corrcoef函数的调用格式为： corrcoef(X)：返回从矩阵X形成的一个相关系数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵X一样。它把矩阵X的每列作为一个变量，然后求它们的相关系数。 corrcoef(X,Y)：在这里，X,Y是向量，它们与corrcoef([X,Y])的作用一样。

3. 例 生成满足正态分布的10000×5随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，再求这5列随机数据的相关系数矩阵。 命令如下： X=randn(10000,5); M=mean(X) D=std(X) R=corrcoef(X)

4. 排序 MATLAB中对向量X是排序函数是sort(X)，函数返回一个对X中的元素按升序排列的新向量。 sort函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排序，其调用格式为： [Y,I]=sort(A,dim) 其中dim指明对A的列还是行进行排序。若dim=1，则按列排；若dim=2，则按行排。Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素在A中位置。

5. 线性优化 x=lp(C,A,b,vlb,vub)

7. %First, enter the coefficients: f = [-5; -4; -6] ; A = [1 -1 1 3 2 4 3 2 0]; b = [20; 42; 30]; lb = [0,0,0]; % x的最小值 [0,0,0] ub = [inf,inf,inf]; %Next, call a linear programming routine: x= lp(f,A,b,lb,ub) %Entering x x = 0.0000 15.0000 3.0000 [例]最小值线性优化 f(x)=-5x1-4x2-6x3 x1-x2+x3≦20 3x1+2x2+4x3≦42 3x1+2x2≦30 (0≦x1, 0≦x2,0≦x3)

8. [例]线性优化 Min -400x1-1000x2-300x3+200x4 -2x2 + x3 + x4=0 2x1 +3x2 <=16 3x1 +4x2 <=24 x1, x2, x3, x4>=0; x3<=5 c=[-400,-1000,-300,200]; %目标函数系数 A=[0 -2 1 1; 2 3 0 0; 3 4 0 0]; %约束条件系数 b=[0; 16; 24]; xLB=[0,0,0,0]; % x取值范围的最小值 xUB=[inf,inf,5,inf]; % x取值范围的最大值 x0=[0,0,0,0]; % x取迭代初始值 nEq=1; % 约束条件中只有一个 = 号,其余为<= x=lp(c,A,b,xLB,xUB,x0,nEq) disp(['最优值为: ',num2str(c*x)])

9. 非线性优化 x=constr('f ',x0) fminbnd

10. 计算下面函数在区间(0，1)内的最小值。 [x,fval,exitflag,output]=fminbnd('(x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)',0,1)

11. 在[0，5]上求下函数的最小值 解：先自定义函数：在MATLAB编辑器中建立M文件为： function f = myfun(x) f = (x-3).^2 - 1; 保存为myfun.m，然后在命令窗口键入命令： x=fminbnd(@myfun,0,5)

12. [例]最小值非线性优化 Min f(x)=-x1x2x3, -x1-2x2-2x3≤0, x1+2x2+2x3≤72, 初值: x = [10; 10; 10] x = [10; 10; 10] %第一步：编写M文件 myfun.m function [f,g]=myfun(x) f=-x(1)*x(2)*x(3); g(1)=-x(1)-2*x(2)-2*x(3); g(2)=x(1)+2*x(2)+2*x(3)-72; %第二步：求解 %在MATLAB工作窗中键入 x0=[10,10,10]; x=constr('myfun',x0) %即可

13. 例] 非线性优化 Min f(x)=-x1x2 (x1+ x2)x3<=0; x1, x2>=0; x3>=2; [第一步：编写M文件 fxxgh.m function [F,G]=fxxgh(x) F=-x(1)*x(2); G(1)=(x(1)+x(2))*x(3)-120; 第二步：求解 在MATLAB工作窗中键入 x=[1,1,1]; % x取迭代初始值 options(13)=0; % 约束条件中有0个 = 号,其余为<= XL=[0,0,2]; % x取值范围的最小值 XU=[inf;inf;inf]; % x取值范围的最大值 [x,options]=constr('fxxgh',x,options,XL,XU); options(8) %输出最小值 x

14. 无约束多元函数最小值 多元函数最小值的标准形式为 其中：x为向量，如 使用fmins求其最小值

15. 求 的最小值点 X=fminsearch('2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2', [0,0]) 或在MATLAB编辑器中建立函数文件 function f=myfun(x) f=2*x(1)^3+4*x(1)*x(2)^3-10*x(1)*x(2)+x(2)^2; 保存为myfun.m，在命令窗口键入 X=fminsearch ('myfun', [0,0]) 或 >> X=fminsearch(@myfun, [0,0])

16. 利用函数fminunc求多变量无约束函数最小值 当函数的阶数大于2时，使用fminunc比fminsearch更有效， 但当所选函数高度不连续时，使用fminsearch效果较好 求 的最小值 fun='3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2'; x0=[1 1]; [x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(fun,x0) 或用下面方法： fun=inline('3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2') x0=[1 1] x=fminunc(fun,x0)

17. 有约束的多元函数最小值 非线性有约束的多元函数的标准形式为： sub.to fmincon 其中：x、b、beq、lb、ub是向量，A、Aeq为矩阵， C(x)、Ceq(x)是返回向量的函数， f(x)为目标函数， f(x)、C(x)、Ceq(x)可以是非线性函数

18. 求下面问题在初始点（0，1）处的最优解 min s.t 解：约束条件的标准形式为 min s.t

19. 先在MATLAB编辑器中建立非线性约束函数文件： function [c, ceq]=mycon (x) c=(x(1)-1)^2-x(2); ceq=[ ]; %无等式约束 然后，在命令窗口键入如下命令或建立M文件： fun='x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2)'; %目标函数 x0=[0 1]; A=[-2 3]; %线性不等式约束 b=6; Aeq=[ ]; %无线性等式约束 beq=[ ]; lb=[ ]; %x没有下、上界 ub=[ ]; [x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)

20. 二次规划问题 二次规划问题（quadratic programming）的标准形式为： sub.to quadprog 其中，H、A、Aeq为矩阵，f、b、beq、lb、ub、x为向量

21. 求解下面二次规划问题 sub.to 解： ， 则 ，

22. 在MATLAB中实现如下： H = [1 -1;-1 2] ; f = [-2; -6] ; A = [1 1;-1 2; 2 1] ; b = [2; 2;3] ; lb = zeros(2,1) ; [x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b, [ ] ,[ ] ,lb)

23. “半无限”有约束的多元函数最优解 fseminf x、b、beq、lb、ub都是向量；A、Aeq是矩阵；C(x)、Ceq(x)、是返回向量的函数，f(x)为目标函数；f(x)、C(x)、Ceq(x)是非线性函数；为半无限约束，通常是长度为2的向量

25. 先建立非线性约束和半无限约束函数文件，并保存为mycon.m：先建立非线性约束和半无限约束函数文件，并保存为mycon.m： function [C,Ceq,K1,K2,S] = mycon(X,S) % 初始化样本间距： if isnan(S(1,1)), S = [0.2 0; 0.2 0]; end % 产生样本集： w1 = 1:S(1,1):100; w2 = 1:S(2,1):100; % 计算半无限约束： K1 = sin(w1*X(1)).*cos(w1*X(2)) - 1/1000*(w1-50).^2 -sin(w1*X(3))-X(3)-1; K2 = sin(w2*X(2)).*cos(w2*X(1)) - 1/1000*(w2-50).^2 -sin(w2*X(3))-X(3)-1; % 无非线性约束： C = [ ]; Ceq=[ ]; % 绘制半无限约束图形 plot(w1,K1,'-',w2,K2,':'),title('Semi-infinite constraints') 然后在MATLAB命令窗口或编辑器中建立M文件： fun = 'sum((x-0.5).^2)'; x0 = [0.5; 0.2; 0.3]; % Starting guess [x,fval] = fseminf(fun,x0,2,@mycon)

27. 求下列函数最大值的最小化问题 其中：

28. 先建立目标函数文件，并保存为myfun.m：function f = myfun(x) f(1)= 2*x(1)^2+x(2)^2-48*x(1)-40*x(2)+304; f(2)= -x(1)^2 - 3*x(2)^2; f(3)= x(1) + 3*x(2) -18; f(4)= -x(1)- x(2); f(5)= x(1) + x(2) - 8; 然后，在命令窗口键入命令： x0 = [0.1; 0.1]; % 初始值 [x,fval] = fminimax(@myfun,x0)

29. 求上述问题的绝对值的最大值最小化问题。 目标函数为： 解：先建立目标函数文件（与上例相同） 然后，在命令窗口或编辑器中建立M文件： x0 = [0.1; 0.1]; % 初始点 options = optimset('MinAbsMax',5); % 指定绝对值的最小化 [x,fval] = fminimax(@myfun,x0,[ ],[ ],[ ],[ ],[ ],[ ],[ ],options)

30. 多目标规划问题 fgoalattain

31. 曲 线 拟 合 在大量的应用领域中，人们经常面临用一个解析函数描述数据(通常是测量值)的任务。对这个问题有两种方法。在插值法里，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数据点之间所发生的情况。曲线拟合或回归是人们设法找出某条光滑曲线，它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。图1说明了这两种方法。连接数据点的实线描绘了线性内插，虚线是数据的最佳拟合。

32. x=[0 .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 1]; y=[-.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2]; n=2; % polynomial order p=polyfit(x, y, n) polyfit的输出是一个多项式系数的行向量。 其解是 y = －9.8108x2 ＋20.1293x－0.0317。 为了将曲线拟合解与数据点比较，让我们把二者都绘成图。 ezplot('-9.8108*x*x+20.1293*x-0.0317') xi=linspace(0, 1, 100); % x-axis data for plotting z=polyval(p, xi); 为了计算在xi数据点的多项式值，调用MATLAB的函数polyval。 plot(x, y, ' o ' , x, y, xi, z, ' : ' ) 画出了原始数据x和y，用'o'标出该数据点，在数据点之间，再用直线重画原始数据，并用点' : '线，画出多项式数据xi和z。 xlabel(' x '), ylabel(' y=f(x) '), title(' Second Order Curve Fitting ')

34. x1=linspace(0, 2*pi, 60); x2=linspace(0, 2*pi, 6); plot(x1, sin(x1), x2, sin(x2), ' - ') xlabel(' x '), ylabel(' sin(x) ') title(' Linear Interpolation ' )

35. 若不采用直线连接数据点，我们可采用某些更光滑的曲线来拟合数据点。最常用的方法是用一个3阶多项式，即3次多项式，来对相继数据点之间的各段建模，每个3次多项式的头两个导数与该数据点相一致。这种类型的插值被称为3次样条或简称为样条。函数interp1也能执行3次样条插值。

36. 为了说明一维插值，考虑下列问题，12小时内，一小时测量一次室外温度。数据存储在两个MATLAB变量中。 hours=1:12; % index for hour data was recorded temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24]; % recorded temperatures plot(hours, temps, hours, temps,' + ') % view temperatures title(' Temperature ') xlabel(' Hour '), ylabel(' Degrees Celsius ') t=interp1(hours, temps, 9.3, ' spline ') % estimate temperature at hour=9.3 t=interp1(hours, temps, 4.7, ' spline ') % estimate temperature at hour=4.7 t=interp1(hours, temps, [3.2 6.5 7.1 11.7], ' spline ')

37. 意，样条插值得到的结果，与上面所示的线性插值的结果不同。因为插值是一个估计或猜测的过程，其意义在于，应用不同的估计规则导致不同的结果。意，样条插值得到的结果，与上面所示的线性插值的结果不同。因为插值是一个估计或猜测的过程，其意义在于，应用不同的估计规则导致不同的结果。

38. 样条插值是对数据进行平滑,也就是，给定一组数据，使用样条插值在更细的间隔求值。例如，样条插值是对数据进行平滑,也就是，给定一组数据，使用样条插值在更细的间隔求值。例如， hours=1:12; % index for hour data was recorded h=1:0.1:12; % estimate temperature every 1/10 hour temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24]; t=interp1(hours, temps, h) ; plot(hours, temps, ' - ' , hours, temps, ' + ' , h, t) % plot comparative results title(' Springfield Temperature ') xlabel(' Hour '), ylabel(' Degrees Celsius ')

39. 2 二维数据插值 在MATLAB中，提供了解决二维插值问题的函数interp2，其调用格式为： Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,'method') 其中X,Y是两个向量，分别描述两个参数的采样点，Z是与参数采样点对应的函数值，X1,Y1是两个向量或标量，描述欲插值的点。Z1是根据相应的插值方法得到的插值结果。 method的取值与一维插值函数相同。X,Y,Z也可以是矩阵形式。 同样，X1,Y1的取值范围不能超出X,Y的给定范围，否则，会给出“NaN”错误。

40. 例 某实验对一根长10米的钢轨进行热源的温度传播测试。用x表示测量点0:2.5:10(米)，用h表示测量时间0:30:60(秒)，用T表示测试所得各点的温度(℃)。试用线性插值求出在一分钟内每隔20秒、钢轨每隔1米处的温度TI。 命令如下： x=0:2.5:10; h=[0:30:60]'; T=[95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41]; xi=[0:10]; hi=[0:20:60]'; TI=interp2(x,h,T,xi,hi)