第六节微分

第六节微分 一、微分的概念设函数y=f(x)在点x0可导，即根据具有极限的函数与无穷小的关系，得（为无穷小，即）于是其中与是同阶无穷小，是较高阶的无穷小（当时）。因此,在增量中,起主要作用的是它与仅差一个较高阶的无穷小。

于是，在中， 是的主要部分。又由于是的线性函数，故常把称为的线性主部（当且时）。由以上的讨论可知，当很小时，可用函数增量的线性主部来近似代替函数的增量，即定义若函数y=f(x)在点x0可导,则称为f(x)在点x0的微分，记作dy，即

显然，当且 时，函数的微分就是函数增量的线性主部。一般地，函数y=f(x)在点x的微分称为函数的微分，记为dy，即当函数f(x)在点x的微分存在时，称函数f(x)在点x可微。自变量x的微分定义为于是有从而（可见，导数即为微分之商，简称微商）显然，可导可微

二、微分的几何意义 微分的几何意义是：切线的纵坐标增量。 y 事实上， T P M dy 故切线的纵坐标增量为 dx Q O N x 三、微分公式与运算法则 1. 微分的基本公式（即基本初等函数的微分公式）

（1） （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）

2. 微分的基本法则 (1) (2) d(uv)=udv+vdu (3) d(Cu)=Cdu (4) 四、微分形式的不变性结论：无论u是自变量还是中间变量，函数 y=f(u)的微分始终保持同一形式（微分形式的不变性）求复合函数的微分时，既可根据微分的定义，又可用微分形式的不变性。

例1 求y=sin(2x+1)的微分。 例2 求的微分dy 例3 设，求dy （如下为补充例子）例4 求函数y=x2当x=2，时的增量与微分。例5 求由方程exy=axby确定的隐函数y的微分dy和导数（用两边求微分的方法）。

（注：求导数与微分的方法，统称微分法） 例6 填空： (1) d( ) = xdx (2) d( ) =

布置作业： P74: 1(1). 2(单). 3. 4(1)

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