INSTABILITA’

1. INSTABILITA’ • Partendo da un segnale U in uscita, facendo il giro dell’anello, si ritrova lo stesso segnale che si automantiene. Se GH>1 il segnale di uscita, ad ogni giro nell,anello si amplifica e quindi si ha una oscillazione che aumenta di ampiezza anche senza alcun ingresso U=UGH G H

2. INSTABILITA’ • Qual è la situazione limite per l’instabilità? • si verifica quando il modulo di GH ( |GH| ) e’ uguale a 1, e lo sfasamento è uguale a -180o. NB Sfasare di 180o corrisponde a moltiplicare per –1 , poiché il nodo di confronto moltiplica a sua volta per –1, il segnale risulta uguale a se stesso e si automantiene!!!!

3. Punto critico • modulo di GH ( |GH| uguale a 1, e sfasamento è uguale a -180o corrisponde al punto complesso -1+j0 tale punto è dettopunto critico

4. Sistemi a sfasamento minimo • Una condizione necessaria, ma non sufficiente, perché un sistema sia stabile è che i poli e gli zeri della sua funzione di trasferimento ad anello aperto G(s)•H(s)siano a parte reale non positiva • Tali sistemi sono dettia sfasamento minimo • La suddetta condizione si presenta molto frequentemente nella pratica deisistemi di controllo

5. Margini di stabilità Più il diagramma di Nyquist di un sistema stabile ad anello aperto si mantiene distante dal punto critico (-1,0), tanto più grande risulterà il margine di sicurezza per la stabilità del sistema ad anello chiuso. Si introducono pertanto due parametri detti margine di guadagno e margine di fase, atti a misurare la stabilità relativa di un sistema di controllo retroazionato.

6. R(s) E(s) G(s) Y(s) + - H(s) Rappresenta il massimo aumento di sfasamento in ritardo che può tollerare la funzione d’anello L(s)=G(s)H(s) prima che si raggiunga la condizione di instabilità. Margine di fase L’angolo che manca alla fase della funzione d’anello per raggiungere π in corrispondenza della pulsazione di cross-over, cioè della pulsazione in cui il modulo di L(iω) è unitario. Il diagramma polare di L(iω) passa per il punto critico Il diagramma polare di L(iω) contiene il punto critico

7. R(s) E(s) G(s) Y(s) + - H(s) Rappresenta di quanto l’ordinata sul diagramma di Bode del modulo di L(iω) sta al di sotto dell’asse ωin corrispondenza della pulsazione . Rappresenta il massimo aumento di guadagno che può tollerare la funzione d’anello L(s)=G(s)H(s) prima che si raggiunga la condizione di instabilità. Margine di guadagno Il sistema è stabile

8. Criterio di stabilità di Bode CNES affinché un sistema retroazionato sia asintoticamente stabile è che il modulo della fdt ad anello aperto L(s), valutato alla pulsazione sia minore dell’unità, ovvero, ragionando in db, minore di 0.

9. CNES affinché un sistema retroazionato sia asintoticamente stabile è che la fase della fdt ad anello aperto L(s), valutata alla pulsazione di cross over , per cui il modulo di L(s) risulta unitario, cioè nullo in db, e misurata in senso antiorario, sia in valore assoluto minore di π. Criterio di stabilità di Bode

10. Criterio di stabilità di Bode Un sistema a sfasamento minimo è stabile se la funzione di trasferimento ad anello aperto G(s)•H(s), alla pulsazione di taglio wco, ha una fase con valore assolutominore di 180°

11. Cos’è wco? wco è la pulsazione (detta di crossover) per la quale il modulo del guadagno vale 1; tale valore equivale a 0 dB e quindi wco è la pulsazione che si individua nell’intersezione fra il diagramma di Bode del modulo e l’asse delle pulsazioni w

12. Cos’è wco? |G(s)•H(s)| Questo è il valore di wco Cos’è la pulsazione di crossover (o di taglio) wco? w E questa è la fase della G(s)•H(s) alla pulsazione wco  w

13. Condizioni di stabilità • In realtà, il criterio di Bode individua condizioni di stabilità che spesso, nella pratica, sono insufficienti a garantire una adeguata stabilità dei sistemi di controllo • Nella pratica è quindi utile introdurre due parametri che permettono una definizione più adeguata delle condizioni di stabilità di un sistema di controllo: • il margine di fase • il margine di ampiezza (o di guadagno)

14. Cos’è il margine di fase? • Il margine di fase può essere definito: mF= 180° + F(wco) • Il margine di fase è quindi un angolo che si ricava dalla somma di 180° più la fase della funzione di trasferimento ad anello aperto alla pulsazione di crossover • L’individuazione del margine di fase è ancora più semplice con i diagrammi di Bode, come nell’esempio che segue

15. Cos’è il margine di fase? che, in questo esempio, vale-135° In corrispondenza di wco |G(s)•H(s)| Si considerino i diagrammi di Bode di una generica funzione G(s)H(s) Il margine di fase mF dell’esempio considerato, vale dunque180°-135°=+45° w si trova F(wt)  w F(wt) -90° -135° mF -180°

16. Condizioni di stabilità • Si può dire in definitiva che il sistema di controllo è sufficientemente stabile se il margine di faseèmaggiore di 30° (mF> 30°) • Il sistema di controllo è, viceversa, instabile se il margine di faseè negativo (mF< 0°)

17. Cos’è il margine di ampiezza? • Il margine di ampiezza può essere definito: mgdB= 0 - |G(s)•H(s)|dB(F=-180°) • Il margine di ampiezza è, cioè, la differenza fra 0 ed il valore in dB del modulo della G(s)•H(s) quando la fase della stessa funzione di trasferimento ad anello aperto è pari a -180° • L’individuazione del margine di ampiezza è ancora più semplice con i diagrammi di Bode, come nell’esempio che segue

18. Cos’è il margine di ampiezza? si rileva il modulo del guadagno in dB |G(s)•H(s)| Si considerino i diagrammi di Bode di una generica funzione G(s)H(s) |G(s)•H(s)|dB(F=-180°) w mgdB Il margine di ampiezza mgdB dell’esempio considerato, è dunque positivo che, in questo esempio, è negativo  In corrispondenza di F = -180° w -180°

19. Condizioni di stabilità • Concludendo, si può dire che unsistema di controllo (retroazionato) a sfasamento minimo (cioè avente poli e zeri della F.d.T. ad anello aperto a parte reale non positiva) è stabile se i margini di fase mF e di ampiezza mgdB sono entrambi positivi • Per avere una adeguata stabilità bisogna però verificare che mF sia maggiore di 30° e che mgdB sia maggiore di 1020 dB