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§9.7 抛物线

§9.7 抛物线. 基础知识 自主学习. 要点梳理 1. 抛物线的概念 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l （ F  l ）的距 离 的点的轨迹叫做抛物线 . 点 F 叫做抛物线的 ，直线 l 叫做抛物线的. 相等. 焦点. 准线. 2. 抛物线的标准方程与几何性质. 基础自测 1. 抛物线 y =-2 x 2 的准线方程是 （ ） A. x = B. x = C. y = D. y = 解析 抛物线方程为 x 2 =- y , ∴ p = , 准线方程为 y =. D.

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§9.7 抛物线

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Presentation Transcript

  1. §9.7 抛物线 基础知识 自主学习 要点梳理 1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l（Fl）的距 离的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的. 相等 焦点 准线

  2. 2.抛物线的标准方程与几何性质

  3. 基础自测 1.抛物线y=-2x2的准线方程是 （ ） A.x= B.x= C.y= D.y= 解析 抛物线方程为x2=- y, ∴p= ,准线方程为y= . D

  4. 2.若a∈R,则“a＞3”是“方程y2=(a2-9)x表示开 口向右的抛物线”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由抛物线y2=(a2-9)x开口向右可得 a2-9＞0，即得a＞3或a＜-3, ∴“a＞3”是“方程y2=(a2-9)x表示开口向右的 抛物线”的充分不必要条件，故应选A. A

  5. 3.（2009·湖南）抛物线y2=-8x的焦点坐标是 （ ） A.(2,0) B.(-2,0) C.(4,0) D.(-4,0) 解析 ∵y2=-8x,∴p=-4,∴焦点坐标为(-2,0). B

  6. 4.设a≠0,a∈R,则抛物线y=4ax2的焦点坐标为（ ） A.(a,0) B.(0,a) C. D.随a的符号而定 解析 抛物线标准方程为x2= y, 当a＞0时，p= ，焦点坐标为 ; 当a＜0时，p=- ，焦点坐标为 C

  7. 5.（2009·宁夏，海南）已知抛物线C的顶点在坐 标原点，焦点为F（1，0），直线l与抛物线C相交 于A，B两点，若AB的中点为（2，2）,则直线l的 方程为. 解析 因为抛物线顶点在原点，焦点F（1，0）， 故抛物线方程为y2=4x,设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2), 则y =4x1,y =4x2. ∴(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2), ∴kAB= =1, ∴直线AB的方程为y-2=x-2,即y=x. y=x

  8. 题型分类 深度剖析 题型一 抛物线的定义 【例1】已知抛物线y2=2x的焦点是F，点P是抛物 线上的动点，又有点A（3，2）. （1）求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值 时P点的坐标； （2）求点P到点B 的距离与点P到直线 x=- 的距离之和的最小值.

  9. （1）由定义知，抛物线上点P到焦点 F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|+|PF|的 问题可转化为|PA|+d的问题. （2）把点P到直线的距离转化为到焦点的距离即可 解决. 解 （1）将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=± . 思维启迪

  10. ∵ ＞2,∴A在抛物线内部. 设抛物线上点P到准线l:x=- 的距离为d, 由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d, 当PA⊥l时，|PA|+d最小，最小值为 ， 即|PA|+|PF|的最小值为 ,此时P点纵坐标为2, 代入y2=2x，得x=2,∴点P坐标为（2，2）. （2）由于直线x=- 即为抛物线的准线， 故|PB|+d=|PB|+|PF|≥|BF|， 当且仅当B、P、F共线时取等号. 而|BF|= ∴|PB|+d的最小值为 .

  11. 探究提高重视定义在解题中的应用,灵活地进行探究提高重视定义在解题中的应用,灵活地进行 抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转 化.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”，这是 解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径. 设P是曲线y2=4x上的一个动点. （1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线 x=-1的距离之和的最小值； （2）若B（3，2），点F是抛物线的焦点，求 |PB|+|PF|的最小值. 知能迁移1

  12. 解 （1）如图所示，易知抛物 线的焦点为F(1,0),准线是x=-1， 由抛物线的定义知：点P到直线 x=-1的距离等于点P到焦点F的 距离.于是,问题转化为：在曲 线上求一点P,使点P到点A(-1,1) 的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小.显然, 连结AF交曲线于P点，故最小值为 ，即 .

  13. （2）如图所示，自B作BQ垂直准 线于Q，交抛物线于P1，连接P1F 此时，|P1Q|=|P1F|， 那么，|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q| =|BQ|=4，即最小值为4.

  14. 题型二 抛物线的标准方程及几何性质 【例2】已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上， 又知此抛物线上的一点A（m,-3）到焦点F的距 离为5，求m的值，并写出此抛物线的方程. 因点A（m,-3）在直线y=-3上，所以 抛物线的开口方向存在向左、向右、向下三种情 况，必须分类讨论. 思维启迪

  15. 解 ①若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为 x2=-2py (p＞0)，这时准线方程为y= , 由抛物线定义知 -(-3)=5,解得p=4, ∴抛物线方程为x2=-8y, 这时将点A（m,-3）代入方程，得m=±2 . ②若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方 程为y2=2ax (a≠0)，从p=|a|知准线方程可统一 成x=- 的形式，于是从题设有 解此方程组可得四组解

  16. ∴y2=2x,m= ;y2=-2x,m=- ; y2=18x,m= ;y2=-18x,m=- .

  17. 探究提高 抛物线的标准方程有四种，在求解过程 中,首先要根据题目描述的几何性质判断方程形式, 若只能判断对称轴，而不能判断开口方向，可设为 x2=ay (a≠0)或y2=ax (a≠0),然后利用待定系数法 和已知条件求解. 根据下列条件求抛物线的标准方程. （1）抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左 顶点； （2）过点P（2，-4）. 知能迁移2

  18. 解 （1）双曲线方程化为 左顶点为 （-3，0）, 由题意设抛物线方程为 y2=-2px (p＞0)且- =-3, ∴p=6，∴方程为y2=-12x. （2）由于P（2，-4）在第四象限且对称轴为坐标 轴， 可设方程为y2=mx或x2=ny, 代入P点坐标求得m=8，n=-1， ∴所求抛物线方程为y2=8x或x2=-y.

  19. 题型三 直线与抛物线的位置关系 【例3】 (14分)（2008·山东） 如图所示,设抛物线方程为 x2=2py (p＞0),M为直线y=-2p上 任意一点,过M引抛物线的切线, 切点分别为A,B. (1)求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列; (2)已知当M点的坐标为(2,-2p)时,|AB|=4 . 求此时抛物线的方程.

  20. (1)证明 由题意设x1＜x2, M（x0,-2p）. 由x2=2py得y= ,则y′= , 所以kMA= ,kMB= . 2分 因此,直线MA的方程为y+2p= (x-x0), 直线MB的方程为y+2p= (x-x0). 所以, ① ② 4分

  21. 由①、②得 =x1+x2-x0， 因此，x0= 即2x0=x1+x2. 所以A、M、B三点的横坐标成等差数列. 6分 （2）解 由（1）知，当x0=2时， 将其代入①、②，并整理得： x -4x1-4p2=0，x -4x2-4p2=0， 所以，x1、x2是方程x2-4x-4p2=0的两根， 8分 因此，x1+x2=4，x1x2=-4p2， 又kAB=

  22. 所以kAB= . 10分 由弦长公式得 |AB|= 又|AB|=4 ，所以p=1或p=2， 因此所求抛物线方程为x2=2y或x2=4y. 14分

  23. 探究提高（1）标准形式的抛物线上点一般设高次探究提高（1）标准形式的抛物线上点一般设高次 项变量，如本题设抛物线上点的坐标为 形式，就减少了变量，使运算量减小； （2）处理多个变量问题时，常常应用整体代换技巧，消去变量； （3）利用韦达定理简化两点间距离公式是直线与圆 锥曲线弦长问题常用的运算技巧.

  24. 知能迁移3 已知动圆过定点F（0，2），且与定直 线L：y=-2相切. （1）求动圆圆心的轨迹C的方程； （2）若AB是轨迹C的动弦，且AB过F（0，2）， 分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交 点为Q，证明：AQ⊥BQ. （1）解 依题意，圆心的轨迹是以F（0,2）为焦 点， L：y=-2为准线的抛物线， 因为抛物线焦点到准线距离等于4， 所以圆心的轨迹方程是x2=8y.

  25. （2）证明 因为直线AB与x轴不垂直， 设AB：y=kx+2.A(x1,y1),B(x2,y2). 由 可得x2-8kx-16=0,x1+x2=8k,x1x2=-16. 抛物线方程为y= x2,求导得y′= x. 所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是 k1= x1,k2= x2,k1k2= x1· x2 = x1·x2=-1. 所以AQ⊥BQ.

  26. 思想方法 感悟提高 方法与技巧 1.焦半径：x0+ ;通径长为2p. 注：过焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的 通径. 2.抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与 抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2），则 (1)y1y2=-p2，x1x2= ； (2)若直线AB的倾斜角为 ,则|AB|= ； (3)若F为抛物线焦点，则有

  27. 失误与防范 1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是 标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断 是哪一种标准方程. 2.注意应用抛物线定义中的距离相等解决问题.

  28. 定时检测 一、选择题 1.过抛物线y=ax2(a＞0)的焦点F作一直线交抛物线于 A、B两点，若线段AF、BF的长分别为m、n，则 等于 （ ） A. B. C.2a D. 解析 取通径AB，则m=n= ,故 B

  29. 2.已知点M（1，0），直线l:x=-1,点B是l上的动 点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分 线交于点P，则点P的轨迹是 （ ） A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.直线 解析P在BM的垂直平分线上，故|PB|=|PM|. 又PB⊥l,因而点P到直线l的距离等于P到M的距离，所以点P的轨迹是抛物线. A

  30. 3.如图，过抛物线y2=2px (p＞0) 的焦点F的直线l交抛物线于点 A、B，交其准线于点C，若 |BC|=2|BF|，且|AF|=3,则 此抛物线的方程为 （ ） A.y2= B.y2=3x C.y2= D.y2=9x

  31. 解析 由抛物线定义，|BF|等于B到准线的距离， 由|BC|=2|BF|得∠BCM=30°，又|AF|=3， 从而 A在抛物线上， 代入抛物线方程y2=2px, 解得p= . 答案B

  32. 4.已知抛物线y2=2px(p＞0)与双曲线 （a＞0,b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的交 点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为 （ ） A. B. +1 C. +1 D.

  33. 解析 ∵F 又∵c= ，即p=2c,∴A（c，2c）. 代入双曲线方程，化简， ∴e2-2e-1=0.∵e＞1，∴e= +1. 答案B

  34. 5.（2009·山东）设斜率为2的直线l过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF （O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为 （ ） A.y2=±4x B.y2=±8x C.y2=4x D.y2=8x 解析y2=ax的焦点坐标为 ,过焦点且斜率 为2的直线方程为y=2 ，令x=0得y=- . ∴ ∴a2=64,∴a=±8. B

  35. 6.（2008·辽宁）已知点P是抛物线y2=2x上的一个 动点,则点P到点（0，2）的距离与点P到该抛物 线准线的距离之和的最小值为 （ ） A. B.3 C. D. 解析 如图所示，由抛物线的定 义知，点P到准线x=- 的距离d 等于点P到焦点的距离|PF|. 因此点P到点（0，2）的距离与 点P到准线的距离之和可转化为 点P到点（0,2）的距离与点P到 点F的距离之和,其最小值为点M （0，2）到点 的距离，则距离之和的最小 值为 A

  36. 二、填空题 7.已知抛物线型拱的顶点距离水面2米时，测量水 面宽为8米，当水面上升 米后，水面的宽度是 米. 解析 设抛物线方程为x2=-2py,将（4，-2）代 入方程得16=-2p·（-2），解得2p=8. 故方程为x2=-8y，水面上升 米，则y=- , 代入方程，得x2=-8· =12，x=±2 . 故水面宽4 米. 4

  37. 8.过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线l，交抛 物线于A，B两点，交其准线于C点.若 =3 ,则直线l的斜率为 . 解析 由抛物线定义,|BF|等于B到准线距离 |BB1|, 在△CBB1中，sin∠BCB1= 故直线l的斜率为k=±2 . ±2

  38. 9.抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点的距离之和是 5，则线段AB中点到y轴的距离是. 解析 由抛物线定义可得，A、B到准线x=- 的距离之和也是5，从而线段AB中点到准线距 离是 ，故AB中点到y轴的距离是 2

  39. 三、解答题 10.如图所示，已知F（0，1）， 直线l:y=-2,圆C：x2+(y-3)2=1. （1）若动点M到点F的距离比它到 直线l的距离小1，求动点M的轨迹 方程E； （2）过轨迹E上一点P作圆C的切线，切点为A、B，要使四边形PACB的面积S最小，求点P的坐 标及S的最小值.

  40. 解 （1）设M（x,y），得 =|y+2|-1. 当y≥-2时，化简得x2=4y; 当y＜-2时，有x2=8y+8,则y≥-1与y＜-2矛盾， 故舍去. ∴点M的轨迹E的方程为x2=4y. （2）设P（x,y),∵S=2S△PAC,|AC|=1, ∴若要S最小，则要S△PAC最小. 要S△PAC= |PA|最小，即|PA|最小. ∵|PC|2=1+|PA|2，

  41. 又∵|PC|2=x2+（y-3）2=4y+（y-3）2 =（y-1）2+8， 当y=1时， ∴Smin= ， 此时点P的坐标为（±2,1）.

  42. 11.如图所示，倾斜角为 的直 线经过抛物线y2=8x的焦点F， 且与抛物线交于A、B两点. （1）求抛物线焦点F的坐标及 准线l的方程； （2）若 为锐角，作线段AB的 垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2 为定值，并求此定值.

  43. （1）解 由已知得2p=8,∴ =2, ∴抛物线的焦点坐标为F(2，0),准线方程为x=-2. （2）证明 设A（xA，yA），B（xB，yB），直线 AB的斜率为k=tan ,则直线方程为y=k(x-2), 将此式代入y2=8x,得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0, 故xA+xB= 记直线m与AB的交点为E（xE,yE)，则

  44. 故直线m的方程为y- 令y=0,得点P的横坐标xP= 故|FP|=xP-2= ∴|FP|-|FP|cos 2 = (1-cos 2 ) 为定值.

  45. 12.如图,过点F（1,0）的直线l与抛 物线C：y2=4x交于A、B两点. （1）若|AB|=8，求直线AB的 方程； （2）记抛物线C的准线为l′， 设直线OA、OB分别交l′于点 N、M，求·的值.

  46. 解 （1）设A（x1，y1），B（x2，y2），|AB|=8, 即x1+x2+p=8,∴x1+x2=6. ∵|AB|＞2p,∴直线l的斜率存在，设其方程为 y=k(x-1). 由方程组 消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, ∴x1+x2= 即 得k=±1. ∴直线AB的方程是x-y-1=0或x+y-1=0.

  47. （2）①当直线l的斜率不存在时， =x1x2+y1y2=1-4=-3. ②当直线l的斜率存在时， 由（1）知，x1x2=1,y1y2=- 设M（-1，y3）,N(-1,y4),B,O，M三点共线， ∴ 同理可得y4=- ∴ =（-1，y3）·（-1，y4） =1+y3y4=1+ 综上， =-3. 返回

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