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第 3 章 集合

第 3 章 集合. 3.1 集合的概念与表示法. 3.2 集合的运算与性质. 3.3 集合的划分与覆盖. 3.4 排列与组合. 3.5 归纳原理. 3.6 容斥原理和抽屉原理. 3.7 递推关系. 3.8 集合论在命题逻辑中的应用. 3.1 集合的概念与表示法. 3.1.1 集合的概念. 3.1.2 集合的表示法. 3.1.3 集合的包含与相等. 3.1.4 空集、集族、幂集和全集. 3.1.5 有限幂集元素的编码表示. 3.1.1 集合的概念. 一般我们把一些确定的互不相同的对象的全体称为集合，集合中的对象称为集合的元素。.

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第 3 章 集合

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  1. 第3章 集合

  2. 3.1 集合的概念与表示法 3.2 集合的运算与性质 3.3 集合的划分与覆盖 3.4 排列与组合 3.5 归纳原理 3.6 容斥原理和抽屉原理 3.7 递推关系 3.8 集合论在命题逻辑中的应用

  3. 3.1集合的概念与表示法 3.1.1集合的概念 3.1.2 集合的表示法 3.1.3 集合的包含与相等 3.1.4 空集、集族、幂集和全集 3.1.5 有限幂集元素的编码表示

  4. 3.1.1 集合的概念 一般我们把一些确定的互不相同的对象的全体称为集合，集合中的对象称为集合的元素。 通常用大写字母(如A、B等)表示集合，用小写字母(如a、b)表示集合中的元素。给定一个集合A和一个元素a，可以判定a是否在集合A中。如果a在A中，我们称a属于A，记为a∈A。否则，称a不属于A，记为aA。 例如，某大学计算机系的全体学生、所有自然数等都是集合。

  5. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性和抽象性。集合元素的特征：确定性、互异性、无序性和抽象性。 确定性：一旦给定了集合A，对于任意元素a，可准确地判定a是否在A中，这是明确的。 互异性：集合中的元素之间是彼此不同的。即集合{a，b，b，c}与集合{a，b，c}是一样的。 无序性：集合中的元素之间没有次序关系。即集合{a，b，c}与集合{c，b，a}是一样的。 抽象性：集合中的元素是抽象的，甚至可以是集合。如A＝{1，2，{1，2}}，其中{1，2}是集合A的元素。

  6. 集合中元素的个数称为集合的基数，记为|A|。当|A|有限时，称A为有限集合；否则，称A为无限集合。集合中元素的个数称为集合的基数，记为|A|。当|A|有限时，称A为有限集合；否则，称A为无限集合。 下面将本书中常用的集合符号列举如下： N：表示全体自然数组成的集合。 Z：表示全体整数组成的集合。 Q：表示全体有理数组成的集合。 R：表示全体实数组成的集合。 Zm：表示模m同余关系所有剩余类组成的集合。

  7. 3.1.2 集合的表示法 1.列举法 列举法就是将集合的元素全部写在花括号内，元素之间用逗号分开。 例如：A＝{a，b，c}，B＝{0，1，2，…}。 列举法一般用于有限集合和有规律的无限集合。

  8. 2.谓词表示法 谓词表示法是用谓词来概括集合中元素的属性。通常用{x|p(x)}来表示具有性质p的一些对象组成的集合。 例如：{x|1≤x≤6∧x为整数}为由1、2、3、4、5、6组成的集合。

  9. 3.1.3 集合的包含与相等 外延性原理：两个集合A和B是相等的，当且仅当它们有相同的元素。记为A＝B。 例如，若A＝{2，3}，B＝{小于4的素数}，则A＝B。 定义3.1 设A和B为两个集合，若对于任意的a∈A必有a∈B，则称A是B的子集，也称A包含于B或B包含A，记作AB。如果B不包含A，记作A B。B包含A的符号化表示为： ABx(x∈A→x∈B)。

  10. 例如，若A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2}，C＝{2，3}，则BA且CA，但C B。 定理3.1 集合A和B相等当且仅当这两个集合互为子集。即：A＝BAB∧BA。 证明 若A＝B，则A和B具有相同的元素，于是x(x∈A→x∈B)、x(x∈B→x∈A)都为真，即AB且BA。 反之，若AB且BA，假设A≠B，则A与B元素不完全相同。不妨设有某个元素x∈A但xB，这与AB矛盾，所以A＝B。

  11. 定理3.2 设A、B和C是三个集合，则： (1)AA。 (2)AB∧BCAC。 证明 (1)由定义显然成立。 (2)AB∧BC x(x∈A→x∈B)∧x(x∈B→x∈C) x((x∈A→x∈B)∧(x∈B→x∈C)) x(x∈A→x∈C) AC。

  12. 定义3.2 设A和B是两个集合，若AB且B中至少有一个元素b使得bA，则称A是B的真子集，也称A真包含于B或B真包含A，记作AB。否则，记作AB。B真包含A的符号化表示： ABx(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA)。 若两个集合A和B没有公共元素，我们说A和B是不相交的。

  13. 例如，若A＝{a，b，c，d}，B＝{b，c}，则B是A的真子集，但A不是A的真子集。例如，若A＝{a，b，c，d}，B＝{b，c}，则B是A的真子集，但A不是A的真子集。 注：∈与表示元素和集合的关系，而、与＝表示集合和集合的关系。 例如，若A＝{0，1}，B＝{0，1，{0，1}}，则AB且AB。 定理3.3 设A、B和C是三个集合，则 (1)(AA)。 (2)AB(BA)。 (3)AB∧BCAC。

  14. 证明 仅证(2)和(3) (2)AB x(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA) x(xA∨x∈B)∧x(x∈B∧xA) x(x∈A∧xB)∧x(xB∨x∈A) x(x∈A∧xB)∨x(x∈A∨xB) (x(x∈A∧xB)∧x(x∈A∨xB)) (x(x∈A∧xB)∧x(x∈B→x∈A)) (BA)。

  15. (3)AB∧BC (x(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA)) ∧(x(x∈B→x∈C)∧x(x∈C∧xB)) x(x∈A→x∈B∧x∈B→x∈C) ∧(x(x∈B∧xA)∧x(x∈C∧xB)) x(x∈A→x∈C)∧(x(x∈C∧xA) AC。

  16. 3.1.4 空集、集族、幂集和全集 定义3.3 没有任何元素的集合称为空集，记作。以集合为元素的集合称为集族。 例如，{x|x≠x}是空集；{x｜x是某大学的学生社团}是集族。 定理3.4 空集是任何集合的子集。 证明 任给集合A，则Ax(x∈→x∈A)。由于x∈是假的，所以x(x∈→x∈A)为真，于是有A为真。

  17. 推论 空集是惟一的。 对于任一集合A，我们称空集和其自身A为A的平凡子集。 特别要注意与{}的区别，是不含任何元素的集合，是任意集合的子集，而{}是含有一个元素的集合。 定义3.4 一个集合A的所有子集组成的集合称为A的幂集，记作P(A)或2A。

  18. 例1求幂集P()、P({})、P({，{}})、P({1，{2，3}})。例1求幂集P()、P({})、P({，{}})、P({1，{2，3}})。 解 P()＝{} P({})＝{，{}} P({，{}})＝{，{}，{{}}，{，{}}} P({1，{2，3}})＝{，{1}，{{2，3}}， {1，{2，3}}}。

  19. 定理3.5 若|A|＝n，则|P(A)|＝2n。 证明 因为A的m个元素的子集的个数为Cnm，所以|P(A)|＝Cn0＋Cn1＋…＋Cnn＝2n。 定理3.6 设A和B是两个集合，则： (1)B∈P(A)BA。 (2)ABP(A)P(B)。 (3)P(A)＝P(B)A＝B。 (4)P(A)∈P(B)A∈B。 (5)P(A)∩P(B)＝P(A∩B)。 (6)P(A)∪P(B)P(A∪B)。

  20. 定义3.5 所要讨论的集合都是某个集合的子集，称这个集合为全集，记作U或E。 全集是一个相对的概念。由于所研究的问题不同，所取的全集也不同。例如，在研究整数间的问题时，可把整数集Z取作全集。在研究平面几何的问题时，可把整个坐标平面取作全集。

  21. 3.1.5 有限幂集元素的编码表示 为便于在计算机中表示有限集，可对集合中的元素规定一种次序，在集合和二进制之间建立对应关系。设U＝{a1，a2，…，an}，对U的任意子集A，A与一个n位二进制数b1b2…bn对应，其中bi＝1当且仅当ai∈A。对于一个n位二进制数b1b2…bn，使之对应一个集合A＝{ai|bi＝1}。

  22. 例如，若A＝{a，b，c}，则A的幂集为P(A)＝{Ai|i∈J}，其中J＝{i|i是二进制数且000≤i≤111}，其中A000＝，A011＝{b，c}等。 一般地P(A)＝{Ai|i∈J}，其中J＝{i|i是二进制数且 ≤i≤ }。

  23. 3.2 集合的运算与性质 3.2.1 集合的交、并、补 3.2.2 集合的对称差 3.2.3 广义并、广义交运算 3.2.4 集合的文氏图

  24. 3.2.1集合的交、并、补 定义3.6 设A和B为两个集合，A和B的交集A∩B、并集A∪B分别定义如下： A∩B＝{x|x∈A∧x∈B} A∪B＝{x|x∈A∨x∈B} 例如，若A＝{1，2，3}，B＝{1，4}，则A∩B＝{1}，A∪B＝{1，2，3，4}。 集合的交与并可以推广到n个集合的情况，即 A1∩A2∩…∩An＝{x|x∈A1∧x∈A2∧…∧x∈An} A1∪A2∪…∪An＝{x|x∈A1∨x∈A2∨…∨x∈An}

  25. 例1 设A和B为两个集合，且AB，则A∩CB∩C。 证明 对任意的x∈A∩C，则有x∈A且x∈C。而AB，由x∈A得x∈B，则x∈B且x∈C，从而x∈B∩C。所以，A∩CB∩C。 例2 设A和B为两个集合，则ABA∪B＝BA∩B＝A。 证明 对任意的x∈A∪B，则x∈A或x∈B。又AB，所以x∈B，于是A∪BB。又显然有BA∪B，故A∪B＝B。 反之，若A∪B＝B，因AA∪B，所以AB。 同理可证ABA∩B＝A。

  26. 定义3.7 设A和B为两个集合，所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为B对于A的补集，或相对补。记作A－B＝{x|x∈A∧xB}。A－B也称为A和B的差集。 例如，若A＝{1，2，3}，B＝{1，4}，则A－B＝{2，3}，B－A＝{4}。 定义3.8 设U为全集，集合A关于U的补集U－A称为集合A的绝对补或余集，记为Ac。即: Ac＝{x|x∈U且xA}。

  27. 例3设A和B为两个集合，则A－B＝A∩Bc。 因为x∈A－B x∈A∧xB 证明 x∈A∧x∈Bc x∈A∩Bc 所以A－B＝A∩Bc。 定理3.7 对于任意3个集合A、B和C，其交、并、补满足下面10个定律： (1)幂等律 A∩A＝A，A∪A＝A

  28. (2)结合律 (A∪B)∪C＝A∪(B∪C) (A∩B)∩C＝A∩(B∩C) (3)交换律 A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A (4)分配律 A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C) (5)同一律 A∪＝A，A∩U＝A (6)零律 A∪U＝U，A∩＝ (7)互补律 A∪Ac＝U，A∩Ac＝

  29. (8)吸收律 A∪(A∩B)＝A，A∩(A∪B)＝A (9)德·摩根律 (A ∪B)c＝Ac ∩Bc (A∩B)c＝Ac∪Bc A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C) A－(B∩C)＝(A－B)∪(A－C) (10)双重否定律 (Ac)c＝A 以上等式的证明主要用到命题演算的等价式，即欲证集合A＝B，只需证明x∈Ax∈B。

  30. 定理3.8 任意集合A和B，B＝AcA∪B＝U且A∩B＝。 A∩B＝A∩Ac＝。 如B＝Ac， 则A∪B＝A∪Ac＝U， 证明 反之，若A∪B＝U且A∩B＝， ＝(B∩A)∪(B∩Ac) 则B＝B∩U ＝B∩(A∪Ac) ＝∪(B∩Ac) ＝(A∩Ac)∪(B∩Ac) ＝Ac ＝(A∪B)∩Ac ＝U∩Ac

  31. 例4证明A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)。 证明 因为x∈A∩(B∪C) x∈A∧x∈(B∪C) x∈A∧(x∈B∨x∈C) (x∈A∧x∈B)∨(x∈A∧x∈C) x∈(A∩B)∨x∈(A∩C) x∈(A∩B)∪(A∩C) 所以A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)。

  32. 例5证明(A∪B)c＝Ac∩Bc。 证明 因为x∈(A∪B)c xA∪B xA∧xB x∈Ac∧x∈Bc x∈Ac∩Bc 所以(A∪B)c＝Ac∩Bc。

  33. 例6证明A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C)。 证明 因为x∈A－(B∪C)x∈A∧x(B∪C) x∈A∧(xB∧xC) (x∈A∧xB)∧(x∈A∧xC) x∈(A－B)∧x∈(A－C) x∈(A－B)∩(A－C) 所以A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C)。

  34. 例7证明A∩(B－C)＝(A∩B)－(A∩C)。 证明 A∩(B－C)＝A∩(B∩Cc)＝(A∩B∩Ac)∪(A∩B∩Cc) (A∩B)∩(Ac∪Cc)＝ (A∩B)－(A∩C)。 例8已知A∪B＝A∪C，A∩B＝A∩C，试证B＝C。 证明 B＝B∩(A∪B)＝B∩(A∪C)＝(B∩A)∪(B∩C) ＝(A∩C)∪(B∩C)＝(A∪B)∩C ＝(A∪C)∩C＝C。

  35. 3.2.2集合的对称差 定义3.9 集合A和B的对称差定义为AB＝(A－B)∪(B－A)。 例如，若A＝{0，{0}}，则P(A)A＝(P(A)－A)∪(A－P(A))＝{，0，{{0}}，{0，{0}}}。 定理3.9 设A、B和C为三个集合，则： (1)AB＝BA。 (2)(AB)C＝A(BC)。 (3)A∩(BC)＝(A∩B)(A∩C)。

  36. (4)A＝A；AU＝Ac； AA＝；AAc＝U。 (5)AB＝(A∪B)－(A∩B)。 证明 仅证(5) AB＝(A－B)∪(B－A)＝(A∩Bc)∪(B∩Ac) ＝((A∩Bc)∪B)∩((A∩Bc)∪Ac) ＝(A∪B)∩(Ac∪Bc) ＝(A∪B)－(A∩B)。

  37. 3.2.3广义并、广义交运算 定义3.10 集合A的所有元素的元素组成的集合称为A的广义并。符号化表示为： ∪A＝{x|B(B∈A∧x∈B)}。 定义3.11 集合A的所有元素的公共元素组成的集合称为A的广义交。符号化表示为： ∩A＝{x|B(B∈Ax∈B)}。 例如，若A＝{{a，b，c}，{a，d，e}，{a，f}}，则∪A＝{a，b，c，d，e，f}，∩A＝{a}。 注：广义交和广义并是针对集族而言的，对于非集族来说，其广义交和广义并均为空集。

  38. 定理3.10 设A和B为两个集合，则： (1)∪{A}＝A。 (2)∪(A∪B)＝(∪A)∪(∪B)。 证明 (1)因为x∈∪{A}B(B∈{A}∧x∈B) A∈{A}∧x∈Ax∈A 所以∪{A}＝A (2)因为x∈∪(A∪B)C(C∈A∪B∧x∈C) C((C∈A∨C∈B)∧x∈C) C((C∈A∧x∈C)∨(C∈B∧x∈C)) C(C∈A∧x∈C)∨C(C∈B∧x∈C) x∈∪A∨x∈∪Bx∈(∪A)∪(∪B) 所以∪(A∪B)＝(∪A)∪(∪B)。

  39. 定理3.11 设A和B为两个集合，则： (1)∩{A}＝A。(2)∩{A，B}＝A∩B。 证明 (1)因为x∈∩{A}B(B∈{A}x∈B) A∈{A}x∈Ax∈A 所以∩{A}＝A。 (2) 因为x∈∩{A，B}C(C∈{A，B}x∈C) (A∈{A，B}x∈A)∧(B∈{A，B}x∈B) x∈A∧x∈Bx∈A∩B 所以∩{A，B}＝A∩B。

  40. 3.2.4集合的文氏图 集合之间的相互关系和运算还可以用文氏图来描述，它有助于我们理解问题，有时对解题也很有帮助。在不要求有求解步骤的题目中，我们可以使用文氏图求解，但它不能用于题目的证明。 在文氏图中，用矩形表示全集U，矩形内部的点均为全集中的元素，用圆或椭圆表示U的子集，其内部的点表示不同集合的元素，并将运算结果得到的集合用阴影部分表示。图3-1表示了集合的5种基本运算，阴影部分表示经过相应运算得到的。

  41. 3.3集合的划分与覆盖 定义3.12 设S＝{A1，A2，…，An}是集合A的某些非空子集组成的集合，若 A1∪A2…∪An＝A，则称S为集合A的一个覆盖。 定义3.13 设＝{A1，A2，…，An}是集合A的某些非空子集组成的集合，若A1∪…∪An＝A，且Ai∩Aj＝(i≠j)，则称为A的一个划分，称中的元素为A的划分块。

  42. 由定义知，划分一定是覆盖，但反之则不然。例如，S＝{{a}，{b，c}，{c}}是A＝{a，b，c}的覆盖，但不是A的划分。由定义知，划分一定是覆盖，但反之则不然。例如，S＝{{a}，{b，c}，{c}}是A＝{a，b，c}的覆盖，但不是A的划分。 例1 设有整数集Z，res5(x)表示整数x被5除后所得的余数。令Ai＝{x|x∈Z∧res5(x)＝i∧i∈Z5}，则{A0，A1，A2，A3，A4}作成Z的一个划分。 解 由题设得：A0＝{…，－10，－5，0，5，10，…}，A1＝{…，－9，－4，1，6，11，…}，A2＝{…，－8，－3，2，7，12，…}，A3＝{…，－7，－2，3，8，13，…}，A4＝{…，－6，－1，4，9，14，…}。于是，A0∪A1∪A3∪A4＝Z，且Ai∩Aj＝(i≠j)。所以，{A0，A1，A2，A3，A4}是Z的一个划分。

  43. 例2求集合A＝{a，b，c}的所有不同的划分。 解 其不同的划分共有5个：1＝{{a}，{b}，{c}}，2＝{{a}，{b，c}}，3＝{{a，c}，{b}}，4＝{{a，b}，{c}}，5＝{{a，b，c}} 。 定理3.12 设{A1，A2，…，Ar}和{B1，B2，…，Bs}是同一集合A的两种划分，则其所有Ai∩Bj≠组成的集合也是原集合的一种划分。

  44. 定义3.14 设{A1，A2，…，Ar}和{B1，B2，…，Bs}是同一集合A的两种划分，则称其所有Ai∩Bj≠组成的集合为原来两划分的交叉划分。 定义3.15 给定A的两个划分{A1，A2，…，Ar}和{B1，B2，…，Bs}，若对于每个Aj都有Bk使得AjBk，则称{A1，A2，…，Ar}为{B1，B2，…，Bs}的加细。

  45. 定理3.13 任何两种划分的交叉划分，都是原来各划分的一种加细。 证明 设{A1，A2，…，Ar}和{B1，B2，…，Bs}的交叉划分为T，对于T中任意元素Ai∩Bj必有Ai∩BjAi和Ai∩BjBj，故T必是原划分的加细。 例3设A1、A2和A3是全集U的子集，则形如∩Ai(Ai为Ai或Ai)的集合称为由A1、A2和A3产生的小项。试证由A1、A2和A3所产生的所有非空小项的集合构成全集U的一个划分。

  46. 证明 小项共8个，设有r个非空小项s1、s2、…、sr(r≤8)。 对任意的a∈U，则a∈Ai或a∈Ai，两者必有一个成立 取Ai为包含元素a的Ai或Ai，则a∈∩Ai，即有a∈∪si，于是U ∪si。又显然有∪siU，所以U＝∪si。 任取两个非空小项sp和sq，若sp≠sq，则必存在某个Ai和 分别出现在sp和sq中，于是sp∩sq＝。 综上可知，{s1，s2，…，sr}是U的一个划分。

  47. 3.6容斥原理和抽屉原理 3.6.1容斥原理 3.6.2抽屉原理

  48. 3.6.1容斥原理 定理3.19(容斥原理) 对有限集合A和B，有|A∪B|＝|A|＋|B|－|A∩B|。 证明 因为A∪B＝B∪(A－B)且B∩(A－B)＝ 所以|A∪B|＝|B|＋|A－B|。 又A＝(A－B)∪(A∩B)且(A－B)∩(A∩B)＝ 所以|A|＝|A－B|＋|A∩B|。 故|A∪B|＝|A|＋|B|－|A∩B| 。

  49. 定理3.20 推广到n个集合A1，A2，…，An的情形，有： |A1∪A2∪…∪An|＝ ∑i|Ai|－∑i＜j|Ai∩Aj|＋ ∑i＜j＜k|Ai∩Aj∩Ak|－… ＋(－1)n－1|A1∩A2∩…∩An|。

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