FII-03 S peciální elektrostatická pole. Kapacita .

1. FII-03 Speciální elektrostatická pole.Kapacita.

2. Hlavní body • Elektrický náboj a pole ve vodičích • Pole elektrického dipólu • Chování elektrického dipólu ve vnějším elektrickém poli • Příklad na jímání náboje. • kapacita x napětí = náboj. • Různé typy kondenzátorů. • Sériové zapojení kondenzátorů. • Paralelní zapojení kondenzátorů.

3. Nabitý plný vodič I • Nabít vodič znamená přenést do něj nějaké přebytečné náboje jedné z polarit. • Speciálním případem jsou kovy, u nichž jsou volnými nositeli náboje elektrony. • Zde znamená zápornénabití přidání dalších elektronů, kterých je látka schopna přijmout značné množství. • Naopak odebránímelektronů vznikne efektivní přebytečný kladný náboj, což je ekvivalentní nabití tělesa kladně. • Pro většinu úvah můžeme chování “mezer” po elektronech chápat jako volnékladnénáboje.

4. Nabitý plný vodič II • Přebytečné náboje se odpuzují a protože jsou volné a mohou se v rámci vodiče volně pohybovat, musí skončit na povrchu. • Rovnováha, které je nakonec díky pohyblivosti nábojů dosaženo, je charkteristická tím, že výslednicesil, působících na každý náboj, je rovna nule. • Znamená to, že uvnitř vodiče je nulovépole a celý jeho objem včetně povrchů je ekvipotenciálníoblastí.

5. Dutá vodivá slupka I • V rovnováze opět : • přebytečné náboje musí skončit na povrchu • uvnitř je nulovépole a celétěleso je ekvipotenciálníoblastí. • Tyto podnímky mají hlubokou souvislost s platnostíGaussovy věty. • Pro důkaz se vraťme ke Gaussově větě :

6. Opět Gausova věta I • Mějme kladný bodový náboj Q a kulovou Gaussovu plochu o poloměru r centrovanou v náboji. Předpokládejme nyní radiální pole : • Siločáry jsou všude paralelní ke vnějším normálám, takže celkový tok je : • Případ p2by znamenal závislosttokunar!

7. Opět Gausova věta II • Platnost Gaussovy věty p = 2. • Užitím pojmu prostorového úhlu lze ukázat • platnost pro bodový náboj umístěný kdekoli uvnitř kulové plochy. • platnost pro každou uzavřenou plochu. • Z každého bodu objemu totiž vidíme každou uzavřenou plochu pod celkovým prostorovým úhlem 4.

8. Dutá vodivá slupka II • Vezměme nejprve kulové těleso. Hustotanáboje na jeho povrchu musí být ze symetrie konstantní. • Ze symetrie dále plyne, že intenzity vyvolané elementárními ploškami se ve středu koule kompenzují a . • V jiných bodech se ale budou kompenzovat a pole bude nulové pouze v případě, že p = 2. • S použitím pojmu prostorového úhlu lze totéž dokázat pro jakoukoli uzavřenouplochu.

9. Dutá vodivá slupka III • Závěr: existence nulovéhopole v jakémkoli bodě uvnitř nabité vodivé slupky libovolného tvaru je ekvivalentníplatnostiGaussovy věty. • To je principem : • experimentálního důkazu Gaussovy věty s velkou přesností : p – 2 = 2.7  3.1 10-16. • stínění a zemnění (např. Faradayova klec)

10. Pole v blízkosti nabité plochy závisí na hustotě náboje • Vezmeme malý válec a ponoříme jej do vodiče, aby osa válce byla k vodiči kolmá. • Elektrické pole : • uvnitř vodiče je nulové • vně je kolmé k povrchu plochy • Nenulový tok prochází pouze vnější podstavou • Pozor nahrany!  není obecně konstantní!

11. Elektrický dipól I • Látky mohou vytvářet nenulovéelektricképole, i když je v nich celkovýnábojvykompenzován. • Musí obsahovat takzvané multipóly, tedy částice (oblasti), v nich jsou těžiště kladného a záporného náboje v různých bodech. • Vytvářená pole obecně nejsoucentrosymetrická a mizírychleji než pole bodového náboje.

12. Elektrický dipól II • Nejjednoduším multipólem je elektrický dipól : • Skládá se ze dvou nábojů o stejné absolutní hodnotě ale různéhoznaménka+Q and –Q. • Jejich vzájemnou polohu lze popsat vektorem . • Definujeme dipólovýmoment. • Elektrické dipóly (multipóly) jsou důležité, protože jsou příčinou elektrického chování elektricky neutrální(i mikrosopicky!) hmoty.

13. Elektrický dipól III

14. Elektrický dipól IV • Pomocí dipólových momentů vysvětlujeme tedy základní chování látek ve vnějším elektrickém poli. • Oblasti látek (částice) mohou mít buď vlastní nebo indukovaný dipólový moment. • Dipólový moment je také příčinou některých slabších meziatomových vazeb.

15. Chování elektrického dipólu ve vnějším poli • V homogenních elektrických polích působí na dipóly momenty síly, které se je snaží natočit do směru pole, tedy ztotožnit směr dipólového momentu se směrem vektoru elektrické intenzity (siločar). • V polích nehomogenních jsou dipóly také taženy nebo posunovány.

16. Příkladyněkterých polí • Pole homogenně nabité koule • Pole paralelních stejnoměrně nabitých rovin • Princip elektrostatické kopírky (xeroxu)

17. Jímání náboje I • V 18. Století byli lidé fascinováni prvními elektrickými jevy, zvláště velkými výboji. Baviči byli postaveni před problém jak akumulovat maximální možný náboj. Nejprve šli cestou větších a větších nádob, ale později nalezli lepší řešení! • Mějme vodivou kouli o poloměrura=1 m. • Můžeme na ní jímat libovolný náboj?

18. Jímání náboje II • Odpověď jeNE! • V praxi jsmelimitováni mezní intenzitou. V suchém vzduchu je to Em 3 106 V/m. • Mezní intenzita závisí na vlastnostechokolí vodiče, ale je konečná i ve vakuu. • Je-li dosaženo mezní intenzity vodič se bude samovolněvybíjet. (užitečné při studiu struktury) • Schopnost samovybíjení se zvětšuje u členitých povrchů. Protože u výčnělků se intenzita zvětšuje.

19. Jímání náboje III • Z Gaussovy věty plyne, že intenzita E=0uvnitř koule a E=kQ/ra2těsně u jejího povrchu. • Ze vztahu potenciálu a intenzity těsně u povrchu koule =kQ/ra . • Kombinací dostaneme : =raE for r>ra • Maximální napětí a náboj na kouli tedy je :  = 3 106 V  Q = 3.3 10-4 C.

20. Jímání náboje IV • Potom někdo (v Leydenu) udělal “zázrak”! Do původní koule (nabité např. nábojem +Q) umístil soustředně menší kouli o poloměru rba uzemnil ji. • Protože vnitřní koule byla původně na potenciálu vnější koule, byly po uzemnění odpuzeny kladné náboje do země, až k dosažení rovnováhy, při které na vnitřní kouli zůstal náboj –Qb. • Náboj na vnějším povrchu větší koule poklesl na Qa, protože náboj Qb je vázán na povrchu vnitřním

21. Jímání náboje IV • Pole uvnitř tloušťky vnější koule musí být nulové. Pro celkový náboj tedy platí : Q = Qa+ Qb • Potenciál a intenzita pole klesly. Přitom celkový náboj zůstal zachován! • Systém dvou koulí má proti kouli jedné větší schopnost jímat náboj. Je totiž možné na vnější kouli přidat další náboj než by došlo k samovybíjení.

22. *Jímání nábojeV • The potential from the outer sphere: a = kQ/ra for rra ; a = kQ/r for r>ra • The potential from the inner sphere: b = -kQ/rb for rrb ; b = -kQ/r for r>rb • From the superposition principle: (r) = a(r)+ b(r) • The potential is zero outside the system!

23. *Jímání nábojeVI • The potential on the inner sphere is here also the voltage between the spheres: V = (rb) = kQ(1/ra – 1/rb) = kQ(rb – ra)/rbra • If rb>ra/2 it starts to be interesting. Let: rb = 0.99ra and Q = 3.3 10-4 C  V = 3 10-4 V • We can charge further up to Q  3.3 10-2 C! • We have obtained a capacitor (condenser).

24. Jímání nábojeVI • Celkový náboj, kterým je možné nabít soustavu koulí závisí na jejich velikosti. • Čím jsou koule větší a jejich rozměry jsou bližší, tím je náboj větší. • Například pro rb = 99 cm, Q  3.3 10-2 C, čili 100 krát větší! • Získali jsme zařízení pro jímání náboje –kondenzátor.

25. Kapacita • Napětí mezi dvěma vodičinabitými na náboj +Q a –Q je obecně úměrné tomuto náboji : Q = C U • Kladná konstanta úměrnosti C se nazývá kapacita. Fyzikálně je to schopnostjímatnáboj. • Jednotkou kapacity je Farad1 F = 1 C/V

26. Různé typy kondenzátorů • Je mnoho důvodů vyrábět elektronickou součástky, které mají schopnost jímat náboj – kondenzátory. • Hlavní užití je pro jímání náboje a potenciální energie a některé doprovodné jevy související s nabíjením a vybíjením. • Nejčastěji se užívá deskových, válcových, kulových a svitkových kondenzátorů.

27. Dvě paralelní nabité roviny • Dvě velké paralelní roviny jsou vzdáleny d. Jedna je nabita s plošnou hustotou  druhá s hustotou -. • Intenzita mezi deskami bude Eia intenzita vně Eo. Co platí? • A) Ei= 0, Eo=/0 • B) Ei= /0, Eo=0 • C) Ei= /0, Eo=/20

28. Určení kapacity kondenzátoru • Obecně najdeme závislost náboje Q na napětí U a vyjádříme kapacitu jako konstantu úměrnosti. • Mějme například deskový kondenzátor s rovnoběžnými deskami o ploše S a vzdálenosti d, nabité na náboj +Q a -Q: • Z Gaussovy věty : E = /0 = Q/0S • Také : E=U/d  Q = 0AU/d  C = 0S/d

29. Nabíjení kondenzátoru • Kondenzátor nabíjíme • budˇ propojíme jednu elektrodu kondenzátoru s kladným a druhou se záporným pólem zdroje stejnosměrného napětí. Po dosažení rovnováhy bude každá elektroda kondenzátoru mít stejný potenciál jako elektroda zdroje s ní spojená a napětí na kondenzátoru bude rovné napětí zdroje. • nebo uzemníme jednu elektrodu a nadruhou přivedeme náboj. Po dosažení rovnováhy se na uzemněné elektrodě musí objevit náboj opačné polarity. • Podrobnostmi procesů se budeme zabývat později.

30. Sériové zapojení kondenzátorůI • Mějme kondenzátory C1 aC2zapojené do série. Můžeme je nahradit jedinou kapacitou: • Nabijeme-li jednu elektrodu, ostatní se nabijí indukcí a náboj na všech sériově zapojených kondenzátorech musí být stejný : Q = Q1 = Q2

31. Sériové zapojení kondenzátorůII • K sobě připojené elektrody jsou na stejném potenciálu. Celkové napětí na všech sériově zapojených kondenzátorech musí být tedy součtem napětí na jednotlivých kondenzátorech U = U1 + U2

32. Paralelní zapojení kondenzátorů I • Mějme dva kondenzátory C1 a C2zapojené paralelně. Můžeme je nahradit jediným kondenzátorem s kapacitou Cp : Cp = C1 + C2 • Celkový náboj se rozdělí na jednotlivé kondenzátory Q = Q1 + Q2 • Napětí na všech kondenzátorech je stejné U = U1 = U2 Cp = Q/U = Q1/U+ Q2/U = C1 + C2

33. Prostorový úhel I • Mějme povrch koule o poloměru r. Z jejího středu vidíme element plochy dSpod prostorovým úhlem d : Celý povrch vidíme pod úhlem :

34. Prostorový úhel II Je-li ve středu koule bodový náboj Q, je elementární tok intenzity ploškou dS : Protože poslední zlomek jed, je celkový tok: ^

35. Intenzity v okolí zakřivenějších povrchů jsou větší • Mějme velkou a malou vodivou kouli o poloměrech R a r, které jsou spojeny vodivým drátem. Když tento útvar nabijeme, rozloží se přebytečný náboj na Q a q tak, aby byl všude stejný potenciál : ^

36. Potenciál elektrického dipólu I • Mějme náboj–Qv počátku a +Qv bodě, určeném vektorem . Jaký je potenciál v bodě ? Použijeme princip superpozice a gradient :

37. Potenciál elektrického dipólu II • První dva pomalu klesající výrazy se zruší : • Potenciál máosovou symetrii, kde dipól leží v ose a osovou anti-symetrii kolmou na tuto osu. Potenciál klesá jako 1/r2! ^

38. Elektrický dipól – Moment síly • Mějme homogenní pole s intenzitouE. Síly na oba náboje přispívají ve shodném smyslu k momentu síly : • Obecně je moment síly vektorový součin: ^

39. Elektrický dipól - tah • Mějme nehomogenní elektrické pole, jehož intenzita Ese mění jen v jednom směru dipól paralelní se siločárami (-Q v počátku). • Obecně : ^

40. The vector or cross product I Let c=a.b Definition (components) • The magnitude |c| Is the surface of a parallelepiped made by a,b.

41. The vector or cross product II The vector c is perpendicular to the plane made by the vectors a and b and they have to form a right-turning system. ijk = {1 (even permutation), -1 (odd), 0 (eq.)} ^