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Ch 3

Ch 3. Dynamic Programming ( 動態規劃 ). Dynamic Programming. 將問題切成兩個或以上較小的問題來獲得解答 不像 Divide & Conquer 去盲目計算 計算小實例的結果並加以儲存 Bottom-up. Fibonacci Sequence. f 0 =1 f 1 =1 f n =f n-1 +f n-2 for n>=2. T(n) > 2 n/2. Fibonacci Sequence. 演算法 1.6(Divide & Conquer). Fibonacci Sequence.

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Presentation Transcript

  1. Ch 3 Dynamic Programming (動態規劃)

  2. Dynamic Programming • 將問題切成兩個或以上較小的問題來獲得解答 • 不像Divide & Conquer去盲目計算 • 計算小實例的結果並加以儲存 • Bottom-up

  3. Fibonacci Sequence f0=1 f1=1 fn=fn-1+fn-2 for n>=2 T(n) > 2n/2

  4. Fibonacci Sequence • 演算法1.6(Divide & Conquer)

  5. Fibonacci Sequence 演算法1.7(Dynamic programming)

  6. Fibonacci Sequence 演算法1.6(Divide and Conquer) vs. 1.7(Dynamic programming)

  7. Binomial Coefficient 遞迴表示式 0≦k≦n 0<k<n k=0 or k=n

  8. Binomial Coefficient • 驗算法3.1 T(n)=2 -1

  9. Binomial Coefficient(DP版) • Pascal’s triangle

  10. Binomial Coefficient(DP版)

  11. Binomial Coefficient(DP版) • 演算法3.2 (nk)

  12. Floyd’s shorest length Weighted graph

  13. Weighted graph

  14. Shortest length

  15. Floyd’s shortest length I • 演算法3.3 • T(n)=n3

  16. Floyd’s shortest length II W  P  D

  17. Floyd’s shortest length II

  18. 最佳化原則 • 最佳化原則(principle of optimality)： • 當一個問題存在著最佳解，則表示其所有的子問題也必存在著最佳解

  19. 連鎖矩陣相乘M:相乘最少次數P:分割點

  20. 連鎖矩陣相乘 • 矩陣相乘： • 列x行 • 與相乘順序無關 • 不同順序會影響乘法總次數 • 目的： • 找出最佳順序使得乘法次數最少

  21. 連鎖矩陣相乘 • 標註： • 矩陣Ak的列數為dk-1，行數為dk，維度= dk-1 x dk • M[i][j]=矩陣Ai乘到Aj所需的最少乘法數

  22. 連鎖矩陣相乘(Pascal’s triangle) d0=5, d1=2, d4=6 132=0+72+5x2x6

  23. 演算法3.6 T(n) (n3)

  24. 演算法3.6所產生的陣列P 可以由此陣列得出矩陣相乘 的最佳順序(即乘法次數最少)

  25. 演算法3.7

  26. 最佳二元搜尋樹A:平均時間R:二元樹根節點

  27. 最佳二元搜尋樹 • 二元搜尋樹(binary search tree)定義： • 每個節點包含一個key • 節點N的左子樹中任一節點的key，必需小於或等於節點N的key • 節點N的右子樹中任一節點的key，必需大於或等於節點N的key

  28. 最佳二元搜尋樹 • 目的： • 從一堆資料建立搜尋時間最短的二元搜尋樹 • 名詞： • key • search key機率pi • 搜尋keyi所需時間ci

  29. 演算法3.8 Ci=搜尋keyi所需時間(指令數目) Pi=keyi被當成search key的機率 平均搜尋時間=

  30. 最佳二元搜尋樹 範例3.7

  31. 最佳二元搜尋樹

  32. 演算法3.9 T(n) (n3)

  33. 最佳二元搜尋樹 演算法3.10

  34. 售貨員旅行問題W, D, P

  35. 售貨員旅行問題 有向權重圖

  36. 售貨員旅行問題 • 每個點都需要經過一次，再回到原出發點 • 旅程：由某頂點出發，經過所有頂點一次，再回到該點 • W:相鄰矩陣 • D:最短路徑長度 • D[vi][A]=從vi出發經過A所有頂點一次再回到v1 • P:紀錄路徑上的頂點

  37. 售貨員旅行問題 • V:所有頂點集合 • A:V的子集合 • D[vi][A]=從vi出發經過A所有頂點一次再回到v1的最短路徑 • P[i][A]:紀錄路徑上的頂點，從vi出發經過所有頂點一次，回到v1的路徑上，位在vi後面的第一個頂點

  38. 售貨員旅行問題 • 最佳TOUR長度=min(W[1][j]+D[vj][V-{v1,vj}]) 一般式： T(n)(n22n)

  39. 售貨員旅行問題-演算法3.11

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