第三单元 基本初等函数（ I ）

1. 第三单元 基本初等函数（I） 知识体系

2. 第一节 一次函数、二次函数 基础梳理 1. 一次函数的性质与图象 (1)函数 叫做一次函数.它的定义域为R,值域为R. (2)一次函数具有如下一些主要性质: ①函数值的改变量 与自变量的改变量 的比值等于常数k; ②当k>0时,一次函数是 ;当k<0时,一次函数是 ; ③当b=0时,一次函数变为 函数,是奇函数;当b≠0时,它既不是 ,又不是 ; ④直线y=kx+b与x轴的交点为 ,与y轴的交点为 y=kx+b(k≠0) 增函数 减函数 正比例 奇函数 偶函数 (0,b)

3. 2. 二次函数的性质与图象 (1)函数 叫做二次函数,它的定义域是 (2)二次函数有如下性质: ①函数的图象是 ,抛物线顶点的坐标是 ,抛物线的对称轴是 ; ②当a>0时,抛物线开口向上,函数在 处取 ;在区间 上是减函数,在 上是增函数; ③当a<0时,抛物线开口 ,函数在 处取最大值 ;在区间 上是增函数,在 上是减函数; ④与y轴的交点是 ⑤当Δ=b2-4ac>0时,与x轴两交点的横坐标 分别是方程a 的 的两根;当Δ=0时,与x轴切于一点 ;当Δ<0时,与x轴 ; ⑥当b≠0时,是非奇非偶函数；当b=0时,是 ; ⑦对于函数f(x),若对任意自变量x的值,都有f(a+x)=f(a-x),则f(x)的图象关于直线 对称. R. 一条抛物线 最小值 向下 (0,c) 没有交点 偶函数 x=a

4. 3. 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系

5. 4. 二次函数在闭区间上的最值问题 y=f(x)=a +k(a>0)在[m,n]上的最值问题. (1)h∈[m,n]时, =k, =max{f(m),f(n)}； (2)h [m,n ]时,当h<m时,f(x)在[m,n]上单调 , = = 当h>n时,f(x)在[m,n]上单调递减, = , = . 递增 f(m) f(n) f(n) f(m)

6. 典例分析 题型一 一次函数性质的应用 【例1】一次函数y=(m+2)x+2m-1是增函数,且它的图象与y轴的交点在x轴的下方,求实数m的取值范围. 分析 当k>0时，y=kx+b(k≠0)为增函数,其图象与y轴的交点为(0,b). 解 ∵y=(m+2)x+2m-1是增函数, ∴m+2>0. ① 又∵函数y=(m+2)x+2m-1的图象与y轴的交点在x轴下方,∴2m-1<0. ② 由①、②解得-2<m< .

7. 学后反思 函数y=kx+b(k≠0)解析式中参数k与函数单调性有关,k>0时,函数图象是上升的;k<0时,函数图象是下降的.b反映了函数图象与y轴交点的位置,b>0时,交于x轴上方;b=0时,交于原点;b<0时,交于x轴下方.b又叫做直线y=kx+b在y轴上的截距. 举一反三 1. 已知函数y=(2m-1)x+1-3m,m为何值时： (1)这个函数为一次函数? (2)函数值y随x的增大而减小? (3)这个函数图象与直线y=x+1的交点在x轴上? 解析: (1)当m≠ 时,这个函数为一次函数. (2)根据一次函数的性质,可知当2m-1<0,即m< 时,y随x的增大而减小. (3)直线y=x+1与x轴交于点(-1,0), 将其代入y=(2m-1)x+1-3m中,得1-2m+1-3m=0, ∴m= .

8. 题型二 确定二次函数的解析式 【例2】二次函数f(x)与g(x)的图象开口大小相同，开口方向也相同.已知函数g(x)的解析式和f(x)图象的顶点，写出函数f(x)的解析式. (1)函数g(x)= ,f(x)图象的顶点是(4,-7). (2)函数g(x)=-2 ,f(x)图象的顶点是(-3,2). 分析 题中给出了顶点坐标，可用顶点式设出二次函数，再由g(x)确定a的值. 解 如果二次函数的图象与y=a 的图象开口大小、方向都相同，设顶点坐标为(h,k),则其解析式为y=a +k. (1)因为f(x)与g(x)= 的图象开口大小、方向都相同，f(x)的图象的顶点是（4，-7），所以f(x)= -7= -8x+9. (2)因为f(x)与g(x)=-2 的图象开口大小、方向都相同,f(x)图象的顶点是(-3,2)，所以f(x)=-2 +2=-2 -12x-16.

9. 学后反思 （1）要求函数的解析式，由于已知函数的类型为二次函数，从而可 设y=a +bx+c(a≠0)，根据已知条件列方程组求出参数a、b、c即可. (2)二次函数的解析式有三种形式: ①一般式:y=a +bx+c(a、b、c为常数，a≠0); ②顶点式:y=a +k(a、h、k为常数，a≠0); ③两根式:y= (a、 为常数，a≠0). （3）要确定二次函数的解析式就是确定解析式中的待定系数（常 数），由于每种形式中都含有三个待定系数，所以需要三个独立条 件，这要求深刻挖掘已知条件.

10. 举一反三 2.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数. 解 方法一:利用二次函数一般式. 设f(x)=a +bx+c(a≠0). 由题意得, 解得 ∴所求二次函数为y=-4 +4x+7. 方法二:利用二次函数的顶点式. 设f(x)=a +n(a≠0). ∵f(2)=f(-1),

11. ∴抛物线对称轴为x= ，∴m= . 又根据题意函数有最大值y=8, ∴y=f(x)=a +8. ∵f(2)=-1,∴a +8=-1，解得a=-4. ∴f(x)=-4 +8=-4 +4x+7. 方法三:利用二次函数的两根式. 由已知f(x)+1=0的两根为 =2, =-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0), 即f(x)=a -ax-2a-1. 又函数有最大值 =8,即 =8, 解得a=-4或a=0(舍去). ∴所求函数解析式为f(x)=-4 +4x+7.

12. 题型三 二次函数的图象和性质 【例3】将函数y=-3 -6x+1配方，确定其对称轴和顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图象. 分析 配方后，利用二次函数的性质解决. 解y=-3 -6x+1=-3 +4，由于 项的系数为负数，所以函数图象开口向下；顶点坐标为(-1,4);对称轴为x=-1;函数在区间(-∞,-1］上单调递增，在区间［-1,+∞)上单调递减；函数有最大值，没有最小值，函数的最大值为4.采用描点法画图,选顶点A(- 1,4)，与x轴的交点B（ ）和C 与y轴的交点D(0,1)，再任取一点 E(-2,1)，过这五个点画出图象，如图.

13. 举一反三 • 3.（2010·合肥调研） • 已知函数f(x)=| +2x|，若关于x的方程 +bf(x)+c=0有7个不同的实数解，则b,c的大小关系为( ) • b>c B. b≥c与b≤c中至少有一个正确 • C. b<c D. 不能确定 学后反思（1）由本例可以看出，根据配方法及函数的性质画函数图象，可以直接选取关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便，使图象更精确. (2)二次函数的图象是一条抛物线，其基本特征是有顶点，有对称轴，有开口方向，在画其图象时往往取顶点，以及与坐标轴的交点为特征点进行画图.

14. 解析:令f(x)=t,由 +bf(x)+c=0, ① 得 +bt+c=0. ② 要使①有7个解，则②必须有两解，即f(x)=| +2x|与f(x)=t有7个交点 （如图），所以方程②必有两个解，而f(x)=t中的一条直线必过f(x)=| +2x|折上去的顶点，故②式有一解为 ，另一直线与f(x)=| +2x| 的图象有4个交点，故②式的另一解 必在（0,1)上，所以  ，所以b<c. 答案:C

15. 解 当对称轴x=a<0时,如图1所示. 当x=0时,y有最大值, =f(0)=1-a. ∴1-a=2,即a=-1，且满足a<0, ∴a=-1. 图1图2当0≤a≤1时,如图2所示. 即当x=a时,y有最大值, =f(a)=- +2 +1-a= -a+1. ∴ -a+1=2, 解得a= .图3 ∵0≤a≤1,∴a= 舍去. 当a>1,如图3所示. 由图可知，当x=1时y有最大值, =f(1)=2a-a=2, ∴a=2,且满足a>1,∴a=2. 综上可知，a的值为-1或2. 题型四 二次函数在特定区间上的最值问题 【例4】已知函数f(x)=- +2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2,求a的值. 分析 作出函数图象,因对称轴x=a位置不定,故分类讨论对称轴位置以确定f(x)在[0,1]上的单调情况.

16. 学后反思 二次函数y=a +bx+c(a>0)在区间[m,n]上求最值的方法:先判断 是否在区间[m,n]内. (1)若 ∈[m,n],则最小值为f( )= ,最大值为f(m)、f(n)中较大者(m,n)中与 距离较远的一个为最大值); (2)若  [m,n],当 <m时,f(x)在[m,n]上是单调递增函数,则最小值为f(m),最大值为f(n); 当 >n时,f(x)在[m,n]上是单调递减函数,则最小值为f(n),最大值为f(m). 举一反三 4. （2010·唐山综测)已知函数f(x)= -2ax+3 -1(a>0,0≤x≤1)，求函数f(x)的最大值和最小值.

17. 解析：f(x)= -2ax+3 -1= +2 -1, 由a>0知，当a≥1时，由于f(x)在［0,1］上是减函数，故f(x)的最大值 为f(0)=3 -1,最小值为f(1)=3 -2a; 当0<a<1时，f(x)的最小值为f(a)=2 -1,f(x)的最大值为f(0),f(1)中 的较大者. 若f(0)<f(1)，则3 -1<3 -2a, 解得a< ，所以当0<a< 时，f(x)的最大值为f(1)=3 -2a; 当 ≤a<1时，f(x)的最大值为f(0)=3 -1.

18. 题型五 二次方程根的分布问题 【例5】（12分）已知函数f(x)=m +(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧,求实数m的取值范围. 分析 本题涉及二次方程根的分布问题,很容易联想到根与系数的关系，可根据韦达定理去解决. 解(1)当m=0时,f(x)=-3x+1,直线与x轴的交点为 ,在原点右侧,符合题意.………………………………………………………..…2′ (2)当m≠0时,因为f(0)=1,所以抛物线过点(0,1).………………3′ 若m<0,f(x)的开口向下,如图1所示. 二次函数图象与x轴的两个交点必然是一个在原点右侧,一个在原点左侧.………………………………………………………………..5′

19. 学后反思(1)对于“二次”型函数,若 的系数不确定,要分系数等于零与不等于零两种情况讨论. (2)对于二次方程根的分布,一般借助二次函数的图象比较容易解决. 若m>0,f(x)的开口向上,如图2所示.图1图2 要使交点在原点右侧,当且仅当 ……………8′ 解得 m≤1或m≥9, 0<m<3, 即0<m≤1. ………………………10′ 综上所述,所求m的取值范围是(-∞,1].………………………12′ 举一反三 5. 方程2 -3x=k, （1）若方程在x∈[-1,1]的范围内有实根,求实数k的取值范围. （2）若在（-∞，-1）和（1，3）上各有一实根，求实数k的取值范围.

20. 解析 (1)设f(x)=2 -3x-k, 对称轴为x= . 方程f(x)=0在-1≤x≤1的范围内有两实根时,有 即 解得 ≤k≤-1. 方程f(x)=0在-1≤x≤1的范围内有且仅有一个解时,有 即 解得-1＜k≤5. 综上所述,k的取值范围是

21. （2）由题意知，函数f(x)=2 -3x-k与x轴有两个交点.如图所示得 f(-1)＜0， Δ＞0， f(1)＜0, f(3)＞0， 即 2+3-k＜0， 9+8k＞0， 2-3-k＜0, 18-9-k＞0， 解得5＜k＜9. 所以方程在（-∞，-1）和（1，3）上各有一根时，k的取值范围是(5，9).

22. 易错警示 【例】求函数y= -2ax-1在[0,2]上的值域. 错解 当x=0时, =-1; 当x=2时, =4-4a-1=3-4a. 错解分析 因为函数y= -2ax-1的对称轴为x=a,而a的值不确定,对称轴是变化的,需讨论a的大小与[0,2]的关系,结合二次函数的单调性来解决问题. 正解 当a<0时, =f(0)=-1, =f(2)=4-4a-1=3-4a,此时,函数值域为[-1,3-4a]; 当0≤a≤1时, =f(a)=- -1, =f(2)=3-4a,此时,函数值域为[- -1,3-4a]; 当1<a≤2时, =f(a)=- -1, =f(0)=-1,此时,函数值域为[- -1,-1]; 当a>2时, =f(2)=3-4a, =f(0)=-1,此时,函数值域为[3-4a,-1].

23. 考点演练 11. 设函数f(x)= -2x+2,x∈［t,t+1］，f(x)在此区间上有最小值为g(t),求g(t)的解析式. 解析:f(x)= -2x+2= +1. 当t+1＜1，即t＜0时，f(x)在［t,t+1］上为减函数, ∴g(t)=f(t+1)= +1； 10.（原创题）已知函数f(x)=| -2ax+b|(x∈R)，给出下列命题：①f(x)必是偶函数； ②当f(0)=f(2)时，f(x)的图象必关于直线x=1对称； ③若 -b≤0，则 f(x)在区间［a，+∞］上是增函数； ④f(x)有最大值 -b. 其中正确命题的序号是 . 解析:f(x)= ，对称轴为x=a，由于a不一定为0，故①错； ②④显然也不正确.只有③是正确的. 答案：③

24. 当0≤t＜1时，g(t)=f(1)=1； 当t≥1时，f(x)在［t,t+1］上为增函数, ∴g(t)=f(t)= -2t+2. 综上所述， 12. 设二次函数f(x)= +ax+a，方程f(x)-x=0的两根 和 满足 . (1)求实数a的取值范围; (2)试比较f(0)f(1)-f(0)与 的大小，并说明理由. 解析：方法一：（1）令g(x)=f(x)-x= +(a-1)x+a,则由题意可得

25. 故所求实数a的取值范围是(0, ). (2)f(0)f(1)-f(0)=f(0)g(1)=2 ,令h(a)=2 . ∵当a>0时，h(a)单调增加， ∴当0<a< 时， 即f(0)f(1)-f(0)< . 方法二:(1)同方法一. (2)∵f(0)f(1)-f(0)=f(0)g(1)=2 , 由(1)知0<a< ,∴ . 又 ,于是 即 ，∴f(0)f(1)-f(0)< .

26. 方法三：(1)方程f(x)-x=0 +(a-1)x+a=0.由韦达定理得 , ,于是  故所求实数a的取值范围是 (0, ) (2)依题意可设 ，则由 得f(0)f(1)-f(0)= f(0) 故f(0)f(1)-f(0)< .

27. 第二节 指数与指数函数 基础梳理 1. 整数指数 (1)整数指数幂概念:① =a·a·…·a(n个a） (n∈N*);② = (a≠0); ③ (a≠0,n∈N*). (2)整数指数幂的运算性质: ① (m,n∈Z); ② (m,n∈Z); ③ (m,n∈Z,a≠0); ④ (n∈Z). 1

28. 2. 分数指数 一般地,如果 =a，那么x叫做 ，其中n>1,且n∈N*. 当n是奇数时, ；当n是偶数时, , (a>0); (a>0,m,n∈N*,且n>1); (a>0,m,n∈N*,且n>1). a的n次方根 a 3. 有理指数幂的运算性质 设a>0,b>0,则 (r,s∈Q); (r,s∈Q); (r∈Q). 4. 指数函数的定义 形如 的函数叫做指数函数 y= (a>0,且a≠1)

29. 5. 指数函数的图象与性质 (0,1) 0<y<1 y>1 0<y<1 y>1 增函数 减函数

30. 典例分析 题型一 指数运算性质的应用 【例1】化简或计算. (1) (2) (3)已知a,b是方程 -6x+4=0的两根,且a>b>0,求 的值. 分析 有理指数幂的运算应注意“化小数为分数”、“化根式为分数指数幂”的原则. 解(1)原式= (2)原式=

31. (3)由条件知a+b=6,ab=4,又a>b>0,所以 学后反思(1)当条件给出小数或根式形式时,一般要化小数为分数,化根式为分数指数幂. (2)对于计算结果,如果条件用分数指数幂给出,结果一般也用分数指数幂的形式给出;如果条件用根式形式给出,结果也往往采用根式形式. (3)结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.总之应符合化简结果的要求. 举一反三 1. 计算:(1) (2) (3)若 =3,求 的值.

32. 解析：(1)原式= (2)原式= (3)因为 =3,所以 则 所以 所以 题型二 指数函数的图象的应用 【例2】已知函数y= , (1)作出函数的图象; (2)指出该函数的单调递增区间; (3)求函数的值域.

33. 分析 本题要考虑去绝对值符号,把函数解析式写成分段函数的形式,再作出图象,然后根据图象寻求其单调递增区间和值域. 解(1)由函数解析式可得 其图象分成两部分: 一部分是y= (x≥-2)的图象,由下列变换可得到: 另一部分y= (x<-2)的图象, 由下列变换可得到: 如图为函数y= 的图象. (2)由图象观察知函数在(-∞,-2]上是增函数. (3)由图象观察知,x=-2时,函数y= 有最大值,最大值为1,没有最小值,故其值域为(0,1].

34. 2. 如图是指数函数：①y= ;②y= ;③y= ;④y= 的图象，则a、b、c、d与1的关系是( ) A. a<b<1<c<d B. b<a<1<d<c C. 1<a<b<c<d D. a<b<1<d<c 学后反思 （1）本例也可以不考虑去掉绝对值符号,而是直接用图象变换（平移、伸缩、对称）作出,作法如下: (2) 举一反三

35. 解析:方法一：在①②中底数小于1且大于零，在y轴右边，底数越小，图象越靠近x轴，故有b<a;在③④中底数大于1,在y轴右边，底数越大图象越靠近y轴，故有d<c.解析:方法一：在①②中底数小于1且大于零，在y轴右边，底数越小，图象越靠近x轴，故有b<a;在③④中底数大于1,在y轴右边，底数越大图象越靠近y轴，故有d<c. 方法二：设x=1与①②③④的图象分别交于点A、B、C、D，则其坐标依次为(1,a)、(1,b)、(1,c)、(1,d)，由图象观察可知c>d>1>a>b. 答案:B 题型三 指数函数性质的应用 【例3】求下列函数的定义域和值域. (1)y= ; (2)y= (3)y= 分析 指数函数y= (a>0,a≠1)的定义域为R,所以y= 的定义域与f(x)定义域相同;值域则要应用其单调性来求,复合函数则要注意“同增异减”的原则.

36. 解(1)∵x≠0，∴函数定义域为{x∈R|x≠0}， ∵x≠0， ≠0，∴y= ≠1.故函数的值域为(0,1)∪(1,+∞). (2)因为 +1>0恒成立,所以定义域为R.又因为y= ,而0< <1,所以-1< <0,解得0<y<1,所以值域为(0,1). (3)令- -3x+4≥0，解得-4≤x≤1,所以函数y= 的定义域为[-4,1].设u= (-4≤x≤1),易得u在x=- 时取最大值 ,在x=-4或1时取最小值0,即0≤u≤ .所以函数y= 的值域为 ,即函数y= 的值域为[1, ]. 学后反思(1)弄清复合函数的复合过程. (2)利用“同增异减”结论，准确判断其单调性. 举一反三 3. 下列函数中值域为正实数集的是( ) A. y= B. y= C. y= D. y=

37. 解析：A中，∵y= 的值域为正实数集,而1-x∈R,∴y= 的值域为正实数集;B中,当x=0时, -1=0;C中,y取不到1;D中，函数值域为[0,1). 答案：A 题型四 指数函数性质的综合应用 【例4】(12分)已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x∈(0,1)时,f(x)= (1)求f(x)在[-1,1]上的解析式; (2)求证:f(x)在(0,1)上是减函数. 分析 求f(x)在[-1,1]上的解析式,可以先求f(x)在(-1,0)上的解析式,再去关注x=±1,0时的函数值;函数的单调性可利用单调性定义来证明. 解(1)当x∈(-1,0)时,-x∈(0,1). ∵f(x)是奇函数, ∴f(x)=-f(-x)= .…………………2′

38. 由f(0)=-f(0), 且f(1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1), 得f(0)=f(1)=f(-1)=0.……………………………………4′ ∴在区间[-1,1]上,有 .…………6′ (2)证明：当x∈(0,1)时,f(x)= . 设0< <1, ………………………………7′ 则 ……9′ ∵0< <1,∴ ∴ >0,即 , ………………11′ ∴f(x)在(0,1)上是减函数. …………………………12′ 学后反思 本题以指数运算、指数函数的性质为基础进行整合,考查了指数函数及其性质的掌握情况.第(1)问求f(x)的解析式时,易漏掉对x=-1,0,1的讨论.

39. 解析（1）原方程为b= +1， ∵ = -2× = -1≥-1， ∴当b∈［-1,+∞)时方程有实数解. （2）①当b=-1时， =1，∴方程有唯一解x=0； ②当b＞-1时，∵ =1+b ∵ ＞0,1+ ＞0， ∴ 的解为 ； 令1- ＞0 ＜1 -1＜b＜0, ∴当-1＜b＜0时， =1- 的解为 ； 综合①、②，得 当-1＜b＜0时，原方程有两解： ； 当b≥0或b=-1时，原方程有唯一解： ； 当b＜-1时，原方程无解. 举一反三 4. 设关于x的方程 -b=0(b∈R). （1）若方程有实数解，求实数b的取值范围； （2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解．

40. 【例】设a>0且a≠1,如果函数f(x)= 在[-1,1]上的最大值为14,求a的值. 错解 当x=1时,f(x)有最大值,即 +2a-1=14, ∴ +2a-15=0,∴a=3(a=-5舍去). 错解分析 错解中：(1)忽略了字母参数a>1与0<a<1的不同情况,默认f(x)在[-1,1]上单调递增;(2)对于f(x)= ,没有从 的本身范围与f(x)单调性之间关系去考虑问题. 正解y= ,x∈[-1,1]. (1)当a>1时, ∈ ,令t= , 则y= ,t∈ , 易知y= 在 上单调递增. ∴当t=a,即 =a时, = =14, ∴a=3(a=-5舍去). (2)当0<a<1时, ∈ ； 同(1)得当t= ,即 = 时, = =14, 解得a= （a=- 舍去.） 综上所述,a= 或a=3.

41. 考点演练 10. （2009·山东）若函数f(x)= -x-a(a>0,且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是. 解析:函数f(x)的零点的个数就是函数y=ax与函数y=x+a交点的个数.由函数的图象可知,当a>1时两函数图象有两个交点;当0<a<1时两函数图象有唯一交点，故a>1. 答案:(1,+∞) 11. （2009·江西)设函数f(x)= . (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若k>0,求不等式f′(x)+k(1-x)f(x)>0的解集.

42. (2)由f′(x)+k(1-x)f(x)= 得(x-1)(kx-1)<0. 当0<k<1时，解集是 ; 当k=1时，解集是 ; 当k>1时，解集是 . 解析：（1）f′(x)= 由f′(x)=0，得x=1.因为当x<0时，f′(x)<0; 当0<x<1时，f′(x)<0;当x>1时，f′(x)>0; 所以f(x)的单调增区间是［1,+∞);单调减区间是(-∞,0),(0,1］.

43. 解析：(1)因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,即 =0，解得 b=1，从而有f(x)= .又由f(1)=-f(-1)知 解得a=2.所以a=2,b=1. (2)方法一:由(1)知 由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上为减函数. 12. 定义域为R的函数f(x)= 是奇函数. (1)求a,b的值; (2)若对任意的t∈R,不等式f( -2t)+f(2 -k)<0恒成立,求k的取值范围.

44. 又f(x)是奇函数,从而不等式f( -2t)+f(2 -k)<0等价于f( -2t)<-f(2 -k)=f(-2 +k). 因为f(x)是减函数,由上式推得 -2t>-2 +k, 即对一切t∈R有3 -2t-k>0,从而判别式Δ=4+12k<0, 解得k<- . 方法二:由(1)知f(x)= 又由题设条件得 整理得 >1. 因为底数2>1,所以3 -2t-k>0，即上式对一切t∈R均成立,从而判别式Δ=4+12k<0,解得k< .

45. 第三节 对数与对数函数 基础梳理 1. 对数概念 (1)定义:一般地,如果 那么x叫做以 ,记作 ,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. (2)对数性质 ① 没有对数,即 ; ②1的对数为0,即 ③底的对数等于1,即 (3)对数恒等式: (4)常用对数:通常将 叫做常用对数,N的常用对数 简记为 . (5)自然对数:以无理数 称为自然对数,N的自然对数 简记作 . a为底N的对数 零和负数 N>0 以10为底的对数 lgN e=2.718 28…为底的对数 lnN

46. 2. 对数的运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么 (1) ; (2) ; (3) . 3. 换底公式及常见结论 (1)换底公式: (2)常见结论(其中a,b,c>0且a,b,c≠1): , , , -1 1

47. 4. 对数函数的定义:一般地,函数 叫做对数函数,它的定义域为 ,值域为 . (0,+∞) R 5. 对数函数的图象与性质 R （0，1） y<0 y>0 y<0 y>0 减函数 增函数 x轴

48. 6. 反函数 指数函数y= (a>0,a≠1)与对数函数y= (a>0,a≠1,x>0) ,它们的图象关于直线 对称. 互为反函数 y=x 典例分析 题型一 对数的运算 【例1】求下列各式的值. (1) (2)已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求 的值. 分析 关于对数运算的题目,往往需要利用对数的运算性质、对数恒等式、换底公式等进行变形和求解.

49. 解 (1)原式= = = (2)由题意可得x>0,y>0,且x>2y.又lgx+lgy=2lg(x-2y), ∴xy= ,即 -5xy+4 =0, 解得x=4y(或x=y舍去). ∴ =4,∴ =4. 学后反思 (1)熟练掌握对数的运算性质、换底公式、对数恒等式是进行化简、求值的关键,应用时务必要创造出适合公式或性质应用的条件. (2)解(2)时要注意隐含在题目中的条件:x>2y>0,否则将导致 的值出错.

50. 举一反三 1. 计算,求值. (1) ; (2)已知 其中a>0,a≠1,求 的值 . 解析: (1)原式= = (2)根据对数的运算法则,原等式可化成 ∴ 整理得 配方得 ,∴ xy=3, x=2y, ∴ ,∴