CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW

1. CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW SEMINARIUM DYPLOMOWE Autorzy: Paweł Zajdel Jakub Kwolek Wojciech Król 2012

2. Legenda: Kolorem czerwonym oznaczone są odpowiedzi błędne, a kolorem zielonym odpowiedzi prawidłowe. Odpowiedzi zaczerpnięte z testu oznaczono *.

3. Pytanie 1 PRÓBKOWANIE SYGNAŁU… …w połączeniu z kwantyzacją daje sygnał cyfrowy. * Odpowiedź poprawna ponieważ z definicji za sygnał cyfrowy uważamy sygnał, którego dziedzina i zbiór wartości są dyskretne.

4. Pytanie 1 PRÓBKOWANIE SYGNAŁU… … jest operacją zawsze odwracalną. Nie jest operacją zawsze odwracalną. Próbkowanie jest odwracalne wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są warunki twierdzenia Shannona. … zamienia sygnał analogowy na dyskretny. …polega na zerowaniu sygnału w odpowiednich miejscach. …nie ma nic wspólnego z aliasingiem. Ma, ponieważ aliasing wynika np. z niespełnienia warunku odpowiednio dużej częstotliwości próbkowania

5. Pytanie 2 CZY ZNAJĄC DYSKRETNE WARTOŚCI SYGNAŁU MOŻNA Z NICH ODTWORZYĆ SYGNAŁ ANALOGOWY? Zawsze można. * Aby odtworzyć z próbek sygnał analogowy muszą być spełnione warunki: a) Widmo sygnału jest ograniczone (istnieje takie, że dla . b) Częstotliwość próbkowania sygnału . Nigdy nie można. Można przy spełnieniu pewnych warunków.

6. Pytanie 3 Twierdzenie Shannona… …zakłada ograniczone widmo i dostatecznie drobną dyskretyzację. * …wymaga nieskończonego czasu trwania sygnału. Sygnały o ograniczonym widmie (1 założenie twierdzenia Shannona) mają nieskończony czas trwania. I na odwrót: sygnały o skończonym czasie trwania mają nieograniczone widmo.

7. Pytanie 3 Twierdzenie Shannona… Twierdzenie to brzmi następująco: Jeżeli są spełnione następujące warunki: • nośnik widma sygnału jest ograniczony, tzn. istnieje takie, że dla , • próbki sygnału są pobierane w odstępach czasu ∆t takich, że to wtedy sygnał może być odtworzony z ciągu próbek za pomocą szeregu:

8. Pytanie 3 Twierdzenie Shannona… …formułuje podstawy teoretyczne przetworników cyfrowo-analogowych. Teza twierdzenia Shannona „ukazuje”, że sygnał analogowy może zostać odtworzony z próbek, jeśli spełnione są pewne warunki.

9. Pytanie 4 ALIASING… … jest wynikiem niespełnienia jednego z założeń twierdzenie Shannona. * Założenia te to: • nośnik widma sygnału jest ograniczony tzn. istnieje takie , że dla • próbki sygnału są pobierane w odstępach czasu ∆t takich że Niespełnienie jednego z tych warunków prowadzi do powstania aliasingu.

10. Pytanie 4 ALIASING… …usuwa zniekształcenia powstające w wyniku próbkowania. … powstaje gdy próbkowany sygnał posiada częstotliwości wyższe od połowy częstotliwości próbkowania.

11. Pytanie 5 FILTR ANTYALIASINGOWY JEST FILTREM… … stosowanym przed próbkowaniem. * Filtr antyaliasingowy eliminuje składowe o częstotliwości powyżej pewnej określonej wartości, aby spełnione były założenia twierdzenia Shannona o próbkowaniu (pytanie 2) … pasmowoprzepustowym. …górnoprzepustowym.

12. Pytanie 6 Analiza częstotliwościowa sygnałów dyskretnych… … odpowiada z-transformacie na kole jednostkowym. * Z-transformata przedstawia się następująco: wyrażając z we współrzędnych biegunowych, tzn. Z-transformacja przybiera postać: Gdy r=1 to transformata ta upraszcza się do transformaty Fouriera.

13. Pytanie 6 Analiza częstotliwościowa sygnałów dyskretnych… Zatem na płaszczyźnie z, kontur powierzchni H(z) dla tych wartości, gdzie jest transformatą Fouriera ciągu h(n). Na płaszczyźnie z jest okręgiem jednostkowym o środku w punkcie z=0. Należy zwrócić uwagę na to, że oś częstotliwości płaszczyzny z jest równoważna zawinięciu osiczęstotliwości wokół koła jednostkowego na płaszczyźnie z. Częstotliwość na płaszczyźnie z nie jest odległością wzdłuż linii prostej, ale kątem wewnątrz koła i jest ograniczona do zakresu od –π do π radianów.

14. Pytanie 6 Analiza częstotliwościowa sygnałów dyskretnych… …wymaga przekształcenia sygnału dyskretnego na analogowy. …opiera się na metodzie przybliżonego wyznaczania całki transformacji Fouriera. Do analizy częstotliwościowej sygnałów dyskretnych należy użyć dyskretnej transformacji Fouriera. Przybliżona metodą prostokątów całka transformacji Fouriera po racjonalizacji przyjmuje postać dyskretnej transformacji Fouriera.

15. Pytanie 7 DYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA… … służy do wyliczania widm sygnałów analogowych. * Dyskretna transformacja Fouriera (DFT) służy do wyliczania widm sygnałów dyskretnych. Do wyliczania widm sygnałów analogowych służy transformacja Fouriera.

16. Pytanie 7 DYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA… …jest wykorzystywana dla analizy częstotliwościowej sygnałów cyfrowych …jest przekształceniem liniowym. Liniowość DFT tzn. bo , gdzie W jest macierzą przekształcenia. Dla przypomnienia: przekształcenie DFT można zapisać macierzowo:

17. Pytanie 8 DFT… …przekształca widmo sygnału dyskretnego w sygnał w dziedzinie czasu. * Operacja ta jest przeprowadzana przez odwrotną DFT (IDFT). …opiera się na schematach motylkowych. Na schematach motylkowych oparty jest algorytm FFT. …przekształca wektor (może być zespolony) w wektor (na ogół zespolony).

18. Pytanie 8 DFT… Wzór operacji DFT: , gdzie , zatem wartości wyjściowe są na ogół zespolone (dla N>2), natomiast wartości wejściowe to ciąg próbek (które możemy przedstawić jako liczby zespolone).

19. Pytanie 9 Ilość próbek dyskretnego widma… …jest taka sama jak ilość próbek w dziedzinie czasu. * Wzór operacji DFT to: , gdzie , N-ilość próbek, …zależy od maksymalnej częstotliwości zawartej w sygnale.

20. Pytanie 9 Ilość próbek dyskretnego widma… …zależy wyłącznie od gęstości dyskretyzacji w dziedzinie czasu. Przy założeniu, że będziemy próbkować sygnał za każdym razem w tym samym przedziale czasowym to im większa gęstość dyskretyzacji tym więsza ilość próbek. Ilość otrzymanych próbek z sygnału czasowego jest równa ilości próbek dyskretnego widma.

21. Pytanie 10 MACIERZ PRZEKSZTAŁCENIA DFT jest… …kwadratowa. * Macierz przekształcenia DFT ma postać: przy czym k jest numerem a n numerem kolumny. Numeracja rozpoczyna się od 0. …symetryczna. Każdy element o indeksie kn jest taki sam jak element o indeksie nk w macierzy W.

22. Pytanie 10 MACIERZ PRZEKSZTAŁCENIA DFT jest… …złożona z wartości zespolonych o module równym 1. Ponieważ elementy macierzy W powstają przez podniesienie do potęgi k*n wartości zespolonej: a jak wiadomo moduł czyli

23. Pytanie 11 SZYBKA TRANSFORMACJA FOURIERA… …wymaga ilości mnożeń proporcjonalnej do liczby próbek sygnału pomnożonej przez logarytm z liczby próbek. W FFT ilość próbek to , ilość poziomów (etapów) operacji wynosi M. Na każdym poziomie dokonujemy N/2 operacji motylkowych, z których każda zawiera 4 operacje mnożenia, zatem ilość mnożeń to:

24. Pytanie 11 SZYBKA TRANSFORMACJA FOURIERA… …służy do efektywnego wyliczania wartości DFT. …jest przekształceniem całkowym. Nie, operuje na danych dyskretnych.

25. Pytanie 12 Szybka transformacja Fouriera… …oparta jest na schematach motylkowych. * Algorytm FFT można przedstawić graficznie za pomocą schematu motylkowego. …jest wykorzystywana do obliczania widm sygnałów analogowych. Jest to sposób liczenia DFT, szybszy od tradycyjnego. …została opracowana przez Huffmana. Została opracowana przez Jamesa Cooley’a i Johna Tukey’a

26. Pytanie 13 FFT… … teoretycznie daje takie same wyniki jak DFT. * FFT daje takie same wyniki jak DFT, lecz jest o wiele efektywniejszym sposobem wyliczania widm sygnałów dyskretnych, gdyż liczba operacji mnożenia jest proporcjonalna do iloczynu ilości próbek i logarytmu z ilości próbek, a liczba mnożeń w DFT jest proporcjonalna do drugiej ilości liczby próbek.

27. Pytanie 13 FFT… …służy do kompresji widm sygnałów. … oznacza filtry dolnoprzepustowe. …oznacza filtrację pasmową. …jest akronimem ciągłej transformacji Fouriera. Przypomnienie: FFT jest akronimem szybkiej transformacji Fouriera. Z ang. Fast Fourier Transform.

28. Pytanie 14 SCHEMAT MOTYLKOWY… …jest filtrem dolnoprzepustowym. … służy do wyznaczania widma sygnału złożonego z dwóch próbek. Dla N=2 próbek mamy tylko jeden poziom w FFT, zatem wystarczy jedna operacja motylkowa do obliczenia widma.

29. Pytanie 15 Z-transformacja… …zamienia splot dwóch sygnałów w iloczyn ich z-transformat. * wyprowadzenie: Skorzystaliśmy z transformaty sygnału przesuniętego:

30. Pytanie 15 Z-transformacja… …jest przekształceniem całkowym. …zamienia sygnał dyskretny w funkcję określoną na zbiorze liczb zespolonych.

31. Pytanie 16 Z-transmitancja jest… …modelem matematycznym filtru cyfrowego. * Filtry cyfrowe uzależniają odpowiedź na wyjściu od bieżących i poprzednich próbek wejściowych (+ wyjściowych dla IIR) i współczynników filtru. Przesunięcie próbek w dziedzinie czasu odpowiada pomnożeniu z transformaty przez . Dlatego też można modelować filtry za pomocą z-transmitancji. Przykład:

32. Pytanie 16 Z-transmitancja jest… …ilorazem widma sygnału wyjściowego przez widmo sygnału wejściowego. Jest ilorazem, ale z-transformaty sygnału wyjściowego przez z-transformatę sygnału wejściowego. … na kole jednostkowym charakterystyką częstotliwościową filtru.

33. Pytanie 17 JAKA JEST Z-TRANSFORMATA DYSKRETNEGO IMPULSU DIRACA? … * …1 Z definicji dyskretnego impulsu Diraca oraz z definicji z-transformaty: dla oraz 0 dla …

34. Pytanie 18 Charakterystyki częstotliwościowe filtrów otrzymuje się… …dzieląc widmo sygnału wyjściowego przez widmo sygnału wejściowego. …obserwując odpowiedzi filtrów na wymuszenia sinusoidalne. Obserwując odpowiedzi filtrów na impuls diraca(tak jest teoretycznie, w praktyce obserwuje się odp. filtrów na wymuszenia sinusoidalne) …z z-transmitancji przez podstawienie exp(2πjf).

35. Pytanie 19 Funkcją parzystą jest charakterystyka… … amplitudowa filtru. * …fazowa filtru. …zespoloną filtru.

36. Pytanie 20 Filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej… … wyznacza wartości sygnału wyjściowego tylko w oparciu o próbkowanie sygnału wejściowego. * Z definicji filtru FIR widać, że jest on nierekursywny: …może mieć liniową charakterystykę amplitudową. Cechą filtrów FIR jest możliwość uzyskania liniowej charakterystyki fazowej. …niezależnie od wejścia generuje wyłącznie sygnałyo skończonym czasie trwania. Gdy na wejście podamy sygnał o nieskończonym czasie trwania to również na wyjściu otrzymamy sygnał o nieskończonym czasie trwania.

37. Pytanie 21 Filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej… …oznaczany jest akronimem FIR. * FIR-FiniteImpulseResponseFilter …ma z-transformację w postaci wielomianu z niedodatnimi potęgami. Definicja filtru FIR: Transmitancja z filtru FIR: …wyznacza wartości sygnału wyjściowego w oparciu o sygnał wejściowy i poprzednie próbki sygnału wyjściowego.

38. Pytanie 22 Projektowanie filtru fir polega na… … wyznaczeniu elementów elektronicznych, z których będzie on zbudowany. * Filtr ten jest filtrem cyfrowym, więc projektuje się go poprzez wyznaczenie odpowiednich współczynników. … dyskretnej transformacji Fouriera. Można zaprojektować filtr FIR używając odwrotnej DFT. … algorytmie optymalizacyjnym Remeza. … odpowiednim dobraniu jego odpowiedzi impulsowej.

39. Pytanie 23 Metoda remeza służy do… … projektowania filtrów o nieskończonej odpowiedzi impulsowej. * Metoda Remeza służy do projektowania filtrów FIR, należy do metod optymalizacyjnych. … projektowania filtrów o skończonej odpowiedzi impulsowej. … kompresji sygnałów.

40. Pytanie 24 Główna metoda projektowania filtrów fir opiera się na… …algorytmie Remeza. * Algorytm ten jest jedną z metod projektowania filtrów FIR. …metodach projektowania filtrów analogowych. Filtry IIR można projektować za pomocą metody biliniowej, w której projektuje się filtr analogowy, a potem transformuję się transmitancję tego filtru do postaci cyfrowej.

41. Pytanie 25 Twierdzenie czebyszewa wykorzystuje się do udowodnienia… … odwracalności DFT. * … bezbłędnego odtwarzania sygnału analogowego ze sygnału cyfrowego. …jednoznaczności projektowanych filtrów. Twierdzenie Czebyszewa wykorzystujemy po to, aby udowodnić, że istnieje tylko jeden zestaw Współczynników, dla których δ osiąga najmniejszą wartość. δ jest maksymalnym błędem założonej charakterystyki filtru od ch-ki uzyskanej dla danego zestawu parametrów.

42. Pytanie 26 Filtr fir… … może mieć liniową charakterystykę fazową. * Jest to jego podstawowa zaleta. …jest przekształceniem liniowym. Niech: …wymagają badania stabilności. Filtry FIR są zawsze stabilne, gdyż w ich transmitancji występują tylko zera (brak biegunów).

43. Pytanie 27 Akronim 2-D FIR oznacza… …dwuwymiarową transformację Fouriera. * …filtr o skończonej odpowiedzi impulsowej do przetwarzania obrazów. Definicja filtru 2-D FIR: I jego z-transmitancja: …prezentację charakterystyk filtrów na płaszczyźnie.

44. Pytanie 28 Filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej… …może mieć liniową charakterystykę fazową. * W przeciwieństwie do filtrów FIR, których główną zaletą jest możliwość uzyskania liniowej fazy, filtry IIR nie mogą być zaprojektowane tak, aby posiadały liniową fazę. Wada ta powoduje wprowadzanie różnych opóźnień dla różnych składowych sygnału.

45. Pytanie 28 Filtr o nieskończonej odpowiedzi impulsowej… …wyznacza wartości sygnału wyjściowego w oparciu o próbki sygnału wejściowego i poprzednie próbki sygnału wyjściowego. Definicja filtru IIR: …ma z-transmitancję w postaci ilorazu wielomianów z niedodatnimi potęgami. Z-transmitancja filtru IIR:

46. Pytanie 29 Filtry iir …mają skończoną odpowiedź impulsową. * …wymagają zabezpieczenia przed niestabilnością. Z-transmitancja filtru IIR: Filtr IIR jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie zera wielomianu charakterystycznego leżą wewnątrz koła jednostkowego, tzn. .

47. Pytanie 29 Filtry iir …są iteracyjnymi procedurami obliczeniowymi. Dla obliczenia danej próbki wyjściowej dokonywane są po kolei operacje mnożenia i dodawania, więc można nazwać to procedurą iteracyjną.

48. Pytanie 30 Filtr iir jest stabilny jeżeli… …w metodzie Hurwitza wszystkie minory wiodące są większe od zera. * Należy zwrócić uwagę, że brane pod uwagę są minory wyznacznika Hurwitza… Filtr IIR jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego (mianownik transmitancji Z układu) leżą wewnątrz koła jednostkowego. Warunek ten jest równoważny następującemu: wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego (mianownik transmitancji w dziedzinie s) mają ujemną część rzeczywistą

49. Pytanie 30 Filtr iir jest stabilny jeżeli… Kryterium stabilności Hurwitza: • Warunek konieczny – wszystkie współczynniki wielomianu charakterystycznego są większe od zera • Warunek wystarczający – wszystkie minory wiodące wyznacznika Hurwitza są większe od zera Wtedy pierwiastki wielomianu charakterystycznego mają ujemną część rzeczywistą.

50. Pytanie 30 Filtr iir jest stabilny jeżeli… Wyznacznik Hurwitza wygląda następująco: Wielomian chrakterystyczny: