1 / 91

Chapter 1 矩陣

Chapter 1 矩陣. 1-1 聯立方程式 1-2 矩陣的定義 1-3 矩陣的運算 1-4 基本列運算 1-5 反矩陣 1-6 行列式. 1-1 聯立方程式. m 個線性方程式、 n 個變數 x 1 , x 2 ,…, x n 所構成的系統 (1-1) 稱為 線性系統 (linear system) 或聯立線性方程式。若 x 1 = s 1 , x 2 = s 2 ,……, x n = s n 能滿足聯立方程式 (1-1) 時，我們稱 ( s 1 , s 2 ,…, s n ) 為聯立方程式 (1-1) 的解。.

giona
Download Presentation

Chapter 1 矩陣

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Chapter 1 矩陣 1-1 聯立方程式 1-2 矩陣的定義 1-3 矩陣的運算 1-4 基本列運算 1-5 反矩陣 1-6 行列式

  2. 1-1 聯立方程式 • m個線性方程式、n個變數x1,x2,…,xn所構成的系統 (1-1) 稱為線性系統(linear system)或聯立線性方程式。若x1 = s1, x2 = s2,……, xn= sn能滿足聯立方程式(1-1)時，我們稱(s1, s2,…, sn)為聯立方程式(1-1)的解。

  3. Example 1 • 聯立方程式可能有解(一個解或是無限多個解)，亦可能無解。 • 利用消去法(method of elimination)解聯立方程式，其利用方程式乘以適當實數後加到另外一個方程式上，以消去某個變數。 • 解聯立方程式：

  4. Ex. 1 answer 式(1) × -3 +式(2) 式(1) × -4+式(3) 式(2) × (-6/5) +式(3)

  5. Ex. 1 answer 式(2) × (1/5) +式(3)×(5/2) 式(2) +式(1) x3=10代入式(1)與式(2)： 得x1=-4 x2 = 2

  6. Ex. 2 • 解聯立方程式

  7. Ex. 2 answer 式(1) × (-2) +式(2) 式(2)÷3x2=x3-4 代入式(1) 則聯立方程式可寫為： (無限多組解)

  8. Ex. 3 • 解聯立方程式 式(1) × (-2) +式(2) (無解)

  9. 1-1 1-2 矩陣的定義 • 由 mn個實數所構成的 m 列(row) n 行(column)長方形數列，稱為 m  n 階(order)矩陣(matrix) A。 (1-2)

  10. 1-1 1-2 矩陣的定義 為簡便計，m  n 矩陣常以符號 A = [aij]mn，或更簡單的[aij]來表示。在矩陣 A中第 i列、第 j 行位置的 aij稱為矩陣 A 的(i, j)元素(element, or entry)。

  11. 矩陣的應用 • 矩陣除了數學、物理、工程、經濟或管理應用外，目標活動裡的一些數據，亦可利用矩陣符號表示之。例如某工廠生產A、B、C、D、E產品，以連續四天出貨數量，可以下式表示之：

  12. 1-2 矩陣的定義 • 下面介紹幾種具有特殊型態的矩陣。設A為 m  n 矩陣： • 若m = 1，矩陣 A 只有一列，稱為列矩陣(row matrix)或列向量(row vector)，如 A = [3, 2, 1]。若 n = 1 時，則稱 A 為行矩陣(column matrix)或行向量(column vector)。

  13. 1-2 矩陣的定義 • 當 m = n 時，矩陣 A 稱為 n 階方陣(square matrix of order n)。其中對角線元素a11, a22, ……, ann構成主對角線(main diagonal)。 • 若 n 階方陣中，對角線之外的元素皆為0，即aij= 0，當 ij ，則稱此矩陣為對角矩陣(diagonal matrix)。

  14. 1-2 矩陣的定義 • 若對角矩陣 A 中對角線元素皆為1，則稱 A 為單位矩陣(identity matrix)。通常以符號 In表之。 • 若對角矩陣 A 中，對角線元素皆相等，即 aii = c, i = 1,…, n，則稱矩陣 A 為純量矩陣(scalar matrix)。

  15. 1-2 矩陣的定義 • 若 n階方陣 A 中，aij= 0，當 i > j時，則 A稱為上三角矩陣(upper triangular matrix)。

  16. 1-2 矩陣的定義 若 aij = 0，當 i< j 時，則稱 A為下三角矩陣(lower triangular matrix)，例如 不論是上三角矩陣或下三角矩陣，均通稱為三角矩陣(triangular matrix)。 • 元素皆為 0 的矩陣稱為零矩陣(zero matrix)，以符號 O 或 Om  n表之。

  17. 1-2 1-3 矩陣的運算 • 若矩陣 A = [aij] 與矩陣 B = [bij] 皆為 m  n矩陣，且aij = bij，1  im， 1  j n，則稱矩陣 A和矩陣 B相等(equal)。並寫成 A = B。

  18. 1-3 1-3 矩陣的運算 • 加法運算(matrix addition) 若 A = [aij]， B = [bij] 皆為 m  n 矩陣，則 A與B的和(sum) C = [cij] 亦為 m  n 矩陣，且 即 C 是一個由 A與 B中相對應的元素相加而得的 m  n 矩陣，或寫成 C = A + B。

  19. Ex. 4 2×2 3×2

  20. 1-4 1-3 矩陣的運算 • 乘法運算(matrix multiplication) 若 A = [aij] 為 m n 矩陣，B = [bij] 為 n  p矩陣，則 A和B 的乘積(product) C = [cij] 為 m  p 矩陣，其中

  21. 第 j 行 1-3 矩陣的運算 若以符號表示，可寫成 C = AB

  22. Ex. 5 為(2×3)×(3×3)=(2×3)矩陣，若將A、B相乘次序顛倒，則得：

  23. Ex.6

  24. Ex. 7 故一般而言，AB≠BA

  25. 1-1 • 矩陣加法性質 設 A、B、C、O為同階矩陣，則 (1) A + B = B + A交換律(commutative property) (2) A + (B + C) = (A + B) + C結合律(associative property) (3) A + O = O + A = A同一律(identity property) ，這裡零矩陣O所扮演的角色正與實數中的零一樣。

  26. Ex.8 則A+(B+C)=(A+B)+C

  27. 1-2 • 矩陣乘法性質 設A、B、C為三個矩陣，並設其加法與乘法的運算均能符合定義要求。 (1) A(BC) = (AB)C　結合律 (2) A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC分配律(distributive property) (3)若 A 為 m n矩陣，則 AIn= ImA = A 這裡單位矩陣在矩陣乘法運算中所扮演的角色與實數中的 1 相同。

  28. Ex. 9 加法法則亦是一致

  29. Ex. 10

  30. Ex. 11

  31. 1-5 1-6 • 若以一實數 r乘以矩陣 A = [aij]，則矩陣 rA可由 A中每一元素乘以 r而得。這種運算，稱之為純量乘法運算(scalar multiplication)。 • 設 A = [aij] 為 m n矩陣，則矩陣 AT= [aji] 為 n m 矩陣，稱為 A 的轉置矩陣(transpose of A)。

  32. Ex. 12

  33. 1-3 • 純量乘法性質 設 r、s為實數，A、B 為同階矩陣，則 (1) r (sA) = (rs)A ------- 結合律 (2) (r + s) A = rA + sA--------分配律 (3) r (A + B) = rA + rB (4) A (rB) = r (AB) = (rA) B (5)oA=O (6)rO=O • 注意，此處o是實數，而O是零矩陣，當r=-1時，(-1)A可寫成-A，稱為A的負矩陣，故矩陣減法運算，A-B=A+(-B)

  34. Ex. 13

  35. Ex. 14

  36. 1-4 • 矩陣轉置性質 設 r 為一實數，A、B 為矩陣，則 (1) (AT)T = A (2) (A + B)T = AT + BT (3) (AB)T = BTAT (4) (rA)T = rAT

  37. Ex. 16

  38. 1-7 • 設 AT= A，則矩陣 A稱為對稱矩陣(symmetric matrix)。 • 值得注意的是，對稱矩陣必為一方陣，且aij= aji。

  39. 1-4 基本列運算 • 聯立方程式(1-1)若以矩陣符號表示，則可寫成 AX = b(1-3) 其中 稱為係數矩陣(coefficient matrix)。

  40. Ex. 17 • 對角矩陣必為對稱矩陣。

  41. 1-4 基本列運算 • X = [x1, x2, ……xn]T 為 n 1 矩陣，而 b = [b1, b2, …… bn]T 為 m  1 矩陣，又 稱為擴張矩陣(augmented matrix)。 實際上，消去法就是在擴張矩陣上，施以一連串的列運算，這些運算可區分為三種。

  42. 1-8 • 對於一個矩陣，可用下列三種不同的列運算，稱為基本列運算(elementary row operations)。 (1)交換矩陣中的第 r 列與第 s 列(以符號 RrRs表之)。 (2)將矩陣中的第 r列乘以一不為零的實數 c(以符 號 cRr表之)。 (3)將矩陣中的第 r列乘以一不為零的實數 c後， 再加到第 s 列上(以符號 cRr + Rs表之)。

  43. 1-9 • 若矩陣 A，經過一連串的基本列運算後變成矩陣 B，則稱矩陣 A和 B為列同義(row equivalent)。可寫成 A~B。

  44. Ex. 18 • Ex. 1中聯立方程式之擴張矩陣為： • Ex. 1消去法求解過程，若以基本列運算表示，寫為：

  45. Ex. 18

  46. Ex. 18

  47. 1-10 • 若矩陣滿足下列的條件，則稱為簡化列梯形矩陣。 (1)任何一列的第一個不為零元素必須是1，而且含有此元素 1 的這一行，其他元素必須為零。 (2)每一列第一個不為零的元素，必須位於前一列第一個不為零元素的右側。 (3)若有某列之元素全部為零，則此列必位於矩陣的最下端。

  48. Ex. 19

  49. 1-11 • 若 A為 m n矩陣，矩陣 C 為 A經過一連串基本列運算後所得之簡化列梯形矩陣，則 C中不全為零的列的個數，稱為矩陣A的秩(rank)，以 r (A)表示。

  50. Ex. 20 • Ex. 1中矩陣 之秩等於3， 因為簡化列梯形矩陣不全為零的列有三個，而r(A)亦等於3。

More Related