Inversión sísmica con redes bayesianas

1. Inversión sísmica con redes bayesianas Alumno: Fidel Reyes Ramos Asesor: Dr. Guillermo Morales Luna

2. Contenido • Introducción • Objetivo • Descripción • Presentación de modelos • Perspectivas

3. Motivación • La predicción de propiedades de rocas es importante debido a que: • Se describe la estructura geológica de los yacimientos • Con ello, se planea su exploración, producción y costo.

4. Objetivos • Encontrar relaciones de dependencia entre: • Propiedades físicas de las rocas • A) Determinar la incertidumbre en los cálculos • B) Mediante modelos dinámicos • Propiedades físicas entre diferentes pozos • A) Dirigidas por la proximidad entre los pozos • B) Mediante Redes Bayesianas

5. Metodología • Construir redes bayesianas que describan las relaciones de dependencia entre • Propiedades físicas de las rocas • Propiedades entre diferentes pozos petroleros

6. Registros de pozos

7. Cálculo de propiedades de roca (1/2) • Las propiedades de roca se determinan por modelos bien conocidos. Tales modelos • Son escogidos de acuerdo a la hipótesis de la geología subyacente • Tienen parámetros que dependen de esta geología • Se les calcula algorítmicamente como se muestra enseguida.

8. Cálculo de propiedades de roca (2/2) VCL Rt Mineralogía Porosidad Litofacies IFr K SW F

9. Inversión • Es todo aquel procedimiento que hace corresponder un modelo a una serie de datos dados (Scales, 2000)

10. Métodos de estudio • Determinación de propiedades mediante formulamientos de geofísica • El que aquí se propone: Resolver el problema inverso por medio de redes bayesianas

11. Incertidumbres por modelar • El modelo probabilístico es apropiado debido a que ahí se expresa factores inciertos como: • Ruido en los datos • Criterios para decidir si los factores modelados son suficientes para el caso de estudio.

12. Problemas al estudiar un yacimiento • Los datos que se toman tienen ruido y su apreciación un nivel de incertidumbre, debido al gran número de factores que intervienen en su adquisición • La fluctuación de los datos parece aleatoria ya que hay procesos involucrados que no se conocen con certeza

13. Expresión probabilística de un modelo geofísico Tarantola (1987) propone incluir esta incertidumbre mediante la expresión: donde g(D) es el modelo geofísico y CD es la matriz de covarianza que incluye las incertidumbres del modelo

14. Antecedentes de la aplicación de este enfoque • Loures, Luiz G., Bayesian porosity inference using rock physics and geostatistical modeling, Geophysics, CSEG, 2002. • Mukerji, T., Jorstad, A., Makvd, G, Granil, J., Applying statistical rock physics and seismic inversion to map lithofacies and pore fluid probabilities in a North Sea reservoir, URE, Norgewian University of Science and Technology , 2002 • Peres Gouveia, W., Bayesian Seismic Waveform Inversion, Ph. D. Doctoral dissertation, Colorado School of Mines, 1996.

15. Propiedad concreta: Cálculo de volúmenes de minerales • Volúmenes de minerales: Describen la composición de minerales en las rocas • Entradas: • Datos del pozo: Densidad, Porosidad, Sónico

16. Centroides calcita dolomita lutita fluido Densidad 2.71 2.87 2.5 1.0 Sónico 46.0 43.5 90.0 189.0 Porosidad 0.01 2.5 30.0 100.0 • Son los valores característicos de Densidad, Porosidad y Sónico medidos en el laboratorio de minerales puros • En un “crossplot” de los datos del pozo, estos datos representan “centroides”

17. Ejemplo: • Sea una sección de roca que se compone de: • 20% Calcita (Azul) • 60% Dolomita (Rosa) • 15% Lutita (Verde) • 5% Porosidad (Blanco) Reproducción de datos: Multiplicar la matriz de centroides por los volúmenes

18. Cálculo de volúmenes de minerales • Vi y “Phi” son las incógnitas • Los otros términos en las ecuaciones son datos de los “centroides” • Los términos independientes son los datos del pozo • Restricción:

19. Definiciones • Espacio latente: El espacio de soluciones posibles del simplejo positivo de dimensión 4 con K elementos. • : un conjunto de datos de un pozo • : un conjunto de centroides de los minerales supuestos • : una matriz para realizar una trans-formación lineal entre X y Y

20. Transformación entre espacios Transformación Espacio de Soluciones (Latente) Espacio de Datos

21. Definiciones 2 • p : la probabilidad uniforme sobre todos los elementos del espacio latente • Probabilidad condicional de cada por cada • Probabilidad marginal:

22. Problema • Maximizar el logaritmo de la probabilidad conjunta:

23. Solución • Sea una densidad de de probabilidad (no-nula), entonces Desigualdad de Jensen (1) La probabilidad posterior es La cota (1) se maximiza usando la probabilidad posterior

24. Solución • Al sumar (1) sobre todos los datos , se obtiene • donde

25. Solución • Al derivar por los miembros del conjunto de parámetros y despejar cuando las derivadas son cero, se tiene • Para obtener W se utilizó la “Descomposición de Valor Singular”

26. Comentarios • A este método de solución se le denomina “varacional” (Grahramani et al, 1999) • Al experimetar con probabilidad a priori, convergió más rápido, si una de ellas es mucho más grande que las otras • Se está trabajando para un número arbitrario de minerales

27. Algoritmo implementado para calcular volúmenes • Algoritmo CalculaVolumenes • Entradas • Conjunto X • Conjunto Y • Matriz de Centroides A • Tolerancia Eps • Salida: Para cada encontrar un tal que sea máxima • Parámetros

28. Algoritmo • BEGIN • Inicializar parámetros, Lant y L • Mientras fabs (Lant - L) > Eps • BEGIN • PASO E: Calcular L y para cada y • Paso M: Calcular • Lant = L • END • END

29. Convergencia • (Neal and Hinton, 1998) Probaron que: • Maximizar por una parte, L con respecto a • Y luego maximizar L con respecto a • Maximiza la probabilidad conjunta • (Dempster et al, 1977) Probaron que cada iteración de este algoritmo es no decreciente (y es acotada) por tanto debe converger. • ATENCION: Probaron la convergencia, mas no la tasa de convergencia!

30. Resultados

31. Resultados

32. Método Tradicional de Cálculo

33. Incorporación de conocimiento previo • Sea la base canónica en • Sea una probabilidad dada sobre cada vector • La probabilidad de cada ahora es: • Y la probabilidad marginal es:

34. Incorporación de conocimiento previo • La probabilidad de cada ahora es: • La probabilidad posterior es:

35. Incorporación de conocimiento previo • Una nueva cota para L es: • Que tendría las mismas soluciones que para el caso anterior excepto que la probabilidad a posteriori y para cada dato se calcula diferente

36. Convergencia: L

37. Convergencia: W

38. Convergencia: Varianza

39. Px = (.3,.1,.3,.3)

40. Publicaciones presentadas • Póster: Reyes Ramos, Fidel y Molina Félix, Luis Carlos, Lithofacies characterization by means of Generative Topographic Maps, IJCAI, Acapulco, Agosto de 2003 • Sometido como: Reyes-Ramos Fidel Conditional Inversion for Mineral Volumen Characterization, 2004 International Conference and Exhibition of the AAPG, Cancún 2004

41. Problemas por resolver • Condicionamiento automático Maximizar Sujeto a: Método de solución: Multiplicadores de Lagrange

42. Aceleración de Convergencia • Aplicar algún método de optimización (de direcciones conjugadas o gradiente) con el fin de acelerar la convergencia

43. Volúmenes condicionales • Definición: Sea un conjunto de variables aleatorias que representan volúmenes de minerales • Una red bayesiana de U es el par donde G es un grafo dirigido, un conjunto de parámetros • La red bayesiana expresa: un nodo es independiente de sus no descendientes dado sus padres (???) • La red bayesiana expresa una probabilidad conjunta de las variables aleatorias Pozo 1 Pozo 2 Pozo 5 Pozo 3 Pozo 6 Pozo 4

44. Método para generar modelos: Triangulación de Delaunay • Definición: Dado una serie de puntos en el plano, una triangulación de Delaunay se forma de triángulos cuyo ángulo mínimo sea el mayor posible • Los vértices de cada triángulo caen en el perímetro de un círculo, el cual no incluye a otro punto. • Su construcción se realiza en tiempo de O(nlogn) (Knuth et al)